Кіріспе

Шектелген өлшемді математикалық объектілер жинағы

Математикалық талдау және математиканың басқа да салаларында, егер жинақтың барлық нүктелері бір-бірінен белгілі бір қашықтықта болса, онда ол жинақ шектеледі деп аталады. Керісінше, шектелмеген жинақ шектелмеген деп аталады. Тиісті метрикасыз жалпы топологиялық кеңістікте "шектелген" сөзінің мағынасы жоқ. Шекара – мүлдем бөлек ұғым: мысалы, жеке тұрған шеңбер шекарасы жоқ, бірақ шектеледі, ал жартылай жазықтық шектелмеген, бірақ шекараға ие. Шектелген жинақ міндетті түрде жабық жинақ бола бермейді, және керісінше де дұрыс емес. Мысалы, Картезиялық координаттар жүйесінде x² + 1 және x² – 1 параболалық қисықтарымен шектелген R² екі өлшемді нақты кеңістігінің S кіші жиыны қисықтармен жабылады, бірақ шектелмейді (яғни шектелмеген).

Нақты сандардағы анықтамасы

Нақты сандар жиыны S жоғарыдан шектелген деп аталады, егер S жиынындағы барлық s үшін k нақты саны (S жиынында міндетті түрде емес) k ≥ s болатын жағдайда. k саны S жиынының жоғарғы шегі деп аталады. Төменнен шектелген және төменгі шегі түсініктері де осыған ұқсас анықталады. S жиыны, егер оның жоғарғы және төменгі шектері болса, шектелген болады. Демек, нақты сандар жиыны шектелген, егер ол шекті интервалда орналасса.

Метрлік кеңістіктегі анықтамасы

Егер r > 0 болса, онда метрикалық кеңістік (M, d) жиынтығының S ішкі жиыны шектеулі болады, егер S жиынындағы барлық s және t үшін d(s, t) < r орындалса. Метрикалық кеңістік (M, d) шектеулі метрикалық кеңістік (немесе d – шектеулі метрика) болып табылады, егер M өзінің ішкі жиыны ретінде шектеулі болса. Толық шектелу, шектелуді білдіреді. Rn жиындарының ішкі жиындары үшін бұл екі шарт эквивалентті. Метрикалық кеңістік тығыз болады, егер және тек қана ол толық және толығымен шектеулі болса. Евклид кеңістігі Rn жиынының ішкі жиыны тығыз болады, егер және тек қана ол жабық және шектеулі болса. Бұл сондай-ақ Хайне-Борель теоремасы деп аталады.

Топологиялық векторлық кеңістіктердегі шектелу

Топологиялық векторлық кеңістіктерде шектелген жиынтар үшін тағы бір анықтама бар, ол кейде фон Нейман шектелуі деп аталады. Егер топологиялық векторлық кеңістіктің топологиясы гомогенді метрика арқылы туындаса, мысалы, нормаланған векторлық кеңістіктердің нормасымен туындаған метрика болған жағдайда, онда екі анықтама сәйкес келеді.

Тәртіп теориясындағы шектелу

Нақты сандар жиыны шектеледі, егер және тек егер оның жоғарғы және төменгі шегі болса. Бұл анықтама кез келген ішінара реттелген жиынның кіші жиынына да қолданылады. Бұл жалпылама ұғым "өлшем" ұғымымен сәйкес келмейтінін ескеріңіз. P ішінара реттелген жиынның S кіші жиыны, егер P-де k элементі болса және ол S-дегі барлық s үшін k ≥ s шартын қанағаттандырса, жоғарыдан шектелген деп аталады. k элементі S-дің жоғарғы шегі деп аталады. Төменнен шектелген және төменгі шектелген ұғымдары да ұқсас анықталады. (Сондай-ақ жоғарғы және төменгі шектерді қараңыз.) P ішінара реттелген жиынның S кіші жиыны, егер оның жоғарғы және төменгі шегі болса, немесе, басқаша айтқанда, егер ол бір интервалға кірсе, шектелген деп аталады. Бұл тек S жиынының ғана емес, сонымен қатар P жиынының кіші жиыны ретінде S жиынының қасиеті екенін ескеріңіз. P шектелген poset (яғни, өзіндік жиын ретінде, кіші жиын ретінде емес) ең кішкентай элементі мен ең үлкен элементі бар жиын болып табылады. Бұл шектілік ұғымының мөлшерімен ешқандай қатысы жоқ екенін және P-дегі реттілік шектеуімен реттелген P-нің S кіші жиыны міндетті түрде шектелген poset болмайтынын ескеріңіз. Rn-нің S кіші жиыны Евклидтік қашықтығына қатысты шектелген, егер ол Rn-нің кіші жиыны ретінде көбейту ретімен шектелген болса ғана. Дегенмен, S Rn-нің кіші жиыны ретінде лексикографиялық ретпен шектелген болуы мүмкін, бірақ Евклидтік қашықтығына қатысты емес. Реттік сандар класы шексіз немесе кофиналды деп аталады, егер кез келген реттік сан берілген кезде, одан үлкен кластың элементі әрқашан табылады. Осылайша, бұл жағдайда "шексіз" дегені өзі шексіздік емес, барлық реттік сандар класының кіші класы ретінде шексіздік дегенді білдіреді.