Введение

Совокупность математических объектов конечного размера.

В математическом анализе и смежных областях математики множество называется ограниченным, если все его точки расположены на конечном расстоянии друг от друга. Соответственно, множество, которое не ограничено, называется неограниченным. Термин "ограниченный" не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики. Граница – это отличное понятие: например, изолированный круг является ограниченным множеством без границы, в то время как полуплоскость неограничена, но имеет границу. Ограниченное множество не обязательно является замкнутым множеством, и наоборот. Например, подмножество S двухмерного вещественного пространства R2, ограниченное двумя параболическими кривыми x² + 1 и x² – 1, заданными в декартовой системе координат, ограничено этими кривыми, но не является ограниченным (то есть неограничено).

Определение в действительных числах

Множество S действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует некоторое действительное число k (не обязательно принадлежащее S), такое, что k ≥ s для всех s из S. Число k называется верхней границей множества S. Термины "ограниченный снизу" и "нижняя граница" определяются аналогичным образом. Множество S ограничено, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, множество действительных чисел ограничено, если оно содержится в конечном интервале.

Определение в метрическом пространстве

Подмножество S метрического пространства (M, d) ограничено, если существует r > 0, такое что для всех s и t из S выполняется d(s, t) < r. Метрическое пространство (M, d) является ограниченным метрическим пространством (или d является ограниченной метрикой), если M ограничено как подмножество самого себя. Полная ограниченность влечет за собой ограниченность. Для подмножеств Rn эти два свойства эквивалентны. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и полно ограниченно. Подмножество евклидова пространства Rn компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Это также известно как теорема Хайне — Бореля.

Ограниченность в топологических векторных пространствах

В топологических векторных пространствах существует иное определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью по фон Нейману. Если топология топологического векторного пространства порождена метрикой, являющейся однородной, как, например, в случае метрики, порожденной нормой нормированных векторных пространств, то оба определения совпадают.

Ограниченность в теории порядка

Набор действительных чисел ограничен тогда и только тогда, когда он имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества. Следует отметить, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию "размер". Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным сверху, если существует элемент k в P, такой что k ≥ s для всех s из S. Элемент k называется верхней границей S. Понятия ограниченного снизу и нижней границы определяются аналогично. (См. также верхние и нижние границы.) Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы, или, эквивалентно, если оно содержится в интервале. Следует отметить, что это не только свойство множества S, но и свойство множества S как подмножества P. Ограниченное частично упорядоченное множество P (то есть само по себе, а не как подмножество) – это множество, имеющее наименьший и наибольший элементы. Следует отметить, что это понятие ограниченности не имеет отношения к конечному размеру, и что подмножество S ограниченного частично упорядоченного множества P, с порядком, являющимся ограничением порядка на P, не обязательно является ограниченным частично упорядоченным множеством. Подмножество S из Rn ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество Rn порядком произведения. Однако S может быть ограничено как подмножество Rn с лексикографическим порядком, но не относительно евклидова расстояния. Класс ординальных чисел называется неограниченным, или кофинальным, если для любого ординала всегда существует элемент этого класса, больший, чем он. Таким образом, в этом случае "неограниченный" означает не неограниченный сам по себе, а неограниченный как подкласс класса всех ординальных чисел.