Кіріспе
Бөлшектік дифференциалдық теңдеу
Статистикалық механика мен ақпарат теориясында Фоккер-Планк теңдеуі – Браун қозғалысындағыдай, сүйреу күштерінің және кездейсоқ күштердің әсерінен бөлшектің жылдамдығының ықтималдық тығыздық функциясының уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Теңдеуді басқа да өлшенетін шамаларға да жалпылауға болады. Фоккер-Планк теңдеуі ақпараттық теорияда, графтар теориясында, деректер ғылымында, қаржы, экономика және т.б. салаларда кеңінен қолданылады. Бұл теңдеу 1914 және 1917 жылдары сипаттаған Адриан Фокер мен Макс Планктың есімімен аталады. Ол сондай-ақ 1931 жылы дербес түрде ашқан Андрей Колмогоровтың есімімен Колмогоровтың алға бағытталған теңдеуі деп те аталады. Бөлшектердің орналасуына қатысты таралымдарға қолданғанда, ол Смолуховский теңдеуі (Мариан Смолуховскийдің атымен) ретінде белгілі, және осы контексте конвекция-диффузия теңдеуімен эквивалентті. Бөлшектердің орналасуы мен импульсіне қатысты таралымдарға қолданғанда, ол Клейн-Крамерс теңдеуі деп аталады. Диффузия нөлге тең болған жағдайда, ол үздіксіздік теңдеуі болып табылады. Фокер-Планк теңдеуі Крамер-Мояль кеңеюі арқылы негізгі теңдеуден туындайды. Классикалық және кванттық механиканың біртұтас жүйесіндегі Фоккер-Планк теңдеуінің алғашқы микроскопиялық туындысын Николай Боголюбов пен Николай Крылов жасады.
Термодинамикалық тепе-теңдіктегі Болцманның үлестірімі
Өте суланған Лангевин теңдеуі Болцман таралымын береді. Болцман таралымы – тепе-теңдік таралымы, және егер g жеткілікті түрде жылдам өссе (яғни, потенциалдық құдық бөлшекті ұстап тұруға жеткілікті терең болса), Болцман таралымы – бірегей тепе-теңдік жағдай болып табылады.
Плазма физикасы
Плазма физикасында, бөлшектер түрінің үлестіру функциясы , , ықтималдық тығыздық функциясының орнына келеді. Сәйкес Болцман теңдеуі былай беріледі:
мұндағы үшінші мүше Лоренц күшінен туындаған бөлшектердің үдеуін қамтиды, ал оң жақтағы Фокер-Планк мүшесі бөлшектердің соқтығысуының әсерін көрсетеді. және шамалары – бұл типтегі бөлшектердің барлық басқа бөлшектер түрлерімен соқтығысу нәтижесінде бірлік уақыт ішінде басынан өткізетін орташа жылдамдық өзгерісі. Бұл шамалардың формулалары басқа жерде келтірілген. Егер соқтығысулар ескерілмесе, Болцман теңдеуі Власов теңдеуіне дейін тобырлады.
Есептеулік мәндер
Браундық қозғалыс Лангевин теңдеуіне бағынады, оны көптеген түрлі стохастикалық күштер үшін шешуге болады, нәтижелер орташаланады (молекулалық динамикадағы канондық жиын). Дегенмен, осы есептеуге көп күш жұмсалатын тәсілдің орнына, Фокер-Планк теңдеуін пайдаланып, бөлшектің бастапқы қозғалысын 0 уақытында бастағандағы белгілі бір аралықтағы жылдамдыққа ие болу ықтималдығын қарастыруға болады.
1-D сызықтық потенциалдың мысалы
Бір өлшемдегі Браун қозғалысы қарапайым.
Эмоция
Оң жақтағы симуляция Браун динамикасы симуляциясы арқылы жүзеге асырылды. Жүйе үшін Лангевин теңдеуінен бастайық, онда сүргі күші, бөлшекке әсер ететін кездейсоқ күш, ал қозғалыстың амплитудасы. Тепе-теңдік күйде сүргі күші инерциялық күштен әлдеқайда артық, сондықтан Лангевин теңдеуі келесідей болады:
where is the friction term, is a fluctuating force on the particle, and is the amplitude of the fluctuation. At equilibrium the frictional force is much greater than the inertial force, Therefore, the Langevin equation becomes,
For the Brownian dynamic simulation the fluctuation force is assumed to be Gaussian with the amplitude being dependent of the temperature of the system Rewriting the Langevin equation,
where is the Einstein relation. The integration of this equation was done using the Euler–Maruyama method to numerically approximate the path of this Brownian particle.
Браун динамикалық симуляциясында кездейсоқ күш Гаусс таралуына ие деп есептеледі, оның амплитудасы жүйенің температурасына тәуелді. Лангевин теңдеуін қайта жазайық:
where is the friction term, is a fluctuating force on the particle, and is the amplitude of the fluctuation. At equilibrium the frictional force is much greater than the inertial force, Therefore, the Langevin equation becomes,
For the Brownian dynamic simulation the fluctuation force is assumed to be Gaussian with the amplitude being dependent of the temperature of the system Rewriting the Langevin equation,
where is the Einstein relation. The integration of this equation was done using the Euler–Maruyama method to numerically approximate the path of this Brownian particle.
мұндағы Эйнштейн қатынасы. Бұл теңдеуді Эйлер-Маруяма әдісі арқылы сандық түрде интегралдау, осы Браун бөлшегінің траекториясын жуықтау үшін қолданылды.
where is the friction term, is a fluctuating force on the particle, and is the amplitude of the fluctuation. At equilibrium the frictional force is much greater than the inertial force, Therefore, the Langevin equation becomes,
For the Brownian dynamic simulation the fluctuation force is assumed to be Gaussian with the amplitude being dependent of the temperature of the system Rewriting the Langevin equation,
where is the Einstein relation. The integration of this equation was done using the Euler–Maruyama method to numerically approximate the path of this Brownian particle.
Шешім
Фоккер-Планк теңдеуі, ішінара дифференциалдық теңдеу бола отырып, тек ерекше жағдайларда ғана аналитикалық түрде шешіледі. Фёккер-Планк теңдеуінің Шредингер теңдеуімен формальды ұқсастығы квант механикасынан белгілі озық операторлық әдістерді оның кейбір жағдайларда шешу үшін қолдануға мүмкіндік береді. Бұдан әрі, Fokker-Planck теңдеуі барлық кеңістіктік айнымалылар бойынша екінші жартылай туындыларды қамтитын, шамадан тыс демптелген динамика жағдайында, теңдеуді сандық түрде оңай шешуге болатын бас теңдеу түрінде жазуға болады. Көптеген қолданбаларда ғана тұрақты күйдің ықтималдық үлестіріміне қызығушылық танытылады, оны есептеу орташа бірінші өту уақытын және бөліну ықтималдықтарын анықтауды Fokker-Planck теңдеуімен тығыз байланысты қарапайым дифференциалдық теңдеуді шешуге дейін тоғытуға болады.
Шешімі және инверсиясы белгілі ерекше жағдайлар
Математикалық қаржыда опцияларды жергілікті құбылмалылық арқылы модельдеуде, нарықтық опциялардың бағаларынан алынған ықтималдық тығыздығымен сәйкес келетін диффузиялық коэффициентті табу мәселесі туындайды. Сондықтан, бұл мәселе Фокер-Планк теңдеуінің кері есебі болып табылады: Егер опцион нарығынан алынған X активінің тығыздығы f(x,t) белгілі болса, f-қа сәйкес келетін жергілікті құбылмалылықты табу мақсатында болады. Бұл инверсиялық мәселені Дюпьер (1994, 1997) жалпы параметрлік емес шешіммен шешкен. Бриго және Меркурио (2002, 2003) аралас модельмен берілген Фокер-Планк теңдеуінің шешімімен сәйкес келетін нақты бір жергілікті құбылмалылық арқылы параметрлік түрде шешім ұсынады. Қосымша ақпаратты Fengler (2008), Gatheral (2008) және Musiela мен Rutkowski (2008) еңбектерінен табуға болады.