Кіріспе
Коммутативтік алгебра теоремасы
Квилен–Суслин теоремасы, сондай-ақ Серрдің мәселесі немесе Серрдің болжамы деп белгілі, полиномдық сақиналар үстіндегі еркін модульдер мен проективті модульдер арасындағы байланыс туралы коммутативтік алгебрадағы теорема. Геометриялық тұрғыда бұл аффиндік кеңістіктегі векторлық шоғырлардың тривиальдығы туралы мәлімдеме. Теорема полиномдық сақинадағы әрбір шекті түрде туындаған проективті модульдің еркін екенін айтады.
Өмірбаян
Геометриялық тұрғыдан алғанда, сақина үстіндегі шекті түрде жасалған проекциялық модульдер аффиндік кеңістіктегі векторлық бумалармен сәйкес келеді, мұнда бос модульдер тривиалды векторлық бумаларға сәйкес келеді. Бұл сәйкестік (модульдерден (алгебралық) векторлық бумаларға) «глобализация» немесе «twiddlification» функторымен беріледі, жіберу (Хартшорн II.5, 110-бет). Аффиндік кеңістік топологиялық тұрғыдан жиырылатын, сондықтан ол тривиальді емес топологиялық векторлық бумаларды қабылдамайды. Экспоненциалды нақты тізбек пен d bar Poincaré леммасын қолданатын қарапайым аргумент ол сондай-ақ тривиальді емес голоморфты векторлық бумаларды қабылдамайтынын көрсетеді. Жан-Пьер Серр өзінің 1955 жылғы «Faisceaux algébriques cohérents» еңбегінде тиісті сұрақ алгебралық векторлық бумалар үшін белгісіз екенін атап өтті: «Шектеулі типтегі, бос емес проективті А модульдері бар ма, жоқ па, белгісіз». Мұнда А – өріс үстіндегі көпмүшелік сақина, яғни А = k[x]. Серрдің өкінішіне орай, бұл мәселе тез арада Серр болжамы ретінде танылды. (Серр былай деп жазды: «Мен [атыма] мүмкіндігінше жиі қарсылық білдірдім».) Бұл мәлімдеме топологиялық немесе голоморфтық жағдайда келтірілген дәлелдерден тікелей туындамайды. Бұл жағдайлар тек үздіксіз немесе голоморфты тривиализацияның бар екенін кепілдік береді, бірақ алгебралық тривиализацияны емес. 1957 жылы Серр әр шекті түрде жасалған проекциялық модульдің өріс үстіндегі көпмүшелік сақинада тұрақты түрде бос екенін дәлелдегенде, оның тікелей қосындысын шекті түрде жасалған бос модульмен құрағаннан кейін ол бос болатынын көрсетті. Бұл мәселе 1976 жылға дейін ашық қалды, ол кезде Дэниел Куиллен мен Андрей Суслин нәтижені тәуелсіз түрде дәлелдеді. 1978 жылы Куиллен Серр болжамын дәлелдегені үшін Филдс медалімен марапатталды. Леонид Васерштейн кейін теореманың қарапайым және әлдеқайда қысқа дәлелін берді, оны Серж Лангтың «Алгебра» еңбегінде табуға болады.
To Serre's dismay, this problem quickly became known as Serre's conjecture. (Serre wrote, "I objected as often as I could [to the name].") The statement does not immediately follow from the proofs given in the topological or holomorphic case. These cases only guarantee that there is a continuous or holomorphic trivialization, not an algebraic trivialization. Serre made some progress towards a solution in 1957 when he proved that every finitely generated projective module over a polynomial ring over a field was stably free, meaning that after forming its direct sum with a finitely generated free module, it became free. The problem remained open until 1976, when Daniel Quillen and Andrei Suslin independently proved the result. Quillen was awarded the Fields Medal in 1978 in part for his proof of the Serre conjecture. Leonid Vaseršteĭn later gave a simpler and much shorter proof of the theorem, which can be found in Serge Lang's Algebra.
Жалпылау
Проективті модульдерді тұрақты Ноэтериан сақиналары A және олардың полиномиялық сақиналарымен байланыстыратын жалпылама Басс-Квильен болжамы деп аталады. Аффиндік кеңістіктегі барлық шоғырлар тривиалды болғанымен, бұл G шоғырлары үшін дұрыс емес, мұнда G – жалпы редуктивті алгебралық топ.