Введение
Топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы. В алгебраической топологии, гомологическая сфера — это n-многообразие X, имеющее гомологические группы n-сферы для некоторого целого числа n, то есть:
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
H₀(X; ℤ) ≅ ℤ
Hₙ(X; ℤ) ≅ ℤ
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
и
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
Hᵢ(X; ℤ) = 0
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
для всех остальных i. Следовательно, X — связное пространство с одним ненулевым высшим числом Бетти, а именно βₙ = 1. Из этого не следует, что X простосвязно, а лишь то, что его фундаментальная группа совершенна (см. теорему Гуревича). Рациональная гомологическая сфера определяется аналогично, но с использованием гомологии с рациональными коэффициентами.
In algebraic topology, a homology sphere is an n manifold X having the homology groups of an n sphere, for some integer That is,
and
for all other i. Therefore X is a connected space, with one non zero higher Betti number, namely, It does not follow that X is simply connected, only that its fundamental group is perfect (see Hurewicz theorem). A rational homology sphere is defined similarly but using homology with rational coefficients.
Сфера гомологии Понкаре
Гомологическая сфера Понкаре (также известная как пространство Понкаре-додекаэдра) — это конкретный пример гомологической сферы, впервые построенный Анри Пуанкаре. Являясь сферическим 3-многообразием, она является единственной гомологической 3-сферой (кроме самой 3-сферы) с конечной фундаментальной группой. Её фундаментальная группа известна как бинарная икосаэдрическая группа и имеет порядок 120. Поскольку фундаментальная группа 3-сферы тривиальна, это демонстрирует существование 3-многообразий с такими же группами гомологии, как у 3-сферы, которые не гомеоморфны ей.
Строительство
Простая конструкция этого пространства начинается с додекаэдра. Каждая грань додекаэдра отождествляется с противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке для совмещения граней. Склеивание каждой пары противоположных граней вместе с помощью этой идентификации дает замкнутое трехмерное многообразие. (См. пространство Зейферта — Вебера для аналогичной конструкции, использующей большее "скручивание", что приводит к гиперболическому трехмерному многообразию.) Альтернативно, гомологическая сфера Пуанкаре может быть построена как факторпространство SO(3)/I, где I — икосаэдрическая группа (то есть группа вращательной симметрии правильного икосаэдра и додекаэдра, изоморфная чередующейся группе A5). Более интуитивно это означает, что гомологическая сфера Пуанкаре — это пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в трехмерном евклидовом пространстве. Можно также перейти к универсальному покрытию SO(3), которое может быть реализовано как группа единичных кватернионов и гомеоморфна трехмерной сфере. В этом случае гомологическая сфера Пуанкаре изоморфна бинарной икосаэдрической группе, совершенному двойному покрытию I, вложенному в . Другой подход — хирургия Дена. Гомологическая сфера Пуанкаре получается в результате хирургии +1 на правом трефольном узле.
Another approach is by Dehn surgery. The Poincaré homology sphere results from +1 surgery on the right handed trefoil knot.
Космология
В 2003 году недостаток структуры в самых больших масштабах (более 60 градусов) в космическом микроволновом фоне, зафиксированном в течение одного года космическим аппаратом WMAP, привел к предложению Жана Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег о том, что Вселенная имеет форму сферы Пуанкаре. В 2008 году астрономы обнаружили оптимальную ориентацию на небе для данной модели и подтвердили некоторые ее предсказания, используя трехлетние наблюдения, полученные с помощью космического аппарата WMAP. По состоянию на 2016 год, публикация анализа данных, полученных с космического аппарата "Планк", указывает на отсутствие наблюдаемой нетривиальной топологии Вселенной.