Кіріспе

Геометрияда Барбиер теоремасы бойынша, тұрақты ені бар кез келген қисық сызықтың периметрі өз еніне тең болады, оның нақты пішініне қарамастан. Бұл теореманы алғаш рет 1860 жылы Жозеф Эмиль Барбьер жариялаған.

Мысалдар

Тұрақты ені бар қисық сызықтардың ең танымал мысалдары – шеңбер және Реоль үшбұрышы. Шеңбер үшін ені диаметрмен бірдей; w ені бар шеңбердің периметрі w-ға тең. W ені бар Реоль үшбұрышы w радиусы бар шеңберлердің үш доғасынан тұрады. Бұл доғалардың әрқайсысының орталық бұрышы π/3-ке тең, сондықтан w ені бар Реоль үшбұрышының периметрі w радиусы бар шеңбердің жарты периметріне тең, демек w-ға тең. Реоль көпбұрыштары сияқты басқа қарапайым мысалдарды да ұқсас талдау осыған ұқсас нәтиже береді.

Дәлелдендіру

Теореманың бір дәлелі Минковский сомаларының қасиеттерін қолданады. Егер K тұрақты ені w болатын дене болса, онда K пен оның 180° бұрылысының Минковский қосындысы радиусы w және периметрі 2w болатын дискіден тұрады. Минковский қосындысы дөңес денелердің периметрлеріне сызықтық әсер етеді, сондықтан K-нің периметрі осы дискідің периметрінің жартысына тең болуы керек, яғни теоремада айтылғандай w-ға. Балама ретінде, теорема интегралды геометриядағы Крофтон формуласынан тікелей шығады, сол формулаға сәйкес кез келген қисықтың ұзындығы қисықты кесіп өтетін түзулер жиынының өлшеміне, олардың қиылысу санымен көбейтілгенге тең. Кез келген екі қисық, егер олардың тұрақты ені бірдей болса, бірдей өлшемді түзулер жиынымен кесіледі, демек олардың ұзындығы да бірдей болады. Тарихи тұрғыдан алғанда, Крофтон өзінің формуласын Барбиер теоремасынан кейін және одан тәуелсіз түрде дамытқан. Теореманың қарапайым ықтималдық дәлелін Буффонның кеспесінен табуға болады.

Жоғары өлшемдер

Барбиер теоремасының тұрақты ені бар беттерге арналған аналогы жалған. Атап айтқанда, бірлік сфераның бетінің ауданы , ал сол тұрақты ені бар Реоль үшбұрышының айналу бетінің бетінің ауданы болады. Керісінше, Барбиер теоремасы тұрақты жарқылыққа ие денелерге, яғни кез келген екі өлшемді проекциясы бірдей ауданға ие үш өлшемді дөңес жиындарға жалпыланады. Бұл денелердің барлығы да бірдей проекцияланған ауданға ие сферамен бірдей бет ауданына ие. Жалпы, егер - кеңістіктегі дөңес жиын болса және оның кез келген (n-1) өлшемді проекциясы кеңістігіндегі бірлік шардың ауданына тең болса, онда жиынының бетінің ауданы сол кеңістіктегі бірлік сфераның бетінің ауданына тең болады. Бұл Крофтон формуласының жалпы түрінен шығады.