Кіріспе
Топологиялық көпқырлы, өзінің гомологиясы сфераның гомологиясына сәйкес келеді. Алгебралық топологияда гомологиялық сфера – бұл n-көпқырлы X, оның гомологиялық топтары n-сфераның гомологиялық топтарымен сәйкес келеді, яғни, кейбір бүтін сан үшін:
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
H₀(X; ℤ) ≅ ℤ
Hₙ(X; ℤ) ≅ ℤ
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
және барлық басқа i үшін:
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
Hᵢ(X; ℤ) = 0.
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
Сондықтан X – бір нөлдік емес жоғары Бетти саны бар байланысты кеңістік, атап айтқанда, bₙ = 1. X міндетті түрде жай байланысты емес, тек оның негізгі тобы толық (Хуревич теоремасын қараңыз). Рационалды гомологиялық сфера да осылай анықталады, бірақ рационалды коэффициенттері бар гомология қолданылады.
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
Поинкаре гомологиясының сферасы
Поинкаре гомологиялық сферасы (сонымен қатар Поинкаре додекаэдрлік кеңістігі деп те аталады) – гомологиялық сфераның нақты мысалы, алғаш рет Анри Пуанкаре жасаған. Сфералық 3-көптүрлілік болатындықтан, ол шекті негізгі тобы бар жалғыз гомологиялық 3-сфера (өзінің 3-сферасынан басқа). Оның негізгі тобы бинарлық икосаэдрлік топ деп аталады және 120 тәртіпке ие. 3-сфераның негізгі тобы тривиальды болғандықтан, бұл 3-сфераға гомеоморф емес, бірақ осы гомологиялық топтарға ие 3-көптүрліліктердің бар екенін көрсетеді.
Құрылыс
Бұл кеңістіктің қарапайым құрылысы он екі қырлыдан басталады. Он екі қырлының әр беті қарама-қарсы бетімен сәйкестендіріледі, беттерді түзу үшін ең аз сағат тілі бағытында бұрылыс қолданылады. Осы сәйкестендіруді пайдаланып, қарама-қарсы беттердің әр жұбын біріктіру жабық 3-көпқырлыны тудырады. (Қараңыз, Сейферт-Вебер кеңістігі, ұқсас құрылыс үшін, бірақ көбірек "бұрылыспен", нәтижесінде гиперболалық 3-көпқырлы пайда болады.) Поанкаре гомологиялық сферасы SO(3)/I коэффициенттік кеңістігі ретінде құрастырылуы мүмкін, мұнда I – икосаэдрлік топ (яғни, тұрақты икосаэдр мен он екі қырлының айналу симметриясы тобы, ауыспалы топ А5-ке изоморфты). Интуитивті түрде, бұл Поанкаре гомологиялық сферасы – Евклидтік 3 кеңістіктегі икосаэдрдің (ортасы және диаметрі белгілі) геометриялық тұрғыдан ажыратылатын барлық позицияларының кеңістігі. Сонымен қатар, SO(3) ғаламдық жамылғысына өтуге болады, ол бірлік кватерниондар тобы ретінде жүзеге асырылуы мүмкін және 3-сфераға гомеоморфты. Бұл жағдайда, Поанкаре гомологиялық сферасы I икосаэдрлік тобының толық екі жақты жамылғысына изоморфты, ол I-ге ендірілген. Тағы бір тәсіл – Дехн хирургиясы. Поанкаре гомологиялық сферасы оң жақтағы үшқұрыш түйініне +1 хирургиясының нәтижесінде пайда болады.
Another approach is by Dehn surgery. The Poincaré homology sphere results from +1 surgery on the right handed trefoil knot.
Космология
2003 жылы WMAP ғарыш аппараты бір жыл бойы бақылаған ғарыштық микротолқындық фоның 60 градустан жоғары масштабтағы ең ірі құрылымдарының жетіспеуі, Париж обсерваториясының Жан-Пьер Люмине және оның әріптестеріне ғаламның пішіні Поанкаре сферасы болуы мүмкін деген ойға келді. 2008 жылы астрономдар модельдің аспандағы ең қолайлы бағытын анықтады және WMAP ғарыш кемесінің үш жылдық бақылауларын пайдалана отырып, модельдің кейбір болжамдарын растады. 2016 жылғы деректерге сүйенсек, Планк ғарыш кемесінің талдау нәтижелері ғаламда байқалатын тривиальді емес топологияның жоқтығын көрсетеді.