Кіріспе
Математикада [a, b] аралығында нақты мәнді f функциясы мынадай қасиеттерге ие болса, жеке функция деп аталады:
f функциясы [a, b] аралығында үздіксіз. (**) 0 өлшемді N жиыны бар, сондықтан N жиынынан тыс барлық x үшін f'(x) туындысы бар және нөлге тең, яғни f функциясының туындысы дерлік барлық жерде жоғалады. f функциясы [a, b] аралығында тұрақты емес. Жеке функциялардың классикалық мысалы – Кантор функциясы, оны кейде «шайтанның баспалдағы» деп атайды (бұл термин жалпы жеке функциялар үшін де қолданылады). Дегенмен, осы атпен белгіленген басқа функциялар да бар. Олардың бірі шеңберлік түрлендіру арқылы анықталады. Егер f(x) = 0 болса, барлық x ≤ a үшін және f(x) = 1 болса, барлық x ≥ b үшін, онда бұл функция дискретті кездейсоқ шама емес (әрбір нүктеде ықтималдық нөлге тең болғандықтан) және абсолюттік үздіксіз кездейсоқ шама да емес (өйткені ықтималдық тығыздығы барлық жерде нөлге тең). Жеке функциялар, мысалы, қатты денелер мен магниттерде кеңістікте модуляцияланған фазалардың немесе құрылымдардың тізбектері ретінде кездеседі, олар Frenkel-Kontorova моделімен және ANNNI моделімен, сондай-ақ кейбір динамикалық жүйелерде сипатталады. Ең белгілісі, олар фракциялық кванттық Холл эффектісінің ядросында жатыр.
there exists a set N of measure 0 such that for all x outside of N the derivative f (x) exists and is zero, that is, the derivative of f vanishes almost everywhere. f is non constant on [a, b]. A standard example of a singular function is the Cantor function, which is sometimes called the devil's staircase (a term also used for singular functions in general). There are, however, other functions that have been given that name. One is defined in terms of the circle map. If f(x) = 0 for all x ≤ a and f(x) = 1 for all x ≥ b, then the function can be taken to represent a cumulative distribution function for a random variable which is neither a discrete random variable (since the probability is zero for each point) nor an absolutely continuous random variable (since the probability density is zero everywhere it exists). Singular functions occur, for instance, as sequences of spatially modulated phases or structures in solids and magnets, described in a prototypical fashion by the Frenkel–Kontorova model and by the ANNNI model, as well as in some dynamical systems. Most famously, perhaps, they lie at the center of the fractional quantum Hall effect.
Бірегейлік функцияларына сілтеме жасағанда
Жалпы математикалық талдауды, нақты талдауды, кешенді талдауды немесе дифференциалдық теңдеулерді талқылағанда, математикалық сингулярлықты қамтитын функцияны "сингулярлы функция" деп атау қалыпты жағдай. Бұл, әсіресе, бір нүктеде немесе шекарада шексіздікке ұмтылатын функцияларға қатысты айтылады. Мысалы, "1/x функциясы нөлде сингулярлы болады, сондықтан 1/x – сингулярлы функция" деуге болады. Сингулярлықтары бар функциялармен жұмыс істеудің жетілдірілген әдістері үлестірімдік немесе жалпыланған функциялар талдауы деп аталатын саланың ішінде әзірленген. Бұл сала әлсіз туындыны анықтайды, ол сингулярлы функцияларды дербес дифференциалдық теңдеулерде және т.б. пайдалануға мүмкіндік береді.