Кіріспе
Браундық қозғалысты жалпылайтын стохастикалық процесс. Математикада Винер процесі – американдық математик Норберт Винердің бір өлшемді Браундық қозғалыстың математикалық қасиеттерін зерттеуіне байланысты аталған, нақты мәнді үздіксіз уақыт стохастикалық процесі. Ол шотланд ботанигі Роберт Браунның алғашқы байқауымен байланысты тарихи тұрғыдан Браундық қозғалыс деп те аталады. Бұл Леви процестерінің (тұрақты тәуелсіз өсімдері бар càdlàg стохастикалық процестері) ең танымал процестерінің бірі және таза және қолданбалы математикада, экономикада, сандық қаржыда, эволюциялық биологияда және физикада жиі кездеседі. Винер процесі таза және қолданбалы математикада маңызды рөл атқарады. Таза математикада Винер процесі үздіксіз уақыт мартингалдарын зерттеуге мүмкіндік берді. Бұл күрделі стохастикалық процестерді сипаттау үшін негізгі процесс болып табылады. Осылайша, ол стохастикалық есептеуде, диффузиялық процестерде және тіпті потенциалдар теориясында маңызды рөл атқарады. Бұл Шрамм-Лоунер эволюциясын қозғаушы процесс. Қолданбалы математикада Винер процесі ақ шудың Гаусс процесінің интегралын бейнелеу үшін қолданылады, сондықтан электроника инженерлігінде шу моделі ретінде пайдалы (Браун шуын қараңыз), сүзгілеу теориясындағы құрал қателері және басқару теориясындағы бұзылыстар үшін қолданылады. Винер процесі математикалық ғылымдардың барлық салаларында қолданылады. Физикада ол Браундық қозғалысты, сұйықтықтағы ұсақ бөлшектердің диффузиясын және Фокер-Планк және Лангевин теңдеулері арқылы диффузияның басқа түрлерін зерттеу үшін қолданылады. Сонымен қатар, ол кванттық механиканың қатаң жол интегралды формуласының негізін құрайды (Фейнман-Кац формуласы бойынша Шредингер теңдеуінің шешімі Винер процесі арқылы көрсетілуі мүмкін) және физикалық космологиядағы мәңгілік инфляцияны зерттеуде қолданылады. Бұл сондай-ақ қаржының математикалық теориясында, әсіресе Black-Scholes опция бағалау моделінде маңызды орынға ие.
In mathematics, the Wiener process is a real valued continuous time stochastic process named in honor of American mathematician Norbert Wiener for his investigations on the mathematical properties of the one dimensional Brownian motion. It is often also called Brownian motion due to its historical connection with the physical process of the same name originally observed by Scottish botanist Robert Brown. It is one of the best known Lévy processes (càdlàg stochastic processes with stationary independent increments) and occurs frequently in pure and applied mathematics, economics, quantitative finance, evolutionary biology, and physics. The Wiener process plays an important role in both pure and applied mathematics. In pure mathematics, the Wiener process gave rise to the study of continuous time martingales. It is a key process in terms of which more complicated stochastic processes can be described. As such, it plays a vital role in stochastic calculus, diffusion processes and even potential theory. It is the driving process of Schramm–Loewner evolution. In applied mathematics, the Wiener process is used to represent the integral of a white noise Gaussian process, and so is useful as a model of noise in electronics engineering (see Brownian noise), instrument errors in filtering theory and disturbances in control theory. The Wiener process has applications throughout the mathematical sciences. In physics it is used to study Brownian motion, the diffusion of minute particles suspended in fluid, and other types of diffusion via the Fokker–Planck and Langevin equations. It also forms the basis for the rigorous path integral formulation of quantum mechanics (by the Feynman–Kac formula, a solution to the Schrödinger equation can be represented in terms of the Wiener process) and the study of eternal inflation in physical cosmology. It is also prominent in the mathematical theory of finance, in particular the Black–Scholes option pricing model.
Кездейсоқ жүріс шегі ретінде Винер процесі
Орташа мәні 0 және дисперсиясы 1 болатын i. i. d. тәуелсіз және бірдей үлестірілген кездейсоқ айнымалылар болсын. Әр n үшін үздіксіз уақыт бойынша стохастикалық процесті анықтаңыз. Бұл кездейсоқ қадамдық функция. -ның іргелесулері тәуелсіз, себебі -лар тәуелсіз. Үлкен n үшін, орталық шек теоремасы бойынша -ға жуықтайды. Донскер теоремасы, -ге дейін жеткенде -ның Винер процесіне жақындасатынын көрсетеді, бұл Броун қозғалысының кең таралғандығын түсіндіреді.
This is a random step function. Increments of are independent because the are independent. For large n, is close to by the central limit theorem. Donsker's theorem asserts that as , approaches a Wiener process, which explains the ubiquity of Brownian motion.
Браун масштабтау
Әрбір c > 0 үшін бұл процесс тағы бір Винер процесі.
Уақытты кері ауыстыру
0 ≤ t ≤ 1 аралығындағы процесс, 0 ≤ t ≤ 1 аралығындағы Wt сияқты үлестірілген.
Уақыт инверсиясы
Бұл процесс тағы бір Винер процесі.
Екі өлшемдегі конформды инварианттылық
Екі өлшемді Винер процесі болсын, ол кешенді мәнді процесс ретінде қарастырылсын, мұнда 0-ді қамтитын ашық жиынтық және оған сәйкес Марков уақыты: Егер тұрақты емес голоморфтық функция болса, онда Винер процесі уақыт бойынша өзгертілген процесс болады. Нақтырақ айтқанда, процесс Марков уақытымен Винер процесі болып табылады, мұнда:
If is a holomorphic function which is not constant, such that , then is a time changed Wiener process in More precisely, the process is Wiener in with the Markov time where
Үлгі жолдарының кейбір қасиеттері
Осы қасиеттерге ие w функцияларының жиынтығы толық Винер өлшемімен сипатталады. Яғни, Винер процесінің траекториясы (үлгілік функциясы) дерлік барлық жағдайларда осы қасиеттердің бәріне де ие.
Сапалық қасиеттері
Кез келген ε > 0 үшін, w функциясы (0, ε) аралығында (қатаң) оң және (қатаң) теріс мәндерді қабылдайды. w функциясы барлық жерде үздіксіз, бірақ ешқандай жерде дифференциалдана бермейді (Вейерштрасс функциясы сияқты). Кез келген жағдайда, дерлік сөзсіз Хёльдер үздіксіз емес, ал дерлік сөзсіз Хёльдер үздіксіз. w функциясының жергілікті максимум нүктелері тығыз саналатын жиынды құрайды; максимум мәндері жұп-жұп ерекшеленеді; әрбір жергілікті максимум мына мағынада өткір: егер w функциясы t нүктесінде жергілікті максимумға ие болса, онда . Осыған ұқсас жағдай жергілікті минимумдар үшін де орындалады. w функциясының жергілікті өсу нүктелері жоқ, яғни, t > 0 үшін, (0, t) аралығындағы кейбір ε үшін келесі шарттар орындалмайды: біріншіден, барлық s ∈ (t − ε, t) үшін w(s) ≤ w(t), екіншіден, барлық s ∈ (t, t + ε) үшін w(s) ≥ w(t). (Жергілікті өсу, w функциясының (t − ε, t + ε) аралығында өсуінен әлсіз шарт). Осыған ұқсас жағдай жергілікті төмендеу үшін де орындалады. w функциясы кез келген аралықта шексіз өзгереді. w функциясының [0, t] аралығындағы квадраттық вариациясы t-ға тең. w функциясының нөлдері – Лебег өлшемі 0 және Хаусдорф өлшемі 1/2 болатын ешқандай жерде тығыз емес толық жиын (сондықтан, санауға келмейтін).
Zeros of the function w are a nowhere dense perfect set of Lebesgue measure 0 and Hausdorff dimension 1/2 (therefore, uncountable).
Өлшемді екі еселеу теоремасы
Браун қозғалысы астындағы жиынның Хаусдорф өлшемі дерлік қамтитын жағдайда екі еселенеді деп мәлімдейтін өлшемді екі еселеу теоремалары бар.
Жергілікті уақыт
Картаның w (итеру өлшемі) астындағы [0, t] аралығындағы Лебег өлшемінің тығыздығы Lt болады. Осылайша,
f функцияларының кең класы үшін (атап айтқанда: барлық үздіксіз функциялар; барлық жергілікті интегралданатын функциялар; барлық теріс емес өлшенетін функциялар). Lt тығыздығы (дәлірек айтқанда, үздіксіз болуы мүмкін және осылай таңдалады). Lt(x) саны [0, t] аралығындағы w-нің x нүктесіндегі жергілікті уақыты деп аталады. Ол (a, b) аралығының барлық x үшін қатаң оң, мұнда a және b – w-нің [0, t] аралығындағы ең кіші және ең үлкен мәндері. (Осы аралықтан тыс x үшін жергілікті уақыт нөлге тең болады.) Екі айнымалы – x және t функциясы ретінде қарастырылғанда, жергілікті уақыт үздіксіз болып қалады. t функциясы ретінде қарастырылғанда (x тұрақты болса), жергілікті уақыт w нөлдер жиынындағы атомдық емес өлшемге сәйкес келетін ерекше функция болып табылады.
Бұл үздіксіздік қасиеттері өте күрделі. Ескеріңіз, жергілікті уақытты тегіс функция үшін де анықтауға болады (итеру өлшемінің тығыздығы ретінде). Бірақ, онда тығыздық үздіксіз болады, егер берілген функция монотонды болмаса. Басқаша айтқанда, функцияның жақсы қасиеттері мен оның жергілікті уақытының жақсы қасиеттері арасында қайшылық бар. Осы тұрғыдан алғанда, Винер процесінің жергілікті уақытының үздіксіздігі – траекторияның тегіс еместігінің тағы бір көрінісі болып табылады.
Ақпарат беру деңгейі
Винер процесінің квадраттық қатеге қатысты ақпараттық жылдамдығы, яғни оның квадраттық жылдамдық бұрмалау функциясы мына түрде беріледі:
Сондықтан, биттен кем биттік екілік кодты қолданып оны кодтау және күтілетін орташа квадраттық қатеден кем қателікпен қалпына келтіру мүмкін емес. Екінші жағынан, кез келген үшін, жеткілікті үлкен және ерекше элементі бар екілік код табылады, онда осы кодтан қалпына келтірудегі күтілетін орташа квадраттық қате тең немесе кішкентай болады. Көп жағдайларда Винер процесін алдымен дискреттеместен (үлгі алмастан) кодтау мүмкін емес. Егер Винер процесін аралықтармен үлгілеу кезінде осы үлгілерді бейнелеу үшін екілік код қолданылса, кодтың жылдамдығы мен күтілетін орташа квадраттық қате арасындағы оптималды тепе-теңдік (жалғасқан уақыт Винер процесін бағалауда) параметрлік түрде келесідей сипатталады:
In many cases, it is impossible to encode the Wiener process without sampling it first. When the Wiener process is sampled at intervals before applying a binary code to represent these samples, the optimal trade off between code rate and expected mean square error (in estimating the continuous time Wiener process) follows the parametric representation
мұнда және әсіресе, орташа квадраттық қате тек үлгі алу операциясымен байланысты (кодтаусыз).
Браун мартингалдары
А Вьенер процесіне қатысты оқиға болсын (дәлірек айтқанда: функциялар кеңістігінде Вьенер өлшеміне қатысты өлшенетін жиын), ал Xt – [0, t] уақыт аралығындағы Вьенер процесі бойынша берілген А оқиғасының шартты ықтималдығы (дәлірек айтқанда: берілген [0, t] аралығындағы ішінара траекториясымен біріктірілген траекториялар жиынының Вьенер өлшемі А жиынына жатады). Онда Xt процесі үздіксіз мартингейл болады. Оның мартингейл қасиеттері анықтамаларынан тікелей шығады, бірақ оның үздіксіздігі – ерекше факт, барлық Браун мартингейлдары үздіксіз екенін көрсететін жалпы теореманың ерекше жағдайы. Браун мартингейлі – анықтама бойынша, Браун сүзілісіне бейімделген мартингейл; ал Браун сүзілісі – анықтама бойынша, Вьенер процесімен туындаған сүзіліс.
Іс-шараны өзгерту
Винер процесімен уақыттың өзгеруі және шараның ауысуының комбинациясы арқылы үлкен класс үзділіссіз жартылай мартингальдар (әсіресе, диффузиялық процестер) байланыстырылады. Осы фактіні пайдалана отырып, жоғарыда айтылған сапалық қасиеттерді үлкен класс үзділіссіз жартылай мартингальдарға да қолдануға болады.
Күрделі мәнді Винер процесі
Күрделі мәнді Винер процесін, мына түрдегі күрделі мәнді кездейсоқ процесс ретінде анықтауға болады, мұнда және тәуелсіз Винер процестері (нақты мәнді).
Өзін-өзі ұқсату
Браун масштабтау, уақытты кері бұру, уақыт инверсиясы: нақты мәнді жағдайдағыдай. Айналу инварианттылығы: кез келген кешенді сан үшін процесс басқа кешенді Винер процесіне тең.
Браундық табақ
Браундық парақ – көп параметрлі жалпылама. Оның анықтамасы авторлар арасында әртүрлі болады, кейбіреулері Браундық парақты нақты екі өлшемді уақыт параметріне ие деп анықтайды, ал басқалары оны кез келген өлшем үшін анықтайды.