Кіріспе
Трансценденталды сан(дар), барлық оң бүтін сандар тізбегімен математикада, Шамперноун тұрақтысы C10 – ондық өрнегі маңызды қасиеттерге ие трансценденталды нақты тұрақты. Ол 1933 жылы студент кезінде жариялаған экономист және математик Д.Г. Шамперноуннің есімімен аталады. Сан оң бүтін сандардың 10-дық жүйедегі жазылуларын тізбектеу арқылы анықталады: 1=C10 = 0.12345678910111213141516. Шамперноун тұрақтыларын басқа негіздерде де ұқсас түрде құруға болады; мысалы, 1=C2 = 0.11011100101110111₂ және 1=C3 = 0.12101112202122₃. Шамперноун сөзі немесе Барбиер сөзі – C10 санының цифрларының тізбегі, оны 10-дық жүйеде жазып, цифрларды біріктіру арқылы алынады: 12345678910111213141516. Көбінесе, Шамперноун тізбегі (кейде Шамперноун сөзі деп те аталады) – кез келген негіздегі барлық шекті цифрлар тізбектерін белгілі бір рекурсивті тәртіппен тізбектеу арқылы алынған цифрлардың кез келген тізбегі болып табылады. Мысалы, екілік Шамперноун тізбегі shortlex тәртібімен 1= 0 1 00 01 10 11 000 001 болып табылады, мұнда тек тізбектелген тізбектерді көрсету үшін бос орындар қойылған (басқа жағдайларда ескерілмейді).
In mathematics, the Champernowne constant C10 is a transcendental real constant whose decimal expansion has important properties. It is named after economist and mathematician D. G. Champernowne, who published it as an undergraduate in 1933. The number is defined by concatenating the base 10 representations of the positive integers:
1=C10 = 0.12345678910111213141516
Champernowne constants can also be constructed in other bases similarly; for example,
1=C2 = 0.11011100101110111 2
and
1=C3 = 0.12101112202122 3. The Champernowne word or Barbier word is the sequence of digits of C10 obtained by writing it in base 10 and juxtaposing the digits:
12345678910111213141516
More generally, a Champernowne sequence (sometimes also called a Champernowne word) is any sequence of digits obtained by concatenating all finite digit strings (in any given base) in some recursive order. For instance, the binary Champernowne sequence in shortlex order is
1= 0 1 00 01 10 11 000 001
where spaces (otherwise to be ignored) have been inserted just to show the strings being concatenated.
Қасиеттері
Нақты сан x, егер оның әрбір сан жүйесіндегі цифрлары біртекті таралымды сақтаса, қалыпты сан деп аталады: барлық цифрлардың пайда болу ықтималдығы бірдей, барлық цифрлар жұптарының пайда болу ықтималдығы бірдей, барлық цифрлар үштіктерінің пайда болу ықтималдығы бірдей, және т.б. Егер x саны b сан жүйесіндегі цифрлары біртекті таралымды сақтаса, онда ол b сан жүйесінде қалыпты деп аталады. Егер цифрлар тізбегін [a0, a1, ...] деп белгілесек, онда 10-дық сан жүйесінде [0], [1], [2], ..., [9] тізбектерінің 1/10 жиілікпен, [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] тізбектерінің 1/100 жиілікпен және т.б. кездесуін күтеміз. Шамперноун бұл санның 10-дық сан жүйесінде қалыпты екенін дәлелдеді, ал Накай мен Шиокава одан да жалпы теореманы дәлелдеді, оның салдары ретінде бұл сан кез келген b сан жүйесінде қалыпты болады. Бұл мәселе ашық, яғни бұл сан қандай сан жүйесінде қалыпты екені белгісіз, мысалы, 9-дық сан жүйесінде қалыпты екені белгісіз. Мысалы, бұл санның 54 цифры: 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Бұл санды 9-дық сан жүйесінде көрсеткенде... Курт Малер бұл тұрақтының трансцендентті екенін көрсетті. Бұл санның иррационалдық шамасы , және жалпы кез келген сан жүйесі үшін . Шамперноун сөзі – үздіксіз тізбек. Үздіксіз тізбек – бұл шексіз тізбек (шекті әріптер жиыны бойынша), онда кез келген шекті тізбек ішкі тізбек ретінде кездеседі.
Kurt Mahler showed that the constant is transcendental. The irrationality measure of is , and more generally for any base
The Champernowne word is a disjunctive sequence. A disjunctive sequence is an infinite sequence (over a finite alphabet of characters) in which every finite string appears as a substring
Фракциялардың жалғасуда кеңейуі
Шамперноун тұрақтысының қарапайым тізбекті бөлшекке жіктелуі аяқталмайды (өйткені тұрақты рационал емес) және апериодтық (өйткені ол толымсыз квадраттық емес). Қарапайым тізбекті бөлшек – бұл тізбекті бөлшектің бөлімі 1-ге тең болатын түрі. Шамперноун тұрақтысының қарапайым тізбекті бөлшекке жіктелуі көптеген кіші сандардың арасында өте үлкен мүшелердің пайда болуын көрсетеді. Мысалы, 10-дық санау жүйесінде C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. 18-ші орындағы үлкен сан 166 таңбадан тұрады, ал тізбекті бөлшектің 40-шы орындағы келесі өте үлкен мүшесі 2504 таңбаға ие. Тізбекті бөлшекке жіктелуде осындай үлкен сандардың болуы осы үлкен сандардың алдында тоқтату арқылы алынған жуықтамалардың Шамперноун тұрақтысына ерекше жақсы жуықтау беретінін білдіреді. Мысалы, 4-ші ішінара бөлшектің алдында қысқарту, бұрынғы бөлімдегі жылдам жақындасатын қатардың бірінші мүшесімен сәйкес келеді және шамамен 1 × 10^(−9) қатесімен Шамперноун тұрақтысына жуықталады. 18-ші ішінара бөлшектің алдында қысқарту, қатардың алғашқы екі мүшесіне сәйкес келетін жуықтаманы береді, яғни 10^(−9) таңбасын қамтитын мүшеге дейінгі мүшелерге дейін. Бастапқы нөлден кейінгі бірінші және екінші ең үлкен мүшелер ("су деңгейінің белгілері") сәйкесінше 8 және 9 болып табылады және 1 және 2 орындарында кездеседі. Sikora (2012) төртіншіден басталатын су деңгейінің белгілеріндегі таңбалар саны белгілі бір үлгіні көрсететінін байқады. Шындығында, су деңгейінің белгілері екі есе экспоненциалды өседі, ал n-ші белгідегі таңбалар саны: 6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092, – оның үлгісі 6-шы белгіден бастап айқын көрінеді. Мүшелердің санын беруге болады. Дегенмен, үлкен мүшелердің (кем дегенде 6 таңбалы) қайда пайда болатынын немесе олардың мәндерін анықтауға болатыны әлі белгісіз. Су деңгейінің белгілері 1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062 орындарында орналасқан.
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,