Введение
Трансцендентные числа с упорядоченным перечислением всех положительных целых чисел
В математике постоянная Шамперноуна C10 — это трансцендентная действительная постоянная, десятичное разложение которой обладает важными свойствами. Она названа в честь экономиста и математика Д. Г. Шамперноуна, который опубликовал её будучи студентом в 1933 году. Число определяется путем конкатенации десятичных представлений положительных целых чисел в системе счисления с основанием 10:
1 = C10 = 0,12345678910111213141516
Постоянные Шамперноуна также могут быть построены в других системах счисления аналогичным образом; например,
1 = C2 = 0,11011100101110111₂
и
1 = C3 = 0,12101112202122₃. Слово Шамперноуна или слово Барбье — это последовательность цифр C10, полученная путем записи в системе счисления с основанием 10 и объединения цифр:
12345678910111213141516
В более общем смысле, последовательность Шамперноуна (иногда также называемая словом Шамперноуна) — это любая последовательность цифр, полученная путем конкатенации всех конечных строк цифр (в любой заданной системе счисления) в некотором рекурсивном порядке. Например, двоичная последовательность Шамперноуна в коротком лексикографическом порядке выглядит следующим образом:
1 = 0 1 00 01 10 11 000 001
где пробелы (в противном случае игнорируемые) вставлены только для наглядности, чтобы показать объединяемые строки.
In mathematics, the Champernowne constant C10 is a transcendental real constant whose decimal expansion has important properties. It is named after economist and mathematician D. G. Champernowne, who published it as an undergraduate in 1933. The number is defined by concatenating the base 10 representations of the positive integers:
1=C10 = 0.12345678910111213141516
Champernowne constants can also be constructed in other bases similarly; for example,
1=C2 = 0.11011100101110111 2
and
1=C3 = 0.12101112202122 3. The Champernowne word or Barbier word is the sequence of digits of C10 obtained by writing it in base 10 and juxtaposing the digits:
12345678910111213141516
More generally, a Champernowne sequence (sometimes also called a Champernowne word) is any sequence of digits obtained by concatenating all finite digit strings (in any given base) in some recursive order. For instance, the binary Champernowne sequence in shortlex order is
1= 0 1 00 01 10 11 000 001
where spaces (otherwise to be ignored) have been inserted just to show the strings being concatenated.
Свойства
Реальное число x называется нормальным, если его цифры в любой системе счисления следуют равномерному распределению: все цифры равновероятны, все пары цифр равновероятны, все тройки цифр равновероятны и так далее. Число x называется нормальным в основании b, если его цифры в основании b следуют равномерному распределению. Если мы обозначим последовательность цифр как [a0, a1, ...], то в десятичной системе счисления мы ожидаем, что последовательности [0], [1], [2], ..., [9] будут встречаться 1/10 случаев, последовательности [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] будут встречаться 1/100 случаев, и так далее, для нормального числа. Чамперноун доказал, что число нормально в десятичной системе счисления, а Накай и Шиокава доказали более общую теорему, следствием которой является то, что число нормально в основании b для любого b. Остается открытым вопрос, является ли число нормальным в основаниях b, отличных от 10. Например, неизвестно, является ли число нормальным в основании 9. Например, первые 54 цифры числа равны 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Если мы представим это число в девятеричной системе счисления, то получим... Курт Малер показал, что константа трансцендентна. Мера иррациональности числа равна , и в более общем случае для любого основания b. Слово Шамперноуна является дизъюнктивной последовательностью. Дизъюнктивная последовательность – это бесконечная последовательность (над конечным алфавитом символов), в которой каждая конечная последовательность встречается как подпоследовательность.
Kurt Mahler showed that the constant is transcendental. The irrationality measure of is , and more generally for any base
The Champernowne word is a disjunctive sequence. A disjunctive sequence is an infinite sequence (over a finite alphabet of characters) in which every finite string appears as a substring
Продолжение расширения фракции
Простое продолженное дробное разложение константы Шамперноуна не является конечным (поскольку константа не рациональна) и апериодическим (поскольку это не приводимая квадратичная иррациональность). Простая продолженная дробь – это продолженная дробь, в которой знаменатель равен 1. Простое продолженное дробное разложение константы Шамперноуна демонстрирует чрезвычайно большие члены, появляющиеся между многими малыми. Например, в десятичной системе счисления:
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1]. Число в позиции 18 состоит из 166 цифр, а следующий очень большой член в позиции 40 продолженной дроби содержит 2504 цифры. Тот факт, что такие большие числа являются членами продолженного дробного разложения, означает, что сходящиеся, полученные путем остановки перед этими большими числами, обеспечивают исключительно хорошее приближение константы Шамперноуна. Например, усечение непосредственно перед 4-м частичным коэффициентом дает результат, который соответствует первому члену в быстро сходящемуся разложению в ряд из предыдущего раздела и который приближает константу Шамперноуна с погрешностью около 1 × 10^(-9). Усечение непосредственно перед 18-м частичным коэффициентом дает приближение, которое соответствует первым двум членам ряда, то есть членам до члена, содержащего 10^(-9), которое приближает константу Шамперноуна с погрешностью примерно 9 × 10^(-190). Первый и второй по величине члены ("максимальные значения") после начального нуля равны 8 и 9 соответственно и встречаются в позициях 1 и 2. Сикора (2012) заметил, что количество цифр в максимальных значениях, начиная с четвертого, демонстрирует явную закономерность. Действительно, сами максимальные значения растут экспоненциально в двойной степени, а количество цифр в n-м значении равно:
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,
закономерность которой становится очевидной, начиная с 6-го максимального значения. Количество членов можно выразить как:
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,
Однако до сих пор неизвестно, существует ли способ определить, где встречаются большие члены (состоящие как минимум из 6 цифр) или их значения. Сами максимальные значения расположены в позициях:
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062.
C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ]. The large number at position 18 has 166 digits, and the next very large term at position 40 of the continued fraction has 2504 digits. That there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion means that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant. For example, truncating just before the 4th partial quotient, gives
which matches the first term in the rapidly converging series expansion of the previous section and which approximates Champernowne's constant with an error of about 1 × 10^(−9). Truncating just before the 18th partial quotient gives an approximation that matches the first two terms of the series, that is, the terms up to the term containing 10^(−9),
which approximates Champernowne's constant with error approximately 9 × 10^(−190). The first and second incrementally largest terms ("high water marks") after the initial zero are 8 and 9, respectively, and occur at positions 1 and 2. Sikora (2012) noticed that the number of digits in the high water marks starting with the fourth display an apparent pattern. Indeed, the high water marks themselves grow doubly exponentially, and the number of digits in the nth mark for are
6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092,
whose pattern becomes obvious starting with the 6th high water mark. The number of terms can be given by
However, it is still unknown as to whether or not there is a way to determine where the large terms (with at least 6 digits) occur, or their values. The high water marks themselves are located at positions
1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062,