Введение
Теорема коммутативной алгебры
Теорема Квильена — Суслина, также известная как проблема Серра или гипотеза Серра, — это теорема в коммутативной алгебре, касающаяся связи между свободными модулями и проективными модулями над кольцами многочленов. В геометрическом контексте она представляет собой утверждение о тривиальности векторных расслоений на аффинном пространстве. Теорема утверждает, что любой конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободен.
Предыстория
Геометрически, конечно порожденные проективные модули над кольцом соответствуют векторным расслоениям над аффинным пространством, где свободные модули соответствуют тривиальным векторным расслоениям. Это соответствие (от модулей к (алгебраическим) векторным расслоениям) задается функтором "глобализации" или "твистификации", отображающим (Hartshorne II.5, страница 110). Аффинное пространство топологически стягиваемо, поэтому оно не допускает нетривиальных топологических векторных расслоений. Простое рассуждение с использованием экспоненциальной точной последовательности и леммы Пуанкаре d-bar показывает, что оно также не допускает нетривиальных голоморфных векторных расслоений. Жан-Пьер Серр в своей статье 1955 года «Faisceaux algébriques cohérents» отметил, что соответствующий вопрос оставался открытым для алгебраических векторных расслоений: «Неизвестно, существуют ли проективные A-модули конечного типа, которые не являются свободными». Здесь A — полиномиальное кольцо над полем, то есть A = k[x]. К разочарованию Серра, эта проблема быстро стала известна как гипотеза Серра. (Серр писал: «Я возражал против этого названия как можно чаще».) Это утверждение не вытекает непосредственно из доказательств, представленных в топологическом или голоморфном случае. Эти случаи лишь гарантируют существование непрерывной или голоморфной тривиализации, а не алгебраической тривиализации. Серр добился определенного прогресса в 1957 году, доказав, что каждый конечно порожденный проективный модуль над полиномиальным кольцом над полем является стабильно свободным, то есть после взятия прямой суммы с конечно порожденным свободным модулем он становится свободным. Проблема оставалась нерешенной до 1976 года, когда Даниэль Куиллен и Андрей Суслин независимо доказали результат. Куиллен был удостоен медали Филдса в 1978 году, в частности, за доказательство гипотезы Серра. Леонид Васерштейн позднее предложил более простое и значительно более короткое доказательство теоремы, которое можно найти в «Алгебре» Сержа Ланга.
To Serre's dismay, this problem quickly became known as Serre's conjecture. (Serre wrote, "I objected as often as I could [to the name].") The statement does not immediately follow from the proofs given in the topological or holomorphic case. These cases only guarantee that there is a continuous or holomorphic trivialization, not an algebraic trivialization. Serre made some progress towards a solution in 1957 when he proved that every finitely generated projective module over a polynomial ring over a field was stably free, meaning that after forming its direct sum with a finitely generated free module, it became free. The problem remained open until 1976, when Daniel Quillen and Andrei Suslin independently proved the result. Quillen was awarded the Fields Medal in 1978 in part for his proof of the Serre conjecture. Leonid Vaseršteĭn later gave a simpler and much shorter proof of the theorem, which can be found in Serge Lang's Algebra.
Обобщение
Обобщение, связывающее проективные модули над регулярными нётеровыми кольцами A и их полиномиальными кольцами, известно как гипотеза Басса — Квиллена. Следует отметить, что хотя расслоения на аффинном пространстве все тривиальны, это неверно для G-расслоений, где G — общая редуктивная алгебраическая группа.