Кіріспе

Стохастикалық дифференциалдық теңдеу
Физикада Лангевин теңдеуі (Пол Лангевиннің есімімен аталған) – детерминистік және флуктуациялық ("кәдімгі емес") күштердің әрекетіне түскенде жүйенің қалай өзгеретінін сипаттайтын стохастикалық дифференциалдық теңдеу. Лангевин теңдеуіндегі тәуелді айнымалылар жүйедегі басқа (микроскопиялық) айнымалылармен салыстырғанда баяу өзгеретін ұжымдық (макроскопиялық) айнымалылар болып табылады. Лангевин теңдеуінің стохастикалық сипатына жылдам (микроскопиялық) айнымалылар себепкер. Бір қолданылуы – Браун қозғалысы, ол сұйықтықтағы кішкентай бөлшектің кездейсоқ қозғалысын модельдейді.

Математикалық аспектілер

Қатаң түрде байланысты ауытқушы күш әдеттегі математикалық мағынада функция емес, тіпті оның туындысы да осы лимитте анықталмайды. Бұл мәселе Лангевин теңдеуін интеграл түрінде жазғанда жоғалады. Сондықтан дифференциалдық форма – оның уақыт бойынша интегралының ғана қысқартылған жазуы. Мұндай теңдеулердің жалпы математикалық атауы – "стохастикалық дифференциалдық теңдеу". Лангевин теңдеулерінде көбейтінді түріндегі шу болғанда тағы бір математикалық беймаздық туындайды, ол тәуелді айнымалылардың тұрақты емес функциясымен көбейтілген шу терминдерін білдіреді, мысалы, егер көбейтінді шуы жүйеге ішкі болса, оның анықтамасы беймаз болады, себебі оны Стратонович немесе Ито схемасы бойынша түсіндіру бірдей дұрыс (Ито есептеуіне қараңыз). Дегенмен, физикалық шамалар интерпретацияға тәуелсіз болады, егер соңғысы теңдеумен жұмыс істегенде дәйекті түрде қолданылса. Бұл қажет, өйткені есептеудің символдық ережелері интерпретация схемасына байланысты өзгереді. Егер шу жүйеден тыс болса, онда Stratonovich интерпретациясы қолданылуы керек.

Күрделі динамика

Екінші реттік фазалық ауысудың реттік параметрінің динамикасы сындық нүктеге жақын баяулайды және оны Лангевин теңдеуімен сипаттауға болады. Мұнда біз айнымалылар мен уақыт аралығы бойынша байланыссыз болатын қасиетін қолдандық. Сонымен қатар, a-ның мәні тепе-теңдік теоремасына сәйкес келетіндей етіп орнатылды. Егер жүйе бастапқыда жылулық тепе-теңдікте болса, онда барлық t үшін, яғни жүйе барлық уақытта тепе-теңдікте қалады. Браундық бөлшектің жылдамдығы оның траекториясын алу үшін интегралданады. Егер ол бастапқыда 1 ықтималдығымен нөлдік нүктеде орналасса, онда нәтиже:

Осылайша, жүйе релаксацияланғанда орташа орын ауыстыру асимптоталық түрде жақындайды. Орташа квадраттық орын ауыстыруды да осыған ұқсас анықтауға болады:

Бұл өрнек , яғни жүйенің релаксация уақытынан әлдеқайда қысқа уақыт өлшемдеріндегі Браун бөлшектерінің қозғалысы (шамамен) уақытқа қатысты өзгермейтін (инвариантты) екенін көрсетеді. Екінші жағынан, , бұл кері қайтарылмайтын, энергияны жоғалтатын процесті көрсетеді.

Атмосфералық беткі қабаттағы турбулентті кинетикалық энергия

Турбуленттік кинетикалық энергияның ықтималдық тығыздық функциясы p(k) диабетикалық атмосфералық беттік қабатындағы (ASL) ағындар үшін зерттеледі. Авторлар бұрынғы зерттемеде жылдамдық компоненттері Гауссқа жақын және олардың амплитудаларының квадраттары дерлік тәуелсіз болғанда, нәтижедегі p(k) γ-үлестірілімге ие екенін көрсеткен. Сондықтан, γ-үлестірілімді p(k) сақтайтын, бірақ k-ның орташа күйіне сызықтық релаксацияға мүмкіндік беретін сызықтық емес Лангевин теңдеуі ұсынылып, бірнеше ASL дерек жиынтығында сынақтан өткізіледі.

Теңдес әдістер

Кейбір жағдайларда, адамды Лангевин теңдеуінің шудың нақты іске асырылуына арналған шешіміне қарағанда, шудың орташа мінез-құлқы көбірек қызықтырады. Бұл бөлімде Лангевин теңдеуіне тән стохастикалық есептеулерден өзгеше, бірақ олармен эквивалентті орташа мінез-құлықты алу әдістері сипатталады.

Фокер-Планк теңдеуі

Фокер-Планк теңдеуі – стохастикалық айнымалылардың уақытқа тәуелді ықтималдық тығыздығын сипаттайтын детерминистік теңдеу. Осы мақалада сипатталған жалпы Лангевин теңдеуіне сәйкес Фокер-Планк теңдеуі төмендегідей:

Тепе-теңдік бөлінісі – тұрақты шешім.