Электр өткізгіштігінің Друде моделі

Кіріспе

Электрлік өткізгіштің Дрюд моделі 1900 жылы Пол Дрюд материалдардағы (әсіресе металдардағы) электрондардың тасымалдау қасиеттерін түсіндіру үшін ұсынған. Негізінде, Ом заңы жақсы орнатылған және ток күші J мен токқа түсетін кернеу V материалдың кедергісі R-ге байланысты екенін көрсетеді. Кедергінің кері шамасы – өткізгіштік деп аталады. Бірлік ұзындығы және бірлік қимасы бар металл қарастырғанда, өткізгіштік – бұл кедергіге кері шама. Дрюд моделі өткізгіштің кедергісін электрондардың (электр зарядын тасымалдаушылардың) металдағы салыстырмалы түрде қозғалмайтын иондармен соқтығысуы арқылы түсіндіруге тырысады. Кинетикалық теорияны қолданатын бұл модельде қатты денедегі электрондардың микроскопиялық мінез-құлқы классикалық тұрғыдан қарастырылады және ол пинбол машинасына ұқсайды, онда электрондар үнемі қозғалмайтын ауыр оң иондардан секіріп, қайта секіреді. Қазіргі заманғы терминдермен айтқанда, бұл валентті электронды модельде көрініс табады, онда электрондар теңізі тек валентті электрондардан ғана тұрады, ал қатты денедегі барлық электрондар емес, ал шашырау орталықтары – ядроға тығыз байланысқан электрондардың ішкі қабықтары болып табылады. Шашырау орталықтарының оң заряды атомдардың валенттік санына тең. Бұл ұқсастық Дрюд еңбегіндегі кейбір есептеу қателіктеріне әкелді, бірақ бұл модель белгілі бір жағдайларда жақсы болжамдар жасауға қабілетті және басқаларында мүлдем дұрыс емес нәтижелер беретін қатты денелердің сапалық теориясын қамтамасыз етті. Шашырау орталықтарының сипатын, шашырау механизмін және шашырау ұзындығының мағынасын анықтауға жасалған барлық әрекеттер сәтсіз аяқталды. Дрюд моделінде есептелген шашырау ұзындығы атомдар арасындағы қашықтықтың 10-ден 100 есесіне тең, және оған микроскопиялық түсіндірме беру мүмкін болмады. Дрюд шашырауы – электрон-электрон шашырауы емес, ол қазіргі теорияда тек екіншілік құбылыс, ал электрондар ядролармен сіңіріле алмайды. Модель микроскопиялық механизмдер туралы көп мәлімет бермейді, қазіргі заманғы терминдерде бұл "біріншілік шашырау механизмі" деп аталады, онда негізгі құбылыс әр жағдайда әр түрлі болуы мүмкін. Модель металдар үшін, әсіресе өткізгіштікке қатысты жақсы болжамдар береді және кейде металдардың Дрюд теориясы деп аталады. Бұл металдардың еркін электронды модельге жақсырақ сәйкес келуіне байланысты, яғни металдарда күрделі жолақты құрылымдар жоқ, электрондар негізінен еркін бөлшектер ретінде әрекет етеді, және металдар үшін локальдандырылмаған электрондардың тиімді саны валенттік санға тең. Дрюд моделінің екі маңызды нәтижесі – электронның қозғалыс теңдеуі және ток тығыздығы 'J' мен электр өрісі 'E' арасындағы сызықтық қатынас. Мұнда t – уақыт, ⟨p⟩ – электронға шаққандағы орташа импульс, ал q, n, m және τ – электрон заряды, сан тығыздығы, массасы және иондық соқтығысулар арасындағы орташа бос уақыт. Соңғы өрнек ерекше маңызды, өйткені ол Ом заңының, электромагнетизмдегі ең кең таралған қатынастардың бірінің неге орын алуын жартылай сандық тұрғыда түсіндіреді. Қосымша теориялар: Эйнштейннің қатты дене моделі және Дебье моделі, энергияны интегралды бірліктермен немесе кванттармен алмастырудың кванттық мінез-құлқы толық теорияның маңызды бөлігі екенін, әсіресе Дрюд теориясы сәтсіз болған нақты жылуға қатысты қадамдар жасады. Кейбір жағдайларда, атап айтқанда Холл эффектісінде, теория электрон үшін теріс зарядты пайдаланудың орнына оң зарядты қолданса дұрыс болжамдар жасады. Бұл қазір тесіктер ретінде түсіндіріледі (яғни оң заряд тасымалдаушы ретінде әрекет ететін квази бөлшектер), бірақ Дрюд кезінде бұл жағдайдың себебі түсініксіз болды. Дрюд электрондардың газы үшін Максвелл-Болцман статистикасын қолданды, ол сол кездегі жалғыз нұсқа болды. Статистиканы дұрыс Ферми-Дирак статистикасымен ауыстыру арқылы Сомерфельд модельдің болжамдарын айтарлықтай жақсартты, бірақ бұл әлі де жартылай классикалық теория болды, ол қазіргі қатты денелердің кванттық теориясының барлық нәтижелерін болжай алмады.

Model of electrical conduction

The Drude model of electrical conduction was proposed in 1900 by Paul Drude to explain the transport properties of electrons in materials (especially metals). Basically, Ohm's law was well established and stated that the current J and voltage V driving the current are related to the resistance R of the material. The inverse of the resistance is known as the conductance. When we consider a metal of unit length and unit cross sectional area, the conductance is known as the conductivity, which is the inverse of resistivity. The Drude model attempts to explain the resistivity of a conductor in terms of the scattering of electrons (the carriers of electricity) by the relatively immobile ions in the metal that act like obstructions to the flow of electrons. The model, which is an application of kinetic theory, assumes that the microscopic behaviour of electrons in a solid may be treated classically and behaves much like a pinball machine, with a sea of constantly jittering electrons bouncing and re bouncing off heavier, relatively immobile positive ions. In modern terms this is reflected in the valence electron model where the sea of electrons is composed of the valence electrons only, and not the full set of electrons available in the solid, and the scattering centers are the inner shells of tightly bound electrons to the nucleus. The scattering centers had a positive charge equivalent to the valence number of the atoms. This similarity added to some computation errors in the Drude paper, ended up providing a reasonable qualitative theory of solids capable of making good predictions in certain cases and giving completely wrong results in others. Whenever people tried to give more substance and detail to the nature of the scattering centers, and the mechanics of scattering, and the meaning of the length of scattering, all these attempts ended in failures. The scattering lengths computed in the Drude model, are of the order of 10 to 100 inter atomic distances, and also these could not be given proper microscopic explanations. Drude scattering is not electron electron scattering which is only a secondary phenomenon in the modern theory, neither nuclear scattering given electrons can be at most be absorbed by nuclei. The model remains a bit mute on the microscopic mechanisms, in modern terms this is what is now called the "primary scattering mechanism" where the underlying phenomenon can be different case per case. The model gives better predictions for metals, especially in regards to conductivity, and sometimes is called Drude theory of metals. This is because metals have essentially a better approximation to the free electron model, i. e. metals do not have complex band structures, electrons behave essentially as free particles and where, in the case of metals, the effective number of de localized electrons is essentially the same as the valence number. The two most significant results of the Drude model are an electronic equation of motion,

and a linear relationship between current density 'J' and electric field 'E',

Here t is the time, ⟨p⟩ is the average momentum per electron and q, n, m, and τ are respectively the electron charge, number density, mass, and mean free time between ionic collisions. The latter expression is particularly important because it explains in semi quantitative terms why Ohm's law, one of the most ubiquitous relationships in all of electromagnetism, should hold. Steps towards a more modern theory of solids were given by the following:
The Einstein solid model and the Debye model, suggesting that the quantum behaviour of exchanging energy in integral units or quanta was an essential component in the full theory especially with regard to specific heats, where the Drude theory failed. In some cases, namely in the Hall effect, the theory was making correct predictions if instead of using a negative charge for the electrons a positive one was used. This is now interpreted as holes (i. e. quasi particles that behave as positive charge carriers) but at the time of Drude it was rather obscure why this was the case. Drude used Maxwell–Boltzmann statistics for the gas of electrons and for deriving the model, which was the only one available at that time. By replacing the statistics with the correct Fermi Dirac statistics, Sommerfeld significantly improved the predictions of the model, although still having a semi classical theory that could not predict all results of the modern quantum theory of solids.

Тарих

Неміс физигі Пол Друде өзінің моделін 1900 жылы ұсынды, сол кезде атомдардың бар екені нақты емес еді және микроскопиялық деңгейде атомдардың қандай екені де белгісіз болды. Дрюде өзінің алғашқы жұмысында қате жіберіп, Видеманн-Франц заңының Лоренц санын классикалық есептеуге қарағанда екі есе көп деп бағалады, осылайша ол нақты жылудың эксперименталдық мәнімен сәйкес келеді деп көрінді. Бұл сан классикалық болжамнан 100 есе кішкентай, бірақ бұл фактор Дрюденің есептеуінен 100 есе үлкен орташа электрондық жылдамдықпен өтеді. Авогадро санын микроскопиялық модельден есептеу арқылы атомдардың алғашқы тікелей дәлелін Альберт Эйнштейн берді, ал атом құрылымының алғашқы қазіргі заманғы моделі 1904 жылға, ал Резерфорд моделі 1909 жылға жатады. Дрюде 1897 жылы Дж. Дж. Томсонның электрондарды ашқаннан бастап, қатты денелердің көп бөлігі оң зарядталған шашырау орталықтарынан тұрады және электрондар теңізі осы шашырау орталықтарын жауып, зарядтық тұрғыдан жалпы қатты денелерді бейтарап етеді деп есептейді. Модель 1905 жылы Хендрик Антон Лоренцпен кеңейтілді (сондықтан ол Дрюде-Лоренц моделі деп те аталады) металдардың жылу өткізгіштігі мен электр өткізгіштігі арасындағы байланысты беру үшін (Лоренц санына қараңыз), және ол классикалық модель болып табылады. Кейіннен 1933 жылы Арнольд Сомерфельд пен Ханс Бете кванттық теорияның нәтижелерімен толықтырылды, нәтижесінде Дрюде-Сомерфельд моделі пайда болды. Бүгінгі таңда Дрюде және Сомерфельд модельдері қатты денелердің сапалық мінез-құлқын түсіну және нақты эксперименттік орнатудың алғашқы сапалық түсінігі үшін маңызды болып табылады. Бұл қатты дене физикасындағы жалпы әдіс, онда модельдердің күрделілігін біртіндеп арттырып, одан да дәл болжамдар жасау қалыпты жағдай. Бірінші принциптерден толыққанды кванттық өріс теориясын пайдалану сирек кездеседі, себебі бөлшектер мен өзара әрекеттесулердің көп саны және қосымша математиканың шағын пайдасы (болжамдардың сандық дәлдігінің ұлғаюын ескере отырып) күрделіліктерге байланысты.

German physicist Paul Drude proposed his model in 1900 when it was not clear whether atoms existed, and it was not clear what atoms were on a microscopic scale. In his original paper, Drude made an error, estimating the Lorenz number of Wiedemann–Franz law to be twice what it classically should have been, thus making it seem in agreement with the experimental value of the specific heat. This number is about 100 times smaller than the classical prediction but this factor cancels out with the mean electronic speed that is about 100 times bigger than Drude's calculation. The first direct proof of atoms through the computation of the Avogadro number from a microscopic model is due to Albert Einstein, the first modern model of atom structure dates to 1904 and the Rutherford model to 1909. Drude starts from the discovery of electrons in 1897 by J. J. Thomson and assumes as a simplistic model of solids that the bulk of the solid is composed of positively charged scattering centers, and a sea of electrons submerge those scattering centers to make the total solid neutral from a charge perspective. The model was extended in 1905 by Hendrik Antoon Lorentz (and hence is also known as the Drude–Lorentz model) to give the relation between the thermal conductivity and the electric conductivity of metals (see Lorenz number), and is a classical model. Later it was supplemented with the results of quantum theory in 1933 by Arnold Sommerfeld and Hans Bethe, leading to the Drude–Sommerfeld model. Nowadays the Drude and Sommerfeld models are still significant to understanding the qualitative behaviour of solids and to get a first qualitative understanding of a specific experimental setup. This is a generic method in solid state physics, where it is typical to incrementally increase the complexity of the models to give more and more accurate predictions. It is less common to use a full blown quantum field theory from first principles, given the complexities due to the huge numbers of particles and interactions and the little added value of the extra mathematics involved (considering the incremental gain in numerical precision of the predictions).

Металдардың жылу өткізгіштігі

Дрюд моделінің маңызды жетістіктерінің бірі – Видеманн-Франц заңының түсіндірілуі. Бұл Дрюдтің бастапқы есептеуіндегі қателердің сәйкес келуіне байланысты болды. Дрюд Лоренц санының мәнін болжады:

Эксперименттік мәндер әдетте 0 және 100 градус Цельсий аралығындағы температурадағы металдар үшін шамамен тең болады.

Термоқуаты

Ұсақ таяқшада қосылғандағы жалпы температура градиенті, ашық тізбекте эксперименттер жүргізілсе, төменгі температура жағына қарай электрондардың ағынын тудырады. Бұл ток сол жақта электр тогына қарсы электр өрісін жинақтайды. Бұл өріс термоэлектр өрісі деп аталады, ал Q – терможақындық деп аталады. Дрюдтің есептеулері нақты жылумен тікелей байланысты болғандықтан 100 есе кем. Бөлме температурасындағы әдеттегі терможақындықтар микровольт шамасында 100 есе кішідірек болады.

Дрюдтің нақты материалдағы жауабы

Дрюд металдың уақыт немесе жиілік саласындағы ерекше мінез-құлқы, яғни уақыт тұрақтысы τ немесе жоғарыда айтылған σ(ω) үшін жиіліктен тәуелділігі – экспоненциалдық тоқырау, Дрюд жауабы деп аталады. Бұл мінез-құлық әдеттегі, қарапайым, нақты металдарда (мысалы, натрий, күміс немесе алтын бөлме температурасында) тәжірибе жүзінде кездеспейді, себебі ерекше жиілік τ^(−1) инфрақызыл жиілік диапазонында болады, онда Дрюд моделінде ескерілмейтін басқа да факторлар (мысалы, энергиялық аймақ құрылымы) маңызды рөл атқарады. Бұл жағдай жоғары жылдамдықты екі өлшемді электрондық газдар және ауыр фермионды металдар үшін де тән.