Кіріспе
Алгебралық сандар теориясындағы Чеботарев тығыздық теоремасы рационалдық сандар өрісінің берілген Галуа кеңейтуі K-дегі жай сандардың бөлінуін статистикалық тұрғыдан сипаттайды. Жалпы алғанда, жай бүтін сан К-тің алгебралық бүтін сандарының сақинасындағы бірнеше идеалдық жай сандарға жіктеледі. Кез келген Галуа кеңейтуіндегі әрбір жай сан p-нің бөлінуін толық сипаттау – шешілмеген маңызды мәселе, бірақ Чеботарев тығыздық теоремасы берілген үлгінің пайда болу жиілігі, барлық жай сандар p үлкен бүтін сан N-ден кіші болғанда, N шексіздікке ұмтылғанда белгілі бір шекке жақындайды деп айтады. Оны Николай Чеботарев 1922 жылы өзінің диссертациясында дәлелдеді, ол жарияланды.
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in
A special case that is easier to state says that if K is an algebraic number field which is a Galois extension of of degree n, then the prime numbers that completely split in K have density
1/n
among all primes. More generally, splitting behavior can be specified by assigning to (almost) every prime number an invariant, its Frobenius element, which is a representative of a well defined conjugacy class in the Galois group
Gal(K/Q). Then the theorem says that the asymptotic distribution of these invariants is uniform over the group, so that a conjugacy class with k elements occurs with frequency asymptotic to
k/n.
Арнайы жағдайды айту оңай: егер K – n дәрежелі Галуа кеңейтуі болатын алгебралық сан өрісі болса, онда K-де толық бөлінетін жай сандардың барлық жай сандар арасындағы тығыздығы 1/n-ге тең. Көбірек айтқанда, бөліну мінез-құлқын әрбір жай санға оның Фробен элементін инвариант ретінде тағайындау арқылы анықтауға болады, ол Галуа тобындағы жақсы анықталған конъюгация класының өкілі болып табылады. Содан кейін теорема осы инварианттардың асимптотикалық үлестірілуі топ бойынша біркелкі екенін көрсетеді, сондықтан k элементі бар конъюгация класы k/n жиілігімен асимптотикалық түрде пайда болады.
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in
A special case that is easier to state says that if K is an algebraic number field which is a Galois extension of of degree n, then the prime numbers that completely split in K have density
1/n
among all primes. More generally, splitting behavior can be specified by assigning to (almost) every prime number an invariant, its Frobenius element, which is a representative of a well defined conjugacy class in the Galois group
Gal(K/Q). Then the theorem says that the asymptotic distribution of these invariants is uniform over the group, so that a conjugacy class with k elements occurs with frequency asymptotic to
k/n.
Дирихле теоремасымен байланысы
Чеботарев тығыздық теоремасын Дирихле теоремасының арифметикалық прогрессиялар туралы жалпылауы ретінде қарастыруға болады. Дирихле теоремасының сандық түрінде N≥2 бүтін сан және a саны N-ге өзімен жақын болса, онда N модулі бойынша a-ға конгруэнтті p жай сандарының үлесі 1/n-ге асимптотикалық жақындайды, мұндағы n = φ(N) – Эйлердің φ функциясы. Бұл N-ші циклотомиялық дене K үшін Чеботарев тығыздық теоремасының ерекше жағдайы. Шындығында, K/Q Галуа тобы абельдік және оны N модулі бойынша инверттенетін қалдықтар кластарының тобымен канондық түрде сәйкестендіруге болады. N-ді бөлмейтін p жай санының бөліну инварианты – оның N модулі бойынша қалдық класы, себебі p санына бөлінетін жай сандардың саны φ(N)/m-ге тең, мұндағы m – p санының N модулі бойынша көбейту реті; демек, Чеботарев тығыздық теоремасы бойынша, жай сандар N-ге өзімен жақын қалдықтар кластары арасында асимптотикалық түрде біркелкі таралады.
Формуляциясы
Олардың зерттеу мақаласында осы саладағы Фробениустің бұрынғы нәтижесі келтірілген. K – рационал сандар өрісі Q-ның Галуа кеңейтімі болсын, ал P(t) – K-де P-нің бөлу өрісі болатын мономиалды бүтін коэффициентті полином. P-ні жай сан p модулі бойынша жіктеудің мәні бар. Оның ‘бөліну типі’ – P mod p-нің ирредуктибелді факторларының дәрежелерінің тізімі, яғни P жай өріс Fp-де белгілі бір жолмен жіктеледі. Егер n – P-нің дәрежесі болса, онда бөліну типі – n-нің Π бөлінісі болып табылады. Сондай-ақ, K-нің Q-ға қарағандағы Галуа тобы G болса, G-дегі әрбір g – K-дегі P түбірлерінің орналасуы; басқаша айтқанда, α және оның алгебралық конъюгаттарының ретін таңдау арқылы G симметриялық топ Sn-нің ішкі тобы ретінде адал бейнеленеді. Біз g-ді оның циклдық бейнелеуі арқылы жаза аламыз, ол ‘циклдық типті’ c(g) береді, ол да n-нің бөлінісі. Фробениус теоремасы былай тұжырымдайды: кез келген Π таңдауы үшін P mod p-нің бөліну типі Π болатын p жай сандарының табиғи тығыздығы δ, ал δ – G-де циклдық типі Π болатын g-нің үлесіне тең. Ал Чеботарев теоремасының жалпылама тұжырымы жай санның (идеалдың) Фробениус элементері туралы айтады, ол шын мәнінде Галуа тобы G-нің элементтерінің C конъюгация класы болып табылады. Егер біз C-ді бекітсек, теорема асимптотикалық түрде |C|/|G| пропорциясында жай сандардың Фробениус элементері C-ге сәйкес келетінін айтады. G абельдік болған жағдайда, әрбір кластың мөлшері әрине 1-ге тең. 6-реттік абельдік емес топ үшін олардың мөлшері 1, 2 және 3-ке тең, және сәйкесінше (мысалы) 50% жай сандардың Фробениус элементері ретінде 2-реттік элементі бар. Осылайша, бұл жай сандардың қалдық дәрежесі 2-ге тең, сондықтан олар Q-ның 6-шы дәрежелі кеңейтімінде дәл 3 жай идеалға жіктеледі, оның Галуа тобы болып табылады.
The theorem of Frobenius states that for any given choice of Π the primes p for which the splitting type of P mod p is Π has a natural density δ, with δ equal to the proportion of g in G that have cycle type Π. The statement of the more general Chebotarev theorem is in terms of the Frobenius element of a prime (ideal), which is in fact an associated conjugacy class C of elements of the Galois group G. If we fix C then the theorem says that asymptotically a proportion |C|/|G| of primes have associated Frobenius element as C. When G is abelian the classes of course each have size 1. For the case of a non abelian group of order 6 they have size 1, 2 and 3, and there are correspondingly (for example) 50% of primes p that have an order 2 element as their Frobenius. So these primes have residue degree 2, so they split into exactly three prime ideals in a degree 6 extension of Q with it as Galois group.
Айтылым
L – K сан өрісінің шекті Галуа кеңейтімі болсын, оның Галуа тобы G. X – G тобында конъюгация бойынша тұрақты болатын жиынның ішкі жиыны болсын. L-де бұтақталмаған және Фробениус конъюгация класы Fv жиыны X-ке кіретін K өрісінің v алғашқы сандары жиынының тығыздығы
Бұл тұжырым алғашқы сандар жиынының табиғи тығыздығына немесе аналитикалық тығыздығына қатысты жарамды.
Шексіз кеңейтулер
Чеботарев тығыздық теоремасының тұжырымы K-нің S шекті жиынынан тыс тармақталмаған шексіз Галуа кеңейтуі L / K жағдайына жалпылауға болады (яғни, егер K-нің S шекті жиыны болса, онда S-қа кірмейтін K-нің кез келген жай саны L / K кеңейтуінде тармақталмайды). Бұл жағдайда L / K Галуа тобы Krull топологиясымен жабдықталған прокене топ болып табылады. G осы топологияда компактты болғандықтан, G-де μ бірегей Haar шамасы бар. S-қа кірмейтін K-нің әрбір v жай саны үшін Фробеньес конъюгация класы Fv сәйкес келеді. Осы жағдайдағы Чеботарев тығыздық теоремасын былай тұжырымдауға болады: Байланысты салдар ретінде, егер K-нің дерлік барлық жай идеалдары L-де толық бөлінетін болса, онда L = K болады.