Введение

В геометрии теорема Барбье утверждает, что у каждой кривой постоянной ширины периметр равен её ширине, умноженной на число π, независимо от её точной формы. Эта теорема была впервые опубликована Жозефом Эмилем Барбье в 1860 году.

Примеры

Наиболее известными примерами кривых постоянной ширины являются круг и треугольник Рео. Для круга ширина равна диаметру; круг шириной w имеет периметр, равный w. Треугольник Рео шириной w состоит из трех дуг окружностей радиусом w. Каждая из этих дуг имеет центральный угол π/3, поэтому периметр треугольника Рео шириной w равен половине периметра окружности радиусом w и, следовательно, равен w. Аналогичный анализ других простых примеров, таких как многоугольники Рео, дает тот же результат.

Доказательства

Одно из доказательств теоремы использует свойства сумм Минковского. Если K — тело постоянной ширины w, то сумма Минковского K и его вращения на 180° является диском с радиусом w и периметром 2w. Сумма Минковского линейно действует на периметры выпуклых тел, поэтому периметр K должен быть равен половине периметра этого диска, то есть w, как и утверждает теорема. Альтернативно, теорема непосредственно следует из формулы Крофтона в интегральной геометрии, согласно которой длина любой кривой равна мере множества прямых, пересекающих кривую, умноженной на число пересечений. Любые две кривые с одинаковой постоянной шириной пересекаются множествами прямых с одинаковой мерой, и, следовательно, имеют одинаковую длину. Исторически, Крофтон вывел свою формулу позже и независимо от теоремы Барбье. Элементарное вероятностное доказательство теоремы можно найти в задаче о лапше Бюффона.

Более высокие размеры

Аналог теоремы Барбье для поверхностей постоянной ширины неверен. В частности, единичная сфера имеет площадь поверхности, а поверхность вращения треугольника Рёло той же постоянной ширины имеет площадь поверхности. Вместо этого, теорема Барбье обобщается на тела постоянной яркости — трёхмерные выпуклые множества, для которых каждая двумерная проекция имеет одинаковую площадь. Все они имеют ту же площадь поверхности, что и сфера с той же площадью проекции. И в общем случае, если является выпуклым подмножеством , для которого каждая (n-1)-мерная проекция имеет площадь, равную площади единичного шара в , то площадь поверхности равна площади единичной сферы в . Это следует из общей формы формулы Крофтона.