Введение
Описывает статистически разложение простых чисел в заданном расширении Галуа поля рациональных чисел. Теорема о плотности Чеботарева в алгебраической теории чисел описывает статистически разложение простых чисел в заданном расширении Галуа K поля рациональных чисел. В общем случае, простое число раскладывается на несколько идеальных простых чисел в кольце алгебраических целых чисел K. Существует лишь конечное число возможных типов разложения. Хотя полное описание разложения каждого простого числа p в общем расширении Галуа является важной нерешенной проблемой, теорема о плотности Чеботарева утверждает, что частота появления заданного типа разложения, для всех простых чисел p, меньших большого целого числа N, стремится к определенному пределу при N стремящемся к бесконечности. Это было доказано Николаем Чеботаревым в его диссертации 1922 года, опубликованной в… Особый случай, который проще сформулировать, заключается в том, что если K – алгебраическое числовое поле, являющееся расширением Галуа степени n, то простые числа, полностью расщепляющиеся в K, имеют плотность 1/n среди всех простых чисел. В более общем виде, поведение разложения можно задать, присваивая (почти) каждому простому числу инвариант – его элемент Фробениуса, который является представителем хорошо определенного класса сопряженности в группе Галуа Gal(K/Q). Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряженности с k элементами встречается с асимптотической частотой k/n.
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in
A special case that is easier to state says that if K is an algebraic number field which is a Galois extension of of degree n, then the prime numbers that completely split in K have density
1/n
among all primes. More generally, splitting behavior can be specified by assigning to (almost) every prime number an invariant, its Frobenius element, which is a representative of a well defined conjugacy class in the Galois group
Gal(K/Q). Then the theorem says that the asymptotic distribution of these invariants is uniform over the group, so that a conjugacy class with k elements occurs with frequency asymptotic to
k/n.
Связь с теоремой Дирихле
Теорему плотности Чеботарева можно рассматривать как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях. Количественная форма теоремы Дирихле утверждает, что если N≥2 – целое число, а a взаимно просто с N, то доля простых чисел p, сравнимых с a по модулю N, асимптотически стремится к 1/n, где n = φ(N) – функция Эйлера. Это частный случай теоремы плотности Чеботарева для N-го циклотомического поля K. Действительно, группа Галуа K/Q является абелевой и может быть канонически отождествлена с группой обратимых классов вычетов по модулю N. Инвариант расщепления простого числа p, не делящего N, является просто его классом вычетов, поскольку число различных простых чисел, на которые p расщепляется, равно φ(N)/m, где m – мультипликативный порядок p по модулю N; следовательно, по теореме плотности Чеботарева, простые числа асимптотически равномерно распределены по различным классам вычетов, взаимно простым с N.
Формулировка
В своей обзорной статье приводится более ранний результат Фробениуса в этой области. Пусть K – расширение Галуа поля рациональных чисел Q, а P(t) – моничный целочисленный многочлен, такой что K является полем расщепления P. Имеет смысл разложить P по модулю простого числа p. Его «тип расщепления» – это список степеней неприводимых факторов P по модулю p, то есть P разлагается на множители каким-то образом над простым полем Fp. Если n – степень P, то тип расщепления является разбиением Π числа n. Рассматривая также группу Галуа G поля K над Q, каждое g из G является перестановкой корней P в K; другими словами, выбрав упорядочение α и его алгебраических сопряженных, G верно представляется как подгруппа симметрической группы Sn. Мы можем записать g с помощью его циклического представления, которое дает «циклический тип» c(g), также являющийся разбиением n. Теорема Фробениуса утверждает, что для любого заданного разбиения Π, множество простых чисел p, для которых тип расщепления P по модулю p равен Π, имеет естественную плотность δ, при этом δ равна доле элементов g в G, имеющих циклический тип Π. Формулировка более общей теоремы Чеботарёва дана в терминах элемента Фробениуса простого числа (идеала), который на самом деле является сопряженным классом C элементов группы Галуа G. Если мы фиксируем C, то теорема утверждает, что асимптотически доля простых чисел, имеющих в качестве элемента Фробениуса элемент из C, равна |C|/|G|. Когда G абелева, размеры классов, конечно, равны 1. Для случая неабелевой группы порядка 6 размеры классов равны 1, 2 и 3, и соответственно (например) 50% простых чисел p имеют элемент порядка 2 в качестве своего элемента Фробениуса. Следовательно, эти простые числа имеют степень остатка 2, то есть они расщепляются на ровно три простых идеала в расширении степени 6 поля Q, группа Галуа которого является G.
The theorem of Frobenius states that for any given choice of Π the primes p for which the splitting type of P mod p is Π has a natural density δ, with δ equal to the proportion of g in G that have cycle type Π. The statement of the more general Chebotarev theorem is in terms of the Frobenius element of a prime (ideal), which is in fact an associated conjugacy class C of elements of the Galois group G. If we fix C then the theorem says that asymptotically a proportion |C|/|G| of primes have associated Frobenius element as C. When G is abelian the classes of course each have size 1. For the case of a non abelian group of order 6 they have size 1, 2 and 3, and there are correspondingly (for example) 50% of primes p that have an order 2 element as their Frobenius. So these primes have residue degree 2, so they split into exactly three prime ideals in a degree 6 extension of Q with it as Galois group.
Заявление
Пусть L — конечное галуасово расширение числового поля K с группой Галуа G. Пусть X — подмножество G, устойчивое относительно сопряжения. Множество простых чисел v поля K, не разветвленных в L, и для которых соответствующий класс сопряжения Фробениуса Fv содержится в X, имеет плотность. Утверждение верно как для естественной, так и для аналитической плотности множества простых чисел.
The statement is valid when the density refers to either the natural density or the analytic density of the set of primes.
Бесконечные расширения
Заявление теоремы плотности Чеботарева может быть обобщено на случай бесконечного расширения Галуа L / K, неразветвленного вне конечного множества S простых чисел K (то есть, существует конечное множество S простых чисел K, такое что любое простое число K, не входящее в S, не разветвляется в расширении L / K). В этом случае группа Галуа G расширения L / K является проконечной группой, снабженной топологией Крулла. Поскольку G компактна в этой топологии, существует единственная мера Хаара μ на G. Для каждого простого числа v из K, не входящего в S, существует соответствующий класс сопряженности Фробениуса Fv. Теорему плотности Чеботарева в этой ситуации можно сформулировать следующим образом: Связанным следствием является то, что если почти все простые идеалы K расщепляются полностью в L, то, фактически, L = K.