Кіріспе

Манкала отбасындағы үстел ойыны. Калах – ежелгі Манкала отбасылық ойындарының қазіргі заманғы түрі, ең көне белгілі нұсқасы б.з.д. 16 ғасырдағы Хеопс пирамидасындағы тас тақташаға қашалған. Калах нұсқасын 1940 жылы Уильям Джулиус Чемпион, кіші, АҚШ-та жасаған. Бұл ойын кейде "Калахари" деп те аталады, мүмкін Намибиядағы Калахари шөлінен туындаған бұрыс этимологиядан. Оның көптеген нұсқаларында Калах – шешілген ойын, егер екі ойыншы да мінсіз ойнаса, бірінші ойыншы жеңіске жетеді. Бірінші ойыншының басымдығын теңестіру үшін "пирог ережесін" қолдануға болады.

Стандартты ойын

Ойын Кала тақтасы мен бірнеше тұқым немесе есептегіштерді ұсынады. Тақтаның әр жағында 6 кішкентай ойық, «үйлер» деп аталады, ал әр шетінде үлкен ойық, «қойма» немесе «сақтау орны» деп аталады. Ойынның мақсаты – қарсыласынан көбірек тұқымды жеңіп алу. Ойын басында әр үйге төрт тұқым салынады. Бұл – дәстүрлі тәсіл. Әр ойыншы тақтаның өзіне жақын жатқан алты үйді және олардағы тұқымдарды басқарады. Ойыншының есебі – оның оң жағындағы қоймадағы тұқымдардың саны. Ойыншылар кезекпен тұқымдарын себуге тырысады. Кезекте ойыншы өзі басқаратын үйлердің бірінен барлық тұқымдарды алып қояды. Сағат тіліне қарсы айналып, әр үйге бір тұқымнан тастайды, соның ішінде өзінің қоймасына, бірақ қарсыласының қоймасына емес. Егер соңғы себілген тұқым ойыншының бос үйіне түсіп, ал қарсы үйінде тұқым болса, соңғы тұқым да, қарсы үйден алынған тұқымдар да жеңіп алынып, ойыншының қоймасына салынады. Егер соңғы себілген тұқым ойыншының қоймасына түсіп қалса, ойыншы қосымша жүріс жасай алады. Ойыншының бір кезегінде неше рет жүріс жасауына шектеу жоқ. Егер бір ойыншының үйлерінде ешқандай тұқым қалмаса, ойын аяқталады. Екінші ойыншы барлық қалған тұқымдарды өзінің қоймасына көшіреді, ал қоймасында көбірек тұқым жинаған ойыншы жеңеді. Ойын тең түсуі де мүмкін.

Бұрылу үлгісі

Ойыншы белгіленген үйден тұқым себуді бастайды. Соңғы тұқым дүкенге түседі, сондықтан ойыншы қосымша жүріс алады. Соңғы тұқым ойыншының жағындағы бос үйге түседі. Ойыншы өзінің үйінен де, қарсыласының үйінен де белгіленген тұқымдарды жинап, дүкенге салады.

Видео ойындарды іске асыру

1991 жылы ойынның DOS видео ойыны нұсқасы (Kalakh деп аталды) жасалды. Бастапқы позиция ойынның 6 дәнек және 6 үйлі, "стандартты" түрі болып табылады. "Бантуми" деп аталатын тағы бір түрі Nokia 3310 телефонында кездеседі.

Вариациялар

Ойын әр үйде төрттен басқа тұқыммен басталуы мүмкін. Бұл вариацияларды сипаттау үшін номенклатура әзірленді: Kalah(h,s), мұнда h – әр жақтағы үйлердің санын, ал s – әр үйде бастапқыда болатын тұқымдардың санын көрсетеді. Жалпы алғанда, тұқымдардың саны неғұрлым көп болса, ойын соғұрлым қиын болады. Үш, төрт, бес және алты тұқымдық Kalah түрлері шешілді, мұнда бірінші ойыншы мінсіз ойынмен әрқашан жеңіске жетеді. Сондықтан кейбір веб-сайттар ойынды теңестіру үшін «пирог ережесін» енгізді, немесе екінші ойыншыға ойын басталғанға дейін кез келген үйден кез келген үйге бір тұқымды жылжытуға рұқсат етіледі, нәтижесінде 144 түрлі ойын пайда болады. Басқаша ереже бойынша ойыншылар сағат тілі бойынша себуі керек, бұл бір жүрісте көбірек тастарды себуді талап етеді. "Бос үйді басып алу" нұсқасы: Егер соңғы себілген тұқым ойыншының бос үйіне түсіп қалса, тіпті қарсы үй бос болса да, соңғы тұқым қолға түсіріліп, ойыншының қоймасына салынады. "Тұқым үстінде" нұсқасында бос үйге түскенде қолға түсіру болмайды, бірақ егер соңғы тұқым тақтаның екі жағындағы бос емес үйге түсетін болса, сол тұқым және сол үйдің барлық тұқымдары себіледі, яғни жүріс соңғы тұқым бос үйге түскенде ғана аяқталады. Басқа ережелерде ойын соңында қалған тұқымдарды өз үйлерін босатқан ойыншының есебіне қосады немесе мүлдем есепке алмайды.

Математикалық талдау

Жоғарыда айтылғандай, егер ойыншының соңғы тұқымы оның қоймасына түсіп қалса, ойыншы қосымша жүріс алады. Ойыншы бұл ережеден пайдаланып, көптеген қосымша кезектерді тізбектей алады. Осылайша, тақтаның бір қатарын белгілі бір конфигурацияда бір жүрісте тазалауға болады, яғни ойыншы оң жақта көрсетілгендей, өз қатарындағы барлық тастарды ала алады. 6 шұңқыры бар стандартты Кала тақтасындағы ең ұзын тізбек 17 жүріске созылады. Жалпы, n шұңқыры бар тақтада, осылайша бір жүрісте тазаланатын тұқымдардың үлгілері математикалық зерттеу нысаны болды. Барлық n үшін, дәл n жүрісте тазаланатын бір ғана үлгі бар екенін, немесе дәл n тұқымнан тұратын бір ғана тазаланатын үлгі бар екенін дәлелдеуге болады. Бұл үлгілерге шұңқырлардың кез келген ұзындықтағы қатары және n-нің өсуі қажет. Мысалы, оң жақта көрсетілгендей, ерекше 5 тұқымдық үлгіге 3 шұңқыр ғана қажет, ал 17 тұқымдық үлгіге 6 шұңқыр қажет. Қажетті шұңқырлар саны мен тұқымдар саны арасындағы қатынасты былай сипаттауға болады. s(n) – n шұңқырды тазалау үшін қажетті ең аз тұқымдар санын білдіреді. Онда

символы асимптотикалық теңдестікті білдіреді, яғни , немесе эквивалентті түрде, .