Кіріспе
Сақина элементі, нөлдік емес элементке көбейтілгенде 0-ге тең болатын.
Абстрактілік алгебрада, R сақинасының a элементі сол жақтан нөлге бөлінетін элемент деп аталады, егер R-де нөлдік емес x элементі болса, онда ax = 0, немесе эквивалентті түрде, R-ден R-ға x-ті ax-ке сүйреп апаратын бейнелеу инъективті болмаса. Сол сияқты, егер R-де нөлдік емес y элементі болса, онда ya = 0 болса, сақинаның a элементі оң жақтан нөлге бөлінетін элемент деп аталады. Бұл сақиналардағы бөлінудің жартылай жағдайы. Сол немесе оң жақтан нөлге бөлінетін элемент жай ғана нөлге бөлінетін элемент деп аталады. Сол және оң жақтан нөлге бөлінетін a элементі екі жақты нөлге бөлінетін элемент деп аталады (ax = 0 болатын нөлдік емес x, ya = 0 болатын нөлдік емес y-дан өзгеше болуы мүмкін). Егер сақина коммутативті болса, онда сол және оң жақтан нөлге бөлінетін элементтер бірдей болады. Сақинаның сол жақтан нөлге бөлінетін емес (сәйкесінше, оң жақтан нөлге бөлінетін емес) элементі сол жақты тұрақты немесе сол жақты қысқартуға болатын элемент (сәйкесінше, оң жақты тұрақты немесе оң жақты қысқартуға болатын элемент) деп аталады. Сол және оң жақты қысқартуға болатын элемент, сондықтан нөлге бөлінетін емес элемент, тұрақты немесе қысқартуға болатын элемент немесе нөлдік емес бөлгіш деп аталады. Нөлдік емес нөлге бөлінетін элемент нөлдік емес бөлгіш немесе тривиальды емес нөлге бөлінетін элемент деп аталады. Нөлдік емес бөлгіштері жоқ нөлдік емес сақина домен деп аталады.
Мысалдар
Сақинада қалдық класы нөлдік бөлгіш болып табылады, себебі бүтін сандар сақинасының жалғыз нөлдік бөлгіші – нөл. Нөлдік емес сақинаның нильпотентті элементі әрқашан екі жақты нөлдік бөлгіш болады. Сақинаның идемпотентті элементі әрқашан екі жақты нөлдік бөлгіш болады, себебі n × n матрицалар сақинасы n ≥ 2 болғанда нөлден өзгеше нөлдік бөлгіштерге ие. Кез келген нөлдік емес сақина үстіндегі 2 × 2 матрицалар сақинасындағы нөлдік бөлгіштер мысалдары төменде көрсетілген:
Екі немесе одан көп нөлдік емес сақиналардың тікелей көбейтіндісінде әрқашан нөлдік емес нөлдік бөлгіштер болады. Мысалы, әрбір нөлдік емес болғанда, , сондықтан – нөлдік бөлгіш. алаңы және тобы болсын. Егер элементі шекті реттікке ие болса, онда топтық сақинада болады, мұнда екі көбейткіш те нөл емес, сондықтан – сақинасындағы нөлдік емес нөлдік бөлгіш.
Бір жақты нөлдік бөлгіш
(Формалды) матрицалар сақинасын қарастырайық, онда және . Егер , онда ол сол жақтан нөлге бөлетін элемент болады, егер және тек қана егер жұп болса, себебі , ал оң жақтан нөлге бөлетін элемент болады, егер және тек қана егер ұқсас себептермен жұп болса. Егер екеуінің бірі нөлге тең болса, онда ол екі жақты нөлге бөлетін элемент болады. Міне, бір жағынан ғана нөлге бөлетін элементі бар сақинаның тағы бір мысалы. Барлық бүтін сандар тізбектерінің жиыны болсын. Сақина ретінде нүктелік қосу және композиция арқылы -дан -ға барлық қосымша бейнелеулерді қарастырайық. (Яғни, біздің сақинамыз - аддитивті топтың эндоморфизмдер сақинасы.) Бұл сақинаның үш мысалы: оңға жылғастыру, солға жылғастыру және бірінші факторға проекция. Бұл үш қосымша бейнелеудің барлығы нөл емес, ал олардың композициялары және екеуі де нөлге тең, сондықтан ол сол жақтан нөлге бөлетін элемент, ал ол оң жақтан нөлге бөлетін элемент болады. бірақ оң жақтан нөлге бөлетін элемент емес, ал ол сол жақтан нөлге бөлетін элемент емес: олардың композициясы сәйкестікке тең. екі жақты нөлге бөлетін элемент, себебі , ал ешқандай бағытта емес.
Үлгі емес
Жақсы санның модульдік бүтін сандарының сақинасында нөлден өзге нөл бөлгіштер жоқ. Кез келген нөлден өзге элемент кері элемент болғандықтан, бұл сақина шекті өріс болып табылады. Көбінесе, бөлу сақинасында нөлден өзге нөл бөлгіштер болмайды. Тек нөл ғана бөлгіш болатын нөлдік емес коммутативтік сақина – тұйық аймақ деп аталады.
Қасиеттері
Өрістегі n × n матрицалар сақинасында сол және оң нөлдік бөлгіштер бірдей болады; олар дәл ерекше матрицалар. Бүтін домендегі n × n матрицалар сақинасында нөлдік бөлгіштер – детерминанты нөлге тең матрицалар. Сол немесе оң нөлдік бөлгіштер ешқашан кері өшірілмейтін элементтер бола алмайды, себебі егер a кері өшірілгіш болса және 1=ax = 0 болса (мұнда x нөлден өзгеше), онда 1=0 = a^(-1)0 = a^(-1)ax = x, бұл қайшылыққа әкеледі. Элемент, ол тұрақты болған жағынан жойылады. Яғни, егер a сол жақтан тұрақты болса, онда 1=ax = ay болғанда 1=x = y болады, және оң жақтан тұрақты үшін де осылай.
Модульдегі нөлдік бөлгіш
R коммутативті сақина болсын, M – R модулі болсын және a – R элементі болсын. Егер "a-мен көбейту" бейнелеуі инъективті болса, a M-регулярлы деп айтылады, әйтпесе a M-де нөлдік бөлгіш болады. M-регулярлы элементтердің жиыны R-дегі көбейту жиыны болып табылады.
"M-регулярлы" және "M-дегі нөлдік бөлгіш" анықтамаларын 1=M=R жағдайына қатысты қарастырғанда, осы мақалада бұрын берілген "регулярлы" және "нөлдік бөлгіш" анықтамалары қалпына келтіріледі.