Кіріспе

Холлис Фрэмптонның фильмі
Таңдау аксиомасына балама математикалық ұйғарым

Зорн леммасы, сондай-ақ Куратовски–Зорн леммасы деп те аталады, жиын теориясының ұйғарымы. Ол әрбір тізбектің жоғарғы шектерін қамтитын ішінара реттелген жиынның (яғни, әрбір толық реттелген ішкі жиынның) міндетті түрде кем дегенде бір максималды элементі болатынын көрсетеді. Лемма 1922 жылы Казимеж Куратовский және 1935 жылы Макс Зорн тарапынан (таңдау аксиомасын қабылдағанда) дәлелденді. Ол бірнеше маңызды теоремаларды дәлелдеуде қолданылады, мысалы функционалдық талдаудағы Хан–Банах теоремасы, әрбір векторлық кеңістіктің базасы бар екенін көрсететін теорема, топологиядағы Тихонов теоремасы (компакт кеңістіктердің кез келген көбейтіндісі компактты болады) және абстрактілік алгебрадағы теоремалар (бірттік сақинасында әрбір дұрыс идеал максималды идеалға кіреді және әрбір өріс алгебралық жабылуға ие). Зорн леммасы жақсы реттелу теоремасымен және таңдау аксиомасымен эквивалентті, ZF (таңдау аксиомасы жоқ Цермело–Френкел жиын теориясы) ішінде үштің кез келгені қалған екеуін дәлелдеуге жеткілікті. Зорн леммасының алғашқы формулировкасы – Хаусдорфтың максимум принципі, онда берілген ішінара реттелген жиынның әрбір толық реттелген ішкі жиыны сол ішінара реттелген жиынның максималды толық реттелген ішкі жиынына кіреді.

Мотивация

Кейбір ішінара реттелген жиынның ең үлкен элементі ретінде қарастырылатын математикалық объектінің бар екенін дәлелдеу үшін, мұндай объектінің бар екенін дәлелдеуге тырысу үшін ең үлкен элемент жоқ деп есептеуге болады, содан кейін трансфинитті индукцияны және жағдайдың талаптарын қолданып, қайшылыққа келуге болады. Зорн леммасы осындай дәлелдің жұмыс істеуі үшін қажетті жағдайларды нақтылайды және математиктерге әр жолы трансфинитті индукция арқылы дәлелдеуді қайталамай, тек Зорн леммасының шарттарын тексеруге мүмкіндік береді.

Әрбір векторлық кеңістіктің негізі болады

Зорн леммасы V кез келген векторлық кеңістіктің базасы бар екенін көрсетуге қолданылады. Егер V = {0} болса, онда бос жиын V-нің базасы болып табылады. Енді V ≠ {0} деп есептейік. P жиыны V-тің барлық сызықтық тәуелсіз ішкі жиындарынан тұрады делік. V нөлдік векторлық кеңістік болмағандықтан, V-тің нөлден өзге элементі v бар, сондықтан P жиыны сызықтық тәуелсіз {v} ішкі жиынын қамтиды. Бұдан әрі, P жиыны жиынтықтарды қосу арқылы ішінара реттелген (қосу тәртібін қараңыз). V-тің максималды сызықтық тәуелсіз ішкі жиынын табу, P-дегі максималды элементті табумен бірдей.

Зорн леммасын қолдану үшін P-дегі T тізбегін қарастырайық (яғни, T – P-нің толық реттелген ішкі жиыны). Егер T бос жиын болса, онда {v} жиыны P-дегі T-нің жоғарғы шегі болады. Демек, T бос емес деп есептейік. Біз T-нің жоғарғы шегі бар екенін көрсетуіміз керек, яғни T-нің барлық элементтерін қамтитын V-тің B сызықтық тәуелсіз ішкі жиыны бар екенін көрсетуіміз керек.

B-ні T-дегі барлық жиындардың бірігінен құрайық. Біз B-нің P-дегі T-нің жоғарғы шегі екенін көрсетуді қалаймыз. Мұны істеу үшін B-нің V-тің сызықтық тәуелсіз ішкі жиыны екенін көрсету жеткілікті.

Керісінше, B сызықтық тәуелсіз емес деп есептейік. Онда B-де v1, v2, ..., vk векторлары және a1, a2, ..., ak скалярлары бар, олардың барлығы да нөл емес, және

бар. B – T-дегі барлық жиындардың бірігі болғандықтан, S1, S2, ..., Sk ∈ T жиындары бар, сондықтан әр i = 1, 2, ..., k үшін vi ∈ Si. T толық реттелгендіктен, S1, S2, ..., Sk жиындарының бірі қалғандарын қамтуы керек, сондықтан v1, v2, ..., vk векторларының барлығын қамтитын Si жиыны бар. Бұл Si жиынында сызықтық тәуелді векторлар жиыны бар екенін білдіреді, бұл Si жиынының сызықтық тәуелсіз екендігіне қайшы келеді (өйткені ол P мүшесі). Зорн леммасының шарты тексерілді, демек P-де максималды элемент бар, яғни V-тің максималды сызықтық тәуелсіз B жиыны бар.

Соңында, B-нің V-тің базасы екенін көрсетейік. B-нің V-тің толық жиыны екенін көрсету жеткілікті. Керісінше, B-нің жабатын кеңістігіне кірмейтін кейбір v ∈ V бар деп есептейік. Бұл B ∪ {v} жиыны V-тің B-ден үлкен сызықтық тәуелсіз ішкі жиыны екенін білдіреді, бұл B-нің максималдығына қайшы келеді. Демек, B – V-тің толық жиыны, және осылайша, V-тің базасы.

Тарих

Хаусдорфтың максималдық принципі – Зорн леммасына ұқсас ертедегі тұжырымдама. Казимеж Куратовский 1922 жылы лемманың қазіргі заманғы тұжырымдамасына жақын нұсқасын дәлелдеді (ол кіріктіру арқылы реттелген және жақсы реттелген тізбектердің бірінділері бойынша жабық жиындарға қолданылады). Дәл осы формулировка (тек жақсы реттелген емес, кез келген тізбектерді қолдану арқылы әлсіретілген) 1935 жылы Макс Зорн тәуелсіз түрде ұсынды, ол оны жақсы реттелу теоремасын алмастыратын жиын теориясының жаңа аксиомасы ретінде қарастырды, алгебрада оның кейбір қолданыстарын көрсетті және басқа бір мақалада таңдау аксиомасымен оның эквиваленттілігін көрсетуге уәде берді, бірақ ол мақала жарық көрген жоқ. "Зорн леммасы" деген атауды Джон Туки берген көрінеді, ол оны 1940 жылы шығарған "Топологиядағы жинақтылық және біртектілік" кітабында қолданды. Бурбакидің 1939 жылғы "Théorie des Ensembles" еңбегінде осыған ұқсас максималдық принцип "le théorème de Zorn" деп аталады. "Куратовский–Зорн леммасы" атауы Польша мен Ресейде басымдыққа ие.

Таңдау аксиомасының әлсіретуі бойынша аналогтар

Зорн леммасының әлсіретілген түрі ZF + DC (Zermelo–Fraenkel жинақтар теориясы, онда таңдау аксиомасы тәуелді таңдау аксиомасымен алмастырылған) арқылы дәлелделуі мүмкін. Зорн леммасын максималды элементі жоқ жиынның реттік қатынасы толық болатынын айтумен тең деп қарастыру арқылы тікелей тұжырымдауға болады, бұл саналатын тізбек құру үшін тәуелді таңдау аксиомасын қолдануға мүмкіндік береді. Осының салдарынан, тек шекті тізбектер ғана болатын жартылай реттелген жиынның максималды элементі болуы керек. Көбірек айтқанда, тәуелді таңдау аксиомасын жоғары ординалдарға дейін күшейту, бұрынғы абзацтағы тұжырымды жоғары кардиналдарға жалпылауға мүмкіндік береді.