Введение
В теории категорий, ветви математики, субобъект — это, грубо говоря, объект, находящийся внутри другого объекта в той же категории. Это понятие является обобщением таких понятий, как подмножества из теории множеств, подгруппы из теории групп и подпространства из топологии. Поскольку детальная структура объектов несущественна в теории категорий, определение субобъекта основывается на морфизме, описывающем, как один объект вложен в другой, а не на использовании элементов. Двойственным понятием к субобъекту является фактор-объект. Это обобщает такие понятия, как фактор-множества, фактор-группы, фактор-пространства, фактор-графы и т.д.
Определения
Соответствующее категорное определение "субъекта" может варьироваться в зависимости от контекста и цели. Одно из распространенных определений следующее. Пусть — объект некоторой категории. Для двух мономорфизмов с кодоменом , определяем отношение эквивалентности, если существует изоморфизм с . Эквивалентно, мы пишем , если факторизуется через — то есть, если существует такой , что . Бинарное отношение, определенное как , является отношением эквивалентности на мономорфизмах с кодоменом , и соответствующие классы эквивалентности этих мономорфизмов являются подобъектами . Отношение ≤ индуцирует частичный порядок на множестве подобъектов . Множество подобъектов объекта может быть собственным классом; это означает, что данное обсуждение несколько нестрогое. Если множество подобъектов каждого объекта является множеством, то категория называется хорошо упорядоченной или, редко, локально малой (это противоречит другому использованию термина "локально малая", а именно, что существует множество морфизмов между любыми двумя объектами). Чтобы получить двойственное понятие фактор-объекта, замените "мономорфизм" на "эпиморфизм" выше и поменяйте направление стрелок. Фактор-объект — это класс эквивалентности эпиморфизмов с областью определения . Однако в некоторых контекстах эти определения неадекватны, поскольку они не согласуются с устоявшимися понятиями субобъекта или фактор-объекта. В категории топологических пространств мономорфизмы — это ровно инъективные непрерывные функции, но не все инъективные непрерывные функции являются вложениями подпространств. В категории колец включение является эпиморфизмом, но не является фактор-кольцом по двустороннему идеалу. Чтобы получить отображения, которые действительно ведут себя как вложения субобъектов или фактор-отображения, а не как произвольные инъективные функции или отображения с плотным образом, необходимо ограничиться мономорфизмами и эпиморфизмами, удовлетворяющими дополнительным условиям. Поэтому можно определить "субъект" как класс эквивалентности так называемых "регулярных мономорфизмов" (мономорфизмов, которые можно выразить как эквалайзер двух морфизмов), а "фактор-объект" — как любой класс эквивалентности "регулярных эпиморфизмов" (морфизмов, которые можно выразить как коэквалайзер двух морфизмов).
with codomain , we define an equivalence relation by if there exists an isomorphism with
Equivalently, we write if factors through —that is, if there exists such that The binary relation defined by
is an equivalence relation on the monomorphisms with codomain , and the corresponding equivalence classes of these monomorphisms are the subobjects of
The relation ≤ induces a partial order on the collection of subobjects of
The collection of subobjects of an object may in fact be a proper class; this means that the discussion given is somewhat loose. If the subobject collection of every object is a set, the category is called well powered or, rarely, locally small (this clashes with a different usage of the term locally small, namely that there is a set of morphisms between any two objects). To get the dual concept of quotient object, replace "monomorphism" by "epimorphism" above and reverse arrows. A quotient object of A is then an equivalence class of epimorphisms with domain A. However, in some contexts these definitions are inadequate as they do not concord with well established notions of subobject or quotient object. In the category of topological spaces, monomorphisms are precisely the injective continuous functions; but not all injective continuous functions are subspace embeddings. In the category of rings, the inclusion is an epimorphism but is not the quotient of by a two sided ideal. To get maps which truly behave like subobject embeddings or quotients, rather than as arbitrary injective functions or maps with dense image, one must restrict to monomorphisms and epimorphisms satisfying additional hypotheses. Therefore one might define a "subobject" to be an equivalence class of so called "regular monomorphisms" (monomorphisms which can be expressed as an equalizer of two morphisms) and a "quotient object" to be any equivalence class of "regular epimorphisms" (morphisms which can be expressed as a coequalizer of two morphisms)
Интерпретация
Это определение соответствует общепринятому пониманию подобъекта вне теории категорий. Когда объекты категории – множества (возможно, с дополнительной структурой, такой как групповая структура), а морфизмы – функции между множествами (сохраняющие эту дополнительную структуру), мономорфизм обычно рассматривается через его образ. Класс эквивалентности мономорфизмов определяется образом каждого мономорфизма в этом классе; то есть, два мономорфизма f и g в объект T эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы совпадают, то есть являются одним и тем же подмножеством (следовательно, подобъектом) T. В этом случае существует изоморфизм между их областями определения, при котором соответствующие элементы этих областей посредством f и g, соответственно, отображаются в один и тот же элемент T; это и объясняет определение эквивалентности.
Примеры
В множестве, категории множеств, подобъект объекта A соответствует подмножеству B объекта A, точнее – коллекции всех отображений из множеств, эквивалентных по мощности B, с образом, точно равным B. Частичный порядок подобъектов множества в категории множеств – это просто решётка подмножеств. В Grp, категории групп, подобъекты объекта A соответствуют подгруппам A. Для частично упорядоченного класса P = (P, ≤) можно построить категорию, объекты которой – элементы P, а между p и q существует ровно одна стрелка, если p ≤ q. Если P имеет наибольший элемент, то частичный порядок подобъектов этого наибольшего элемента будет самим P. Это отчасти связано с тем, что все стрелки в такой категории будут мономорфизмами. Подобъект терминального объекта называется субтерминальным объектом.