Кіріспе
Категория теориясында, математиканың бір саласы, субобъект – бұл, шамамен айтқанда, бірдей категориядағы басқа объектінің ішінде жатқан объект. Бұл түсінік, жиын теориясынан кіші жиындар, топ теориясынан кіші топтар және топологиядан кіші кеңістіктер сияқты ұғымдарды жалпылайды. Категория теориясында объектілердің нақты құрылымы маңызды емес болғандықтан, субобъектің анықтамасы элементтерді пайдалануға емес, бір объектінің екіншісінің ішінде қалай орналасқанын сипаттайтын морфизмге негізделеді. Субобъектке қарама-қарсы түсінік – бұл бөлшектік объект. Бұл, бөлшектік жиындар, бөлшектік топтар, бөлшектік кеңістіктер, бөлшектік графтар және т.б. сияқты ұғымдарды жалпылайды.
Анықтамалар
"Субъект" деген сөздің тиісті категориялық анықтамасы мақсатқа байланысты жағдайға қарай өзгеруі мүмкін. Бір жалпы анықтамасы мынадай. Егжей-тегжейлі айтқанда, белгілі бір санаттағы объект болсын. Екі мономорфизм берілген
with codomain , we define an equivalence relation by if there exists an isomorphism with
Equivalently, we write if factors through —that is, if there exists such that The binary relation defined by
is an equivalence relation on the monomorphisms with codomain , and the corresponding equivalence classes of these monomorphisms are the subobjects of
The relation ≤ induces a partial order on the collection of subobjects of
The collection of subobjects of an object may in fact be a proper class; this means that the discussion given is somewhat loose. If the subobject collection of every object is a set, the category is called well powered or, rarely, locally small (this clashes with a different usage of the term locally small, namely that there is a set of morphisms between any two objects). To get the dual concept of quotient object, replace "monomorphism" by "epimorphism" above and reverse arrows. A quotient object of A is then an equivalence class of epimorphisms with domain A. However, in some contexts these definitions are inadequate as they do not concord with well established notions of subobject or quotient object. In the category of topological spaces, monomorphisms are precisely the injective continuous functions; but not all injective continuous functions are subspace embeddings. In the category of rings, the inclusion is an epimorphism but is not the quotient of by a two sided ideal. To get maps which truly behave like subobject embeddings or quotients, rather than as arbitrary injective functions or maps with dense image, one must restrict to monomorphisms and epimorphisms satisfying additional hypotheses. Therefore one might define a "subobject" to be an equivalence class of so called "regular monomorphisms" (monomorphisms which can be expressed as an equalizer of two morphisms) and a "quotient object" to be any equivalence class of "regular epimorphisms" (morphisms which can be expressed as a coequalizer of two morphisms)
кодомены болып табылатын , біз эквиваленттілік қатынасын былай анықтаймыз: егер изоморфизм болса
Балама ретінде, егер факторланса – яғни, егер мұндай бар болса – деп жазамыз.
анықталған екілік қатынас – кодомены болып табылатын мономорфизмдердің эквиваленттілік қатынасы, ал осы мономорфизмдердің эквиваленттілік кластары – ның субобъектілері.
қатынасы ның субобъектілерінің жинағындағы ішінара реттілік индуциялайды.
Объектінің субобъектілерінің жинағы шындығында дұрыс класс болуы мүмкін; бұл талқылау белгілі бір дәрежеде шала болуын білдіреді. Егер әрбір объектінің субобъектілер жинағы жиын болса, онда санат жақсы қуатты немесе сирек жағдайда жергілікті шағын деп аталады (бұл терминнің жергілікті шағын терминінің басқа қолданылуымен, атап айтқанда, кез келген екі объекті арасында морфизмдер жиынтығы бар). Квозиент объектісінің қос тұжырымдамасын алу үшін жоғарыдағы "мономорфизмді" "эпиморфизмге" ауыстырып, жебелерді кері қайтыңыз. A-ның квозиент объектісі – A доменіндегі эпиморфизмдердің эквиваленттілік класы. Алайда, кейбір жағдайларда бұл анықтамалар жеткіліксіз, өйткені олар субобъект немесе квозиент объект туралы қалыптасқан түсініктерге сәйкес келмейді. Топологиялық кеңістіктер санатында мономорфизмдер дәл инъективті үздіксіз функциялар болып табылады; бірақ барлық инъективті үздіксіз функциялар субкеңістікке енгізу емес. Сақиналар санатында кіріктіру эпиморфизм болып табылады, бірақ екі жақты идеал бойынша квозиент емес. Субобъект кіріктірулері немесе квозиенттер сияқты нағыз мінез-құлық көрсететін карталарды алу үшін, кездейсоқ инъекциялық функциялар немесе тығыз бейнелі карталар ретінде емес, қосымша гипотезаларды қанағаттандыратын мономорфизмдер мен эпиморфизмдермен шектелуі керек. Сондықтан "субобъект" деп "регулярлы мономорфизмдердің" (екі морфизмнің теңестіргіші ретінде берілуі мүмкін мономорфизмдер) эквиваленттілік класын және "квозиент объектісі" деп "регулярлы эпиморфизмдердің" (екі морфизмнің котеңестіргіші ретінде берілуі мүмкін морфизмдер) кез келген эквиваленттілік класын анықтауға болады.
with codomain , we define an equivalence relation by if there exists an isomorphism with
Equivalently, we write if factors through —that is, if there exists such that The binary relation defined by
is an equivalence relation on the monomorphisms with codomain , and the corresponding equivalence classes of these monomorphisms are the subobjects of
The relation ≤ induces a partial order on the collection of subobjects of
The collection of subobjects of an object may in fact be a proper class; this means that the discussion given is somewhat loose. If the subobject collection of every object is a set, the category is called well powered or, rarely, locally small (this clashes with a different usage of the term locally small, namely that there is a set of morphisms between any two objects). To get the dual concept of quotient object, replace "monomorphism" by "epimorphism" above and reverse arrows. A quotient object of A is then an equivalence class of epimorphisms with domain A. However, in some contexts these definitions are inadequate as they do not concord with well established notions of subobject or quotient object. In the category of topological spaces, monomorphisms are precisely the injective continuous functions; but not all injective continuous functions are subspace embeddings. In the category of rings, the inclusion is an epimorphism but is not the quotient of by a two sided ideal. To get maps which truly behave like subobject embeddings or quotients, rather than as arbitrary injective functions or maps with dense image, one must restrict to monomorphisms and epimorphisms satisfying additional hypotheses. Therefore one might define a "subobject" to be an equivalence class of so called "regular monomorphisms" (monomorphisms which can be expressed as an equalizer of two morphisms) and a "quotient object" to be any equivalence class of "regular epimorphisms" (morphisms which can be expressed as a coequalizer of two morphisms)
Интерпретация
Бұл анықтама категориялар теориясының шеңберінен тыс, субобъектінің әдеттегі түсінігімен сәйкес келеді. Егер категорияның объектілері жиынтар (қосымша құрылымы бар, мысалы, топтық құрылым) болса және морфизмдер жиындық функциялар (қосымша құрылымды сақтайтын) болса, онда мономорфизм оның бейнесі арқылы қарастырылады. Мономорфизмдердің эквиваленттілік класы кластағы әрбір мономорфизмнің бейнесімен анықталады; яғни, егер олардың бейнелері T объектісінің бірдей ішкі жиыны (демек, субобъектісі) болса ғана, T объектісіне бағытталған f және g мономорфизмдері эквивалентті болып табылады. Бұл жағдайда, олардың домендерінің изоморфизмі болады, онда домендердің сәйкес элементтері f және g арқылы T-нің бірдей элементіне бейнеленеді; осылайша эквиваленттілік анықтамасы түсіндіріледі.
Мысалдар
Жинақтар санатында, A субобъектісі A жинағының B ішкі жиынына сәйкес келеді, немесе дәлірек айтқанда, B-ге эквивалентті жиынтардан B-ге бейнесі дәл B болатын барлық функциялар жиынына сәйкес келеді. Жинақтағы жиынның субобъектінің ішінара реті – оның ішкі жиындар торы. Grp, топтар санатында, A субобъектілері A топтарының ішкі топтарына сәйкес келеді. P = (P, ≤) ішінара реттелген класс берілгенде, P элементтерін объектілер ретінде және p-ден q-ға дейін p ≤ q болған жағдайда ғана бір жебеден тұратын санат құруға болады. Егер P-де ең үлкен элемент болса, осы ең үлкен элементтің субобъектінің ішінара реті P-нің өзі болады. Бұл, ішінара, мұндай санаттағы барлық жебелер мономорфизмдер болады себебінен. Терминалдық объектінің субобъектісі субтерминалдық объекті деп аталады.