Кездейсоқ өрістер: физика, математика және қолданыстары
Random field
Кездейсоқ өріс – физика мен математикадағы кездейсоқ функция. Ол көп өлшемді кеңістікте кездейсоқ мән қабылдайды. Стохастикалық процестің жалпылама түрі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Физика мен математикада кездейсоқ өріс – кез келген доменде (әдетте көп өлшемді кеңістік, мысалы ) анықталған кездейсоқ функция. Яғни, ол әрбір нүктеде (немесе басқа доменде) кездейсоқ мән қабылдайтын функция. Ол кейде индекс жиынында белгілі бір шектеулері бар стохастикалық процестің синонимі ретінде де қарастырылады. Қазіргі заманғы анықтамалар бойынша, кездейсоқ өріс – бұл стохастикалық процестің жалпылауы болып табылады, онда негізгі параметр енді нақты немесе бүтін сандық "уақыт" болуы міндетті емес, бірақ оның орнына көп өлшемді векторлар немесе кейбір манифольдтағы нүктелер болатын мәндерді қабылдауы мүмкін.
In physics and mathematics, a random field is a random function over an arbitrary domain (usually a multi dimensional space such as ). That is, it is a function that takes on a random value at each point (or some other domain). It is also sometimes thought of as a synonym for a stochastic process with some restriction on its index set. That is, by modern definitions, a random field is a generalization of a stochastic process where the underlying parameter need no longer be real or integer valued "time" but can instead take values that are multidimensional vectors or points on some manifold.
Ресми анықтама
Ықтималдық кеңістік берілгенде, X-мәнді кездейсоқ өріс – бұл T топологиялық кеңістігінің элементтерімен индекстелген X-мәнді кездейсоқ айнымалылардың жиынтығы. Яғни, F кездейсоқ өрісі – бұл әрқайсысы X-мәнді кездейсоқ айнымалы болатын жиын.
Given a probability space , an X valued random field is a collection of X valued random variables indexed by elements in a topological space T. That is, a random field F is a collection
where each is an X valued random variable.
Мысалдар
Кездейсоқ өріс – кеңістіктегі дискретті нүктелер жиынымен (мысалы, n өлшемді Евклид кеңістігі) сәйкес келетін кездейсоқ сандар тізімі. Екі өлшемді торда (0,0), (0,2), (2,2) және (2,0) координаталарында орналасқан төрт кездейсоқ айнымалы бар делік. Әрбір кездейсоқ айнымалы 1 немесе -1 мәнін қабылдай алады деп есептейік, және әрбір кездейсоқ айнымалының мәні оның тікелей көршілеріне байланысты. Бұл дискретті кездейсоқ өрістің қарапайым мысалы. Көбінесе, әрбір айнымалы қабылдай алатын мәндер үздіксіз салалы доменде анықталуы мүмкін. Ірі торларда кездейсоқ өрісті жоғарыда сипатталғандай "функциялық мәнді" кездейсоқ айнымалы ретінде қарастыру ыңғайлы болуы мүмкін. Кванттық өріс теориясында бұл түсінік кездейсоқ функционалға дейін жалпыланады, ол функциялар кеңістігінде кездейсоқ мәндерді қабылдайды (Фейнман интегралына қараңыз). Кездейсоқ өрістердің бірнеше түрі бар, соның ішінде Марков кездейсоқ өрісі (MRF), Гиббс кездейсоқ өрісі, шартты кездейсоқ өрісі (CRF) және Гаусс кездейсоқ өрісі. 1974 жылы Джулиан Бесаг MRF және Гиббс өрістері арасындағы байланысқа негізделген жуықтау әдісін ұсынды.
In its discrete version, a random field is a list of random numbers whose indices are identified with a discrete set of points in a space (for example, n dimensional Euclidean space). Suppose there are four random variables, , , , and , located in a 2D grid at (0,0), (0,2), (2,2), and (2,0), respectively. Suppose each random variable can take on the value of 1 or 1, and the probability of each random variable's value depends on its immediately adjacent neighbours. This is a simple example of a discrete random field. More generally, the values each can take on might be defined over a continuous domain. In larger grids, it can also be useful to think of the random field as a "function valued" random variable as described above. In quantum field theory the notion is generalized to a random functional, one that takes on random values over a space of functions (see Feynman integral). Several kinds of random fields exist, among them the Markov random field (MRF), Gibbs random field, conditional random field (CRF), and Gaussian random field. In 1974, Julian Besag proposed an approximation method relying on the relation between MRFs and Gibbs RFs.
Қолданбалар
Табиғи ғылымдарда қолданылғанда, кездейсоқ өрістегі мәндер көбінесе кеңістікте өзара байланысты болады. Мысалы, жақын орналасқан мәндер (яғни, жақын индекстері бар мәндер) алыс орналасқан мәндерге қарағанда аз айырмашылыққа ие. Бұл – ковариациялық құрылымның мысалы, оның көптеген түрлері кездейсоқ өрісте модельделуі мүмкін. Бір мысал – Исинг моделі, онда кейде ең жақын көршілердің өзара әрекеттесуі модельді жақсырақ түсіну үшін жеңілдету ретінде ғана қосылады. Кездейсоқ өрістердің кең таралған қолданысы – компьютерлік графиканы жасау, әсіресе су және жер сияқты табиғи беттерді имитациялайтындарын. Кездейсоқ өрістер сондай-ақ жер асты модельдерінде де қолданылады.
When used in the natural sciences, values in a random field are often spatially correlated. For example, adjacent values (i. e. values with adjacent indices) do not differ as much as values that are further apart. This is an example of a covariance structure, many different types of which may be modeled in a random field. One example is the Ising model where sometimes nearest neighbor interactions are only included as a simplification to better understand the model. A common use of random fields is in the generation of computer graphics, particularly those that mimic natural surfaces such as water and earth. Random fields have been also used in subsurface ground models as in
Нейробиологияда, әсіресе ПЭТ немесе ФМРТ қолданылатын, міндеттерге байланысты функционалды ми бейнелеу зерттеулерінде, кездейсоқ өрістердің статистикалық талдауы – нақты мағыналы белсенділік көрсеткен аймақтарды анықтау үшін көптеген салыстыруларды түзетудің бір әдеттегі баламасы. Олар машиналық оқыту саласында да қолданылады (графикалық модельдерге қараңыз).
In neuroscience, particularly in task related functional brain imaging studies using PET or fMRI, statistical analysis of random fields are one common alternative to correction for multiple comparisons to find regions with truly significant activation. They are also used in machine learning applications (see graphical models).
Тензорлық бағаланған кездейсоқ өрістер
Кездейсоқ өрістер табиғи процестерді Монте-Карло әдісімен зерттеуде маңызды рөл атқарады, онда кездейсоқ өрістер табиғи түрде кеңістікте өзгеретін қасиеттерге сәйкес келеді. Бұл тензорлық мәнді кездейсоқ өрістерге алып келеді, онда статистикалық көлем элементі (СВЭ) маңызды рөл атқарады – бұл қасиеттерді орташалауға болатын кеңістіктік қорап. СВЭ жеткілікті үлкен болғанда, оның қасиеттері детерминистік болады және детерминистік континуум физикасының өкілдік көлем элементіне (РВЭ) айналады. Континуум теорияларында кездесетін кездейсоқ өрістердің екінші түрі – тәуелді шамалар (температура, ығысу, жылдамдық, деформация, бұрылу, дене және беттік күштер, кернеу және т.б.).
Random fields are of great use in studying natural processes by the Monte Carlo method in which the random fields correspond to naturally spatially varying properties. This leads to tensor valued random fields in which the key role is played by a statistical volume element (SVE), which is a spatial box over which properties can be averaged; when the SVE becomes sufficiently large, its properties become deterministic and one recovers the representative volume element (RVE) of deterministic continuum physics. The second type of random field that appears in continuum theories are those of dependent quantities (temperature, displacement, velocity, deformation, rotation, body and surface forces, stress, etc. ).