Введение

Фильм Холлиса Фрэмптона. Математическое утверждение, эквивалентное аксиоме выбора.

Лемма Зорна, также известная как лемма Куратовски — Зорна, является утверждением теории множеств. Она гласит, что частично упорядоченное множество, содержащее верхние границы для каждой цепи (то есть, каждого вполне упорядоченного подмножества), обязательно содержит по крайней мере один максимальный элемент. Лемма была доказана (при условии аксиомы выбора) Казимиром Куратовским в 1922 году и независимо Максом Зорном в 1935 году. Она используется в доказательствах нескольких теорем, имеющих решающее значение, например, теоремы Хана — Банаха в функциональном анализе, теоремы о том, что каждое векторное пространство имеет базис, теоремы Тихонова в топологии, утверждающей, что любое произведение компактных пространств компактно, и теорем в абстрактной алгебре, согласно которым в кольце с единицей каждый собственное идеальное содержится в максимальном идеале и что каждое поле имеет алгебраическое замыкание. Лемма Зорна эквивалентна теореме о хорошем упорядочении и также аксиоме выбора, в том смысле, что в ZF (теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора) любого из этих трех утверждений достаточно для доказательства двух других. Более ранней формулировкой леммы Зорна является принцип максимума Хаусдорфа, который утверждает, что каждое вполне упорядоченное подмножество данного частично упорядоченного множества содержится во вполне упорядоченном максимальном подмножестве этого частично упорядоченного множества.

Мотивация

Чтобы доказать существование математического объекта, который можно рассматривать как максимальный элемент в некотором частично упорядоченном множестве, можно попытаться доказать существование такого объекта, предположив, что максимального элемента не существует, и используя трансфинитную индукцию и предположения, вытекающие из условий задачи, прийти к противоречию. Лемма Зорна систематизирует условия, которые должна удовлетворять ситуация, чтобы данный аргумент был применим, и позволяет математикам не проводить трансфинитную индукцию вручную каждый раз, а лишь проверять выполнение условий леммы Зорна.

У каждого векторного пространства есть основание.

Лемма Зорна может быть использована для доказательства того, что каждое векторное пространство V имеет базис. Если V = {0}, то пустое множество является базисом для V. Теперь предположим, что V ≠ {0}. Пусть P – множество, состоящее из всех линейно независимых подмножеств V. Поскольку V не является нулевым векторным пространством, существует ненулевой элемент v ∈ V, поэтому P содержит линейно независимое подмножество {v}. Кроме того, P частично упорядочено включением множеств (см. порядок включения). Нахождение максимального линейно независимого подмножества V эквивалентно нахождению максимального элемента в P.

Чтобы применить лемму Зорна, возьмем цепь T в P (то есть T – это подмножество P, которое полностью упорядочено). Если T – пустое множество, то {v} является верхней гранью для T в P. Предположим, что T не пусто. Мы должны показать, что T имеет верхнюю грань, то есть существует линейно независимое подмножество B из V, содержащее все элементы T.

Пусть B – объединение всех множеств в T. Мы хотим показать, что B является верхней гранью для T в P. Для этого достаточно показать, что B является линейно независимым подмножеством V.

Предположим противное, что B линейно зависимо. Тогда существуют векторы v₁, v₂, ..., vk ∈ B и скаляры a₁, a₂, ..., ak, не все равные нулю, такие, что

Поскольку B является объединением всех множеств в T, существуют некоторые множества S₁, S₂, ..., Sk ∈ T такие, что vi ∈ Si для каждого i = 1, 2, ..., k. Так как T полностью упорядочено, одно из множеств S₁, S₂, ..., Sk должно содержать остальные, то есть существует некоторое множество Si, содержащее все v₁, v₂, ..., vk. Это означает, что в Si есть линейно зависимый набор векторов, что противоречит тому, что Si линейно независимо (поскольку оно является элементом P). Гипотеза леммы Зорна проверена, и, следовательно, в P существует максимальный элемент, то есть максимальное линейно независимое подмножество B из V.

Наконец, покажем, что B действительно является базисом V. Достаточно показать, что B является базисным множеством V. Предположим для противоречия, что B не является базисным. Тогда существует некоторый вектор v ∈ V, не принадлежащий линейной оболочке, порожденной B. Это означает, что B ∪ {v} является линейно независимым подмножеством V, которое больше, чем B, что противоречит максимальности B. Следовательно, B является базисным множеством V, и, таким образом, базисом V.

История

Максимальный принцип Хаусдорфа — раннее утверждение, аналогичное лемме Зорна. Казимеж Куратовский доказал в 1922 году версию леммы, близкую к современной формулировке (она применяется к множествам, упорядоченным по включению и замкнутым относительно объединений хорошо упорядоченных цепей). По существу та же формулировка (ослабленная использованием произвольных цепей, а не только хорошо упорядоченных) была независимо предложена Максом Зорном в 1935 году, который предложил её в качестве новой аксиомы теории множеств, заменяющей теорему о хорошем упорядочении, продемонстрировал некоторые её применения в алгебре и обещал показать её эквивалентность аксиоме выбора в другой статье, которая так и не была опубликована. Название "лемма Зорна", по-видимому, принадлежит Джону Тьюки, который использовал его в своей книге «Сходимость и равномерность в топологии» в 1940 году. В «Теории множеств» Бурбаки 1939 года аналогичный максимальный принцип упоминается как «теорема Зорна». Название «Лемма Куратовского — Зорна» распространено в Польше и России.

Аналоги в условиях ослабления аксиомы выбора

Ослабленная форма леммы Зорна может быть доказана из ZF + DC (теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, замененной аксиомой зависимого выбора). Лемму Зорна можно выразить непосредственно, заметив, что множество, не имеющее максимального элемента, было бы эквивалентно утверждению о полноте отношения порядка в этом множестве, что позволило бы применить аксиому зависимого выбора для построения счетной цепи. Следовательно, любое частично упорядоченное множество, имеющее только конечные цепи, должно содержать максимальный элемент. В более общем случае, усиление аксиомы зависимого выбора до более высоких ординалов позволяет обобщить утверждение из предыдущего абзаца на более высокие кардинальности.