Расширенные объекты в теории струн: D-браны и их свойства

Введение

Расширенные объекты в теории струн

В теории струн D-браны, сокращение от мембраны Дирихле, представляют собой класс расширенных объектов, на которых открытые струны могут заканчиваться с дирихлевскими граничными условиями, в честь которых они и получили свое название. D-браны обычно классифицируются по пространственной размерности, которая указывается числом, записанным после буквы D. D0-брана — это точка, D1-брана — линия (иногда называемая «D-струной»), D2-брана — плоскость, а D25-брана заполняет пространство наивысшей размерности, рассматриваемое в бозонной теории струн. Существуют также инстантонные D(-1)-браны, локализованные как в пространстве, так и во времени.

Открытие

Д-браны были открыты Джин Дай, Ли и Польчински, а также независимо Хорава в 1989 году. В 1995 году Польчински отождествил D-браны с чёрными p-брановыми решениями в супергравитации, открытие, которое положило начало Второй суперструнной революции и привело к возникновению голографической и M-теоретической дуальности.

Теоретическая основа

Уравнения движения теории струн требуют, чтобы конечные точки открытой струны (струны с конечными точками) удовлетворяли одному из двух типов граничных условий: граничное условие Неймана, соответствующее свободным конечным точкам, движущимся в пространстве-времени со скоростью света, или граничные условия Дирихле, которые фиксируют конечную точку струны. Каждая координата струны должна удовлетворять одному из этих условий. Также могут существовать струны со смешанными граничными условиями, где две конечные точки удовлетворяют условиям NN, DD, ND и DN. Если p пространственных измерений удовлетворяют граничному условию Неймана, то конечная точка струны ограничена движением в пределах p-мерной гиперплоскости. Эта гиперплоскость представляет собой одно из описаний Dp-браны. Хотя и жесткие в пределе нулевого взаимодействия, спектр открытых струн, заканчивающихся на D-бране, содержит моды, связанные с её колебаниями, что подразумевает, что D-браны являются динамическими объектами. Когда D-браны почти совпадают, спектр струн, протягивающихся между ними, становится чрезвычайно богатым. Один набор мод порождает неабелеву теорию калибровки на мировой поверхности. Другой набор мод представляет собой матрицу размерности, соответствующей каждому поперечному измерению браны. Если эти матрицы коммутируют, их можно диагонализовать, а собственные значения определяют положение D-бран в пространстве. В более общем случае браны описываются некоммутативной геометрией, которая допускает экзотическое поведение, такое как эффект Майерса, при котором набор Dp-бран расширяется в D(p+2)-брану. Тахионная конденсация является центральной концепцией в этой области. Ашоке Сен утверждал, что в теории струн типа IIB тахионная конденсация позволяет (при отсутствии потока 3-формы Неveu-Schwarz) получить любую конфигурацию D-бран из стека D9 и анти-D9-бран. Эдвард Виттен показал, что такие конфигурации будут классифицироваться K-теорией пространства-времени. Тахионная конденсация до сих пор очень плохо изучена, что связано с отсутствием точной теории струнного поля, описывающей эволюцию тахионов вне оболочки.

The equations of motion of string theory require that the endpoints of an open string (a string with endpoints) satisfy one of two types of boundary conditions: The Neumann boundary condition, corresponding to free endpoints moving through spacetime at the speed of light, or the Dirichlet boundary conditions, which pin the string endpoint. Each coordinate of the string must satisfy one or the other of these conditions. There can also exist strings with mixed boundary conditions, where the two endpoints satisfy NN, DD, ND and DN boundary conditions. If p spatial dimensions satisfy the Neumann boundary condition, then the string endpoint is confined to move within a p dimensional hyperplane. This hyperplane provides one description of a Dp brane. Although rigid in the limit of zero coupling, the spectrum of open strings ending on a D brane contains modes associated with its fluctuations, implying that D branes are dynamical objects. When D branes are nearly coincident, the spectrum of strings stretching between them becomes very rich. One set of modes produce a non abelian gauge theory on the world volume. Another set of modes is an dimensional matrix for each transverse dimension of the brane. If these matrices commute, they may be diagonalized, and the eigenvalues define the position of the D branes in space. More generally, the branes are described by non commutative geometry, which allows exotic behavior such as the Myers effect, in which a collection of Dp branes expand into a D(p+2) brane. Tachyon condensation is a central concept in this field. Ashoke Sen has argued that in Type IIB string theory, tachyon condensation allows (in the absence of Neveu Schwarz 3 form flux) an arbitrary D brane configuration to be obtained from a stack of D9 and anti D9 branes. Edward Witten has shown that such configurations will be classified by the K theory of the spacetime. Tachyon condensation is still very poorly understood. This is due to the lack of an exact string field theory that would describe the off shell evolution of the tachyon.

Космология Бранного мира

Это имеет значение для физической космологии. Поскольку теория струн предполагает, что Вселенная имеет больше измерений, чем мы ожидаем – 26 для бозонных струнных теорий и 10 для суперструнных теорий – нам необходимо найти объяснение, почему дополнительные измерения не проявляются. Одно из возможных объяснений заключается в том, что видимая Вселенная на самом деле является очень большой D-браной, простирающейся на три пространственных измерения. Материальные объекты, состоящие из открытых струн, локализованы на D-бране и не могут двигаться "перпендикулярно реальности", чтобы исследовать Вселенную за пределами браны. Этот сценарий называется брановой космологией. Сила гравитации не связана с открытыми струнами; гравитоны, переносящие гравитационное взаимодействие, являются колебательными состояниями замкнутых струн. Поскольку замкнутые струны не обязаны быть прикрепленными к D-бранам, гравитационные эффекты могут зависеть от дополнительных измерений, ортогональных бране.

Рассеивание D-браны

Когда две D-браны приближаются друг к другу, их взаимодействие описывается амплитудой аннуля в один цикл для струн между этими бранами. Сценарий, в котором две параллельные браны сближаются с постоянной скоростью, можно сопоставить с задачей двух неподвижных бран, вращающихся относительно друг друга на некоторый угол. Амплитуда аннуля порождает сингулярности, соответствующие рождению открытых струн, натянутых между двумя бранами. Это справедливо независимо от заряда D-бран. При нерелятивистских скоростях рассеяния открытые струны можно описать низкоэнергетическим эффективным действием, содержащим два комплексных скалярных поля, связанных посредством определенного члена. Таким образом, при изменении поля (расстояния между бранами) изменяется масса другого поля. Это приводит к рождению открытых струн, и в результате две рассеивающиеся браны оказываются в ловушке.

Теории гаджетов

Расположение D-бран ограничивает типы струнных состояний, которые могут существовать в системе. Например, если у нас есть две параллельные D2-браны, мы можем легко представить себе струны, протянутые от браны 1 к бране 2 или наоборот. (В большинстве теорий струны – это ориентированные объекты: каждая из них несет «стрелку», определяющую направление вдоль своей длины.) Открытые струны, допустимые в этой ситуации, делятся на две категории, или «сектора»: те, которые начинаются на бране 1 и заканчиваются на бране 2, и те, которые начинаются на бране 2 и заканчиваются на бране 1. Символически мы говорим, что у нас есть секторы [1 2] и [2 1]. Кроме того, струна может начинаться и заканчиваться на одной и той же бране, давая секторы [1 1] и [2 2]. (Числа в скобках называются индексами Чан-Патона, но на самом деле это лишь метки, идентифицирующие браны.) У струны в секторе [1 2] или [2 1] есть минимальная длина: она не может быть короче, чем расстояние между бранами. Все струны обладают некоторым натяжением, против которого нужно тянуть, чтобы удлинить объект; это усилие совершает работу над струной, добавляя ей энергии. Поскольку теории струн по своей природе релятивистские, добавление энергии к струне эквивалентно добавлению массы, согласно соотношению Эйнштейна E = mc². Следовательно, расстояние между D-бранами контролирует минимальную массу, которой могут обладать открытые струны. Более того, закрепление конечной точки струны на бране влияет на то, как струна может двигаться и вибрировать. Поскольку состояния частиц «возникают» из теории струн как различные вибрационные состояния, которые может испытывать струна, расположение D-бран контролирует типы частиц, присутствующих в теории. Самый простой случай – сектор [1 1] для Dp-браны, то есть струны, которые начинаются и заканчиваются на любой конкретной Dp-бране. Изучая последствия действия Намбу-Гото (и применяя правила квантовой механики для квантования струны), можно обнаружить, что среди спектра частиц есть одна, напоминающая фотон, фундаментальный квант электромагнитного поля. Сходство точное: p-мерная версия электромагнитного поля, подчиняющаяся p-мерному аналогу уравнений Максвелла, существует на каждой Dp-бране. В этом смысле можно сказать, что теория струн «предсказывает» электромагнетизм: D-браны являются необходимой частью теории, если мы допускаем существование открытых струн, и все D-браны несут электромагнитное поле на своем объеме. Другие состояния частиц возникают из струн, начинающихся и заканчивающихся на одной и той же D-бране. Некоторые из них соответствуют безмассовым частицам, таким как фотон; также в этой группе есть множество безмассовых скалярных частиц. Если Dp-брана встроена в пространство-время d пространственных измерений, она несет (в дополнение к своему полю Максвелла) набор d – p безмассовых скаляров (частиц, которые не имеют поляризации, как фотоны, составляющие свет). Интересно, что существует столько же безмассовых скаляров, сколько направлений, перпендикулярных бране; геометрия расположения браны тесно связана с квантовой теорией поля частиц, существующих на ней. На самом деле, эти безмассовые скаляры – это возбуждения Голдстоуна браны, соответствующие различным способам нарушения симметрии пустого пространства. Размещение D-браны во вселенной нарушает симметрию между положениями, поскольку оно определяет конкретное место, присваивая особое значение конкретному положению вдоль каждого из d – p направлений, перпендикулярных бране. Квантовая версия электромагнетизма Максвелла – это лишь один вид калибровочной теории, U(1) калибровочная теория, где группа калибровки состоит из унитарных матриц порядка 1. D-браны могут быть использованы для генерации калибровочных теорий более высокого порядка следующим образом: рассмотрим группу из N отдельных Dp-бран, расположенных параллельно для простоты. Браны обозначены 1, 2, ..., N для удобства. Открытые струны в этой системе существуют в одном из множества секторов: струны, начинающиеся и заканчивающиеся на какой-то бране i, дают этой бране поле Максвелла и некоторые безмассовые скалярные поля на ее объеме. Струны, протянутые от браны i к другой бране j, обладают более интригующими свойствами. Для начала стоит спросить, какие сектора струн могут взаимодействовать друг с другом. Один из простых механизмов взаимодействия струн заключается в том, чтобы две струны соединялись в конечных точках (или, наоборот, чтобы одна струна «расщеплялась пополам» и образовывала две «дочерние» струны). Поскольку конечные точки ограничены положением на D-бранах, очевидно, что струна [1 2] может взаимодействовать со струной [2 3], но не со струной [3 4] или [4 17]. Массы этих струн будут зависеть от расстояния между бранами, как обсуждалось выше, поэтому для простоты можно представить, что браны сжаты все ближе и ближе друг к другу, пока они не окажутся друг на друге. Если мы рассматриваем две перекрывающиеся браны как отдельные объекты, то у нас все равно есть все сектора, которые были раньше, но без эффектов, связанных с расстоянием между бранами. Нулевые массовые состояния в спектре частиц открытых струн для системы из N совпадающих D-бран дают набор взаимодействующих квантовых полей, который точно является U(N) калибровочной теорией. (Теория струн содержит и другие взаимодействия, но они обнаруживаются только при очень высоких энергиях.) Калибровочные теории не были изобретены, исходя из бозонных или фермионных струн; они возникли из другой области физики и стали весьма полезными сами по себе. Если ничто другое, то связь между геометрией D-бран и калибровочной теорией предлагает полезный педагогический инструмент для объяснения калибровочных взаимодействий, даже если теория струн не является «теорией всего».

The arrangement of D branes constricts the types of string states which can exist in a system. For example, if we have two parallel D2 branes, we can easily imagine strings stretching from brane 1 to brane 2 or vice versa. (In most theories, strings are oriented objects: each one carries an "arrow" defining a direction along its length.) The open strings permissible in this situation then fall into two categories, or "sectors": those originating on brane 1 and terminating on brane 2, and those originating on brane 2 and terminating on brane 1. Symbolically, we say we have the [1 2] and the [2 1] sectors. In addition, a string may begin and end on the same brane, giving [1 1] and [2 2] sectors. (The numbers inside the brackets are called Chan–Paton indices, but they are really just labels identifying the branes.) A string in either the [1 2] or the [2 1] sector has a minimum length: it cannot be shorter than the separation between the branes. All strings have some tension, against which one must pull to lengthen the object; this pull does work on the string, adding to its energy. Because string theories are by nature relativistic, adding energy to a string is equivalent to adding mass, by Einstein's relation E = mc2. Therefore, the separation between D branes controls the minimum mass open strings may have. Furthermore, affixing a string's endpoint to a brane influences the way the string can move and vibrate. Because particle states "emerge" from the string theory as the different vibrational states the string can experience, the arrangement of D branes controls the types of particles present in the theory. The simplest case is the [1 1] sector for a Dp brane, that is to say the strings which begin and end on any particular D brane of p dimensions. Examining the consequences of the Nambu–Goto action (and applying the rules of quantum mechanics to quantize the string), one finds that among the spectrum of particles is one resembling the photon, the fundamental quantum of the electromagnetic field. The resemblance is precise: a p dimensional version of the electromagnetic field, obeying a p dimensional analogue of Maxwell's equations, exists on every Dp brane. In this sense, then, one can say that string theory "predicts" electromagnetism: D branes are a necessary part of the theory if we permit open strings to exist, and all D branes carry an electromagnetic field on their volume. Other particle states originate from strings beginning and ending on the same D brane. Some correspond to massless particles like the photon; also in this group are a set of massless scalar particles. If a Dp brane is embedded in a spacetime of d spatial dimensions, the brane carries (in addition to its Maxwell field) a set of d p massless scalars (particles which do not have polarizations like the photons making up light). Intriguingly, there are just as many massless scalars as there are directions perpendicular to the brane; the geometry of the brane arrangement is closely related to the quantum field theory of the particles existing on it. In fact, these massless scalars are Goldstone excitations of the brane, corresponding to the different ways the symmetry of empty space can be broken. Placing a D brane in a universe breaks the symmetry among locations, because it defines a particular place, assigning a special meaning to a particular location along each of the d p directions perpendicular to the brane. The quantum version of Maxwell's electromagnetism is only one kind of gauge theory, a U(1) gauge theory where the gauge group is made of unitary matrices of order 1. D branes can be used to generate gauge theories of higher order, in the following way:

Consider a group of N separate Dp branes, arranged in parallel for simplicity. The branes are labeled 1,2, ,N for convenience. Open strings in this system exist in one of many sectors: the strings beginning and ending on some brane i give that brane a Maxwell field and some massless scalar fields on its volume. The strings stretching from brane i to another brane j have more intriguing properties. For starters, it is worthwhile to ask which sectors of strings can interact with one another. One straightforward mechanism for a string interaction is for two strings to join endpoints (or, conversely, for one string to "split down the middle" and make two "daughter" strings). Since endpoints are restricted to lie on D branes, it is evident that a [1 2] string may interact with a [2 3] string, but not with a [3 4] or a [4 17] one. The masses of these strings will be influenced by the separation between the branes, as discussed above, so for simplicity's sake, we can imagine the branes squeezed closer and closer together until they lie atop one another. If we regard two overlapping branes as distinct objects, then we still have all the sectors we had before, but without the effects due to the brane separations. The zero mass states in the open string particle spectrum for a system of N coincident D branes yields a set of interacting quantum fields which is exactly a U(N) gauge theory. (The string theory does contain other interactions, but they are only detectable at very high energies.) Gauge theories were not invented starting with bosonic or fermionic strings; they originated from a different area of physics, and have become quite useful in their own right. If nothing else, the relation between D brane geometry and gauge theory offers a useful pedagogical tool for explaining gauge interactions, even if string theory fails to be the "theory of everything".

История

Пограничные условия Дирихле и D-браны имели долгую "предысторию", прежде чем было признано их полное значение. Серия статей Бардина, Барса, Хансона и Пеццея за 1975–76 гг. рассматривала раннее конкретное предложение о взаимодействующих частицах на концах струн (кварков, взаимодействующих с QCD-трубками), с динамическими граничными условиями для конечных точек струн, где условия Дирихле были динамическими, а не статическими. Смешанные граничные условия Дирихле/Неймана впервые были рассмотрены Уорреном Сигелем в 1976 году как средство снижения критической размерности открытой теории струн с 26 или 10 до 4 (Сигель также ссылается на неопубликованную работу Халперна и статью 1974 года Чодоса и Торна, но изучение последней статьи показывает, что она фактически посвящена линейным фонам расширения, а не граничным условиям Дирихле). Эта статья, хотя и пророческая, осталась незамеченной в свое время (пародия 1985 года Сигеля "Сверх-g струна" содержит почти точное описание бранных миров). Условия Дирихле для всех координат, включая евклидово время (определяющие то, что теперь известно как D-инстантоны), были введены Майклом Грином в 1977 году как средство введения точечной структуры в теорию струн в попытке построить теорию струн сильного взаимодействия. Сжатия струн, изученные Харви и Минаханом, Ишибаши и Оноги, и Прадиси и Сагнотти в 1987–1989 годах, также использовали граничные условия Дирихле. В 1989 году Дай, Ли, Полчински и Хорава независимо друг от друга обнаружили, что T-дуальность взаимозаменяет обычные граничные условия Неймана с граничными условиями Дирихле. Этот результат подразумевает, что такие граничные условия обязательно должны появляться в областях пространства модулей любой открытой теории струн. В статье Дая и др. также отмечается, что множество граничных условий Дирихле динамично, и вводится термин бран Дирихле (D-бран) для получаемого объекта (в этой статье также вводится термин ориентифолд для другого объекта, возникающего при T-дуальности струн). В статье 1989 года Ли показал, что динамика D-бран регулируется действием Дирака — Борна — Инфельда. Инстантоны D были широко изучены Грином в начале 1990-х годов, и Полчински в 1994 году показал, что они производят непертурбативные эффекты струн, предсказанные Шенкером. В 1995 году Полчински показал, что D-браны являются источниками электрических и магнитных полей Рамонда — Рамонда, которые требуются дуальностью струн, что привело к быстрому прогрессу в непертурбативном понимании теории струн.

Dirichlet boundary conditions and D branes had a long "pre history" before their full significance was recognized. A series of 1975–76 papers by Bardeen, Bars, Hanson and Peccei dealt with an early concrete proposal of interacting particles at the ends of strings (quarks interacting with QCD flux tubes), with dynamical boundary conditions for string endpoints where the Dirichlet conditions were dynamical rather than static. Mixed Dirichlet/Neumann boundary conditions were first considered by Warren Siegel in 1976 as a means of lowering the critical dimension of open string theory from 26 or 10 to 4 (Siegel also cites unpublished work by Halpern, and a 1974 paper by Chodos and Thorn, but a reading of the latter paper shows that it is actually concerned with linear dilation backgrounds, not Dirichlet boundary conditions). This paper, though prescient, was little noted in its time (a 1985 parody by Siegel, "The Super g String", contains an almost dead on description of braneworlds). Dirichlet conditions for all coordinates including Euclidean time (defining what are now known as D instantons) were introduced by Michael Green in 1977 as a means of introducing point like structure into string theory, in an attempt to construct a string theory of the strong interaction. String compactifications studied by Harvey and Minahan, Ishibashi and Onogi, and Pradisi and Sagnotti in 1987–1989 also employed Dirichlet boundary conditions. In 1989, Dai, Leigh, Polchinski, and Hořava independently, discovered that T duality interchanges the usual Neumann boundary conditions with Dirichlet boundary conditions. This result implies that such boundary conditions must necessarily appear in regions of the moduli space of any open string theory. The Dai et al. paper also notes that the locus of the Dirichlet boundary conditions is dynamical, and coins the term Dirichlet brane (D brane) for the resulting object (this paper also coins orientifold for another object that arises under string T duality). A 1989 paper by Leigh showed that D brane dynamics are governed by the Dirac–Born–Infeld action. D instantons were extensively studied by Green in the early 1990s, and were shown by Polchinski in 1994 to produce the nonperturbative string effects anticipated by Shenker. In 1995 Polchinski showed that D branes are the sources of electric and magnetic Ramond–Ramond fields that are required by string duality, leading to rapid progress in the nonperturbative understanding of string theory.