Введение

Модель электрической проводимости

Модель электрической проводимости Друде была предложена в 1900 году Полом Друде для объяснения транспортных свойств электронов в материалах (особенно в металлах). В сущности, закон Ома был хорошо установлен и утверждал, что ток J и напряжение V, создающее ток, связаны с сопротивлением R материала. Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Если рассматривать металл единичной длины и единичной площади поперечного сечения, то проводимость называется удельной проводимостью, которая является обратной величиной удельного сопротивления. Модель Друде пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей заряда) относительно неподвижными ионами в металле, которые выступают в качестве препятствий для движения электронов. Модель, являющаяся применением кинетической теории, предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически и аналогично поведению в пинбольном автомате: море постоянно колеблющихся электронов сталкивается и отскакивает от более тяжелых, относительно неподвижных положительных ионов. В современных терминах это отражено в модели валентных электронов, где море электронов состоит только из валентных электронов, а не из всего набора электронов, доступных в твердом теле, а центрами рассеяния являются внутренние оболочки электронов, прочно связанных с ядром. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентности атомов. Это сходство, в сочетании с некоторыми вычислительными ошибками в работе Друде, привело к созданию разумной качественной теории твердых тел, способной делать хорошие прогнозы в определенных случаях и давать совершенно неверные результаты в других. Любые попытки придать больше конкретики природе центров рассеяния, механике рассеяния и значению длины свободного пробега заканчивались неудачей. Длины свободного пробега, рассчитанные в модели Друде, составляют от 10 до 100 межатомных расстояний, и им также не было дано надлежащего микроскопического объяснения. Рассеяние Друде – это не рассеяние электрон-электрон, которое является лишь вторичным явлением в современной теории, и не ядерное рассеяние, поскольку электроны могут быть поглощены ядрами лишь в редких случаях. Модель остается неясной в отношении микроскопических механизмов; в современных терминах это то, что сейчас называется «первичным механизмом рассеяния», где основное явление может быть различным в каждом конкретном случае. Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости, и иногда называется теорией металлов Друде. Это связано с тем, что металлы в большей степени соответствуют модели свободных электронов, то есть не имеют сложной зонной структуры, электроны ведут себя практически как свободные частицы, и в случае металлов эффективное число делокализованных электронов практически равно валентности. Два наиболее значимых результата модели Друде – это уравнение движения электрона и линейная зависимость между плотностью тока 'J' и электрическим полем 'E', где t – время, ⟨p⟩ – средний импульс электрона, а q, n, m и τ – соответственно заряд электрона, концентрация, масса и среднее время свободного пробега между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, поскольку оно полуколичественно объясняет, почему должен выполняться закон Ома – одно из наиболее распространенных соотношений во всей электромагнетике. Шаги к более современной теории твердых тел были сделаны благодаря следующим моделям: модели твердого тела Эйнштейна и модели Дебая, которые предполагали, что квантовое поведение обмена энергией дискретными порциями или квантами является существенным компонентом полной теории, особенно в отношении удельных теплоемкостей, где теория Друде оказалась несостоятельной. В некоторых случаях, в частности, в эффекте Холла, теория делала верные прогнозы, если вместо отрицательного заряда электронов использовался положительный. Это теперь интерпретируется как дырки (то есть квазичастицы, ведущие себя как положительные носители заряда), но во времена Друде было неясно, почему это происходит. Друде использовал статистику Максвелла-Больцмана для газа электронов и для вывода модели, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику на правильную статистику Ферми-Дирака, Зоммерфельд значительно улучшил прогнозы модели, хотя она все еще оставалась полуклассической теорией, не способной предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела.

История

Немецкий физик Пол Друде предложил свою модель в 1900 году, когда существование атомов было ещё не доказано и не было ясного представления о том, что собой представляют атомы в микроскопическом масштабе. В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца в законе Видемана — Франца в два раза больше, чем оно должно было быть согласно классической теории, что создавало видимость соответствия с экспериментальным значением удельной теплоёмкости. Это число примерно в 100 раз меньше классического предсказания, однако этот фактор компенсируется средней скоростью электронов, которая примерно в 100 раз превышает расчёт Друде. Первым прямым доказательством существования атомов, основанным на вычислении числа Авогадро из микроскопической модели, является работа Альберта Эйнштейна. Первая современная модель строения атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда — 1909 годом. Друде исходил из открытия электрона в 1897 году Дж. Дж. Томсоном и, в качестве упрощённой модели твёрдых тел, предполагал, что основная часть твёрдого тела состоит из положительно заряженных центров рассеяния, а электроны образуют своего рода «море», погружающее эти центры рассеяния и обеспечивающее электрическую нейтральность твёрдого тела в целом. В 1905 году модель была расширена Хендриком Антоном Лоренцем (и поэтому также известна как модель Друде — Лоренца) для установления связи между теплопроводностью и электрической проводимостью металлов (см. число Лоренца). Это классическая модель, которая позднее, в 1933 году, была дополнена результатами квантовой теории Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете, что привело к созданию модели Друде — Зоммерфельда. В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твёрдых тел и получения первоначального качественного представления о конкретной экспериментальной установке. Это распространённый подход в физике твёрдого тела, когда сложность моделей постепенно увеличивается для получения всё более точных предсказаний. Использование полной квантовой теории поля из первых принципов встречается реже из-за сложностей, связанных с огромным количеством частиц и взаимодействий, а также с незначительной добавленной стоимостью дополнительной математики (учитывая небольшое увеличение численной точности предсказаний).

Теплопроводность металлов

Одним из больших успехов модели Друда является объяснение закона Видемана — Франца. Это произошло благодаря случайной компенсации ошибок в исходном расчете Друда. Друде предсказал значение числа Лоренца:

Экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне для металлов при температурах от 0 до 100 градусов Цельсия.

Термоэнергия

Общий температурный градиент, возникающий при включении в тонком стержне, вызовет поток электронов к стороне с более низкой температурой. Если эксперименты проводятся в разомкнутой цепи, этот поток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, направленное против тока. Это поле называется термоэлектрическим полем, а величина Q – термоэдс. Оценки, полученные Дрюде, занижены в 100 раз из-за прямой зависимости от удельной теплоемкости. Типичные значения термоэдс при комнатной температуре в 100 раз меньше и находятся в диапазоне микровольт.

Ответ друда в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, то есть экспоненциальное затухание с постоянной времени τ или частотная зависимость σ(ω), описанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом реальном металле (например, натрии, серебра или золота при комнатной температуре) такое поведение экспериментально не наблюдается, поскольку характерная частота τ⁻¹ находится в инфракрасном диапазоне частот, где важную роль играют другие особенности, не учитываемые в модели Друде (например, зонная структура). Это справедливо для высокоподвижных двумерных электронных газов и металлов с тяжелыми фермионами.