Топологияда салыстырмалы жиынтық – жабылуы ықшам кеңістік. Ықшам кеңістіктің кез келген жиынтығы, сондай-ақ салыстырмалы жиынтықтың ішкі жиынтығы да салыстырмалы болады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, топологиялық кеңістік X-тің салыстырмалы түрде компактты субкеңістігі (немесе салыстырмалы түрде компактты жиын, немесе прекомпакт жиын) Y – жабылуы компактты жиын.
In mathematics, a relatively compact subspace (or relatively compact subset, or precompact subset) Y of a topological space X is a subset whose closure is compact.
Қасиеттері
Ықшам топологиялық кеңістіктің кез келген кіші жиыны салыстырмалы түрде ықшам (өйткені ықшам кеңістіктің жабық кіші жиыны ықшам болады). Ал кез келген топологиялық кеңістікте салыстырмалы түрде ықшам жиынның кез келген кіші жиыны салыстырмалы түрде ықшам болады. Хаусдорф кеңістігінің кез келген ықшам кіші жиыны салыстырмалы түрде ықшам. Хаусдорф емес кеңістікте, мысалы, шексіз жиынның жеке нүктелік топологиясында, ықшам кіші жиынның жабылуы міндетті түрде ықшам емес; басқаша айтқанда, Хаусдорф емес кеңістіктің ықшам кіші жиыны міндетті түрде салыстырмалы түрде ықшам емес. Топологиялық векторлық кеңістіктің (мүмкін Хаусдорф емес) кез келген ықшам кіші жиыны толық және салыстырмалы түрде ықшам. Метрикалық топология жағдайында, немесе жалпы алғанда, тізбектер ықшамдықты тексеру үшін қолданылатын болса, салыстырмалы ықшамдықтың шарты – Y-дегі кез келген тізбектің X-те жинақталатын ішкі тізбегінің болуы. Кейбір маңызды теоремалар салыстырмалы түрде ықшам кіші жиындарды, әсіресе функциялық кеңістіктерде сипаттайды. Мысалы, Арцела-Асколи теоремасы. Басқа қызығушылық тудыратын жағдайлар біртекті интегралдануға және күрделі талдаудағы қалыпты отбасы түсінігіне қатысты. Малердің сандар геометриясындағы ықшамдық теоремасы белгілі бір ықшам емес гомогенді кеңістіктердегі (әсіресе торлар кеңістіктеріндегі) салыстырмалы ықшам кіші жиындарды сипаттайды.
Every subset of a compact topological space is relatively compact (since a closed subset of a compact space is compact). And in an arbitrary topological space every subset of a relatively compact set is relatively compact. Every compact subset of a Hausdorff space is relatively compact. In a non Hausdorff space, such as the particular point topology on an infinite set, the closure of a compact subset is not necessarily compact; said differently, a compact subset of a non Hausdorff space is not necessarily relatively compact. Every compact subset of a (possibly non Hausdorff) topological vector space is complete and relatively compact. In the case of a metric topology, or more generally when sequences may be used to test for compactness, the criterion for relative compactness becomes that any sequence in Y has a subsequence convergent in X. Some major theorems characterize relatively compact subsets, in particular in function spaces. An example is the Arzelà–Ascoli theorem. Other cases of interest relate to uniform integrability, and the concept of normal family in complex analysis. Mahler's compactness theorem in the geometry of numbers characterizes relatively compact subsets in certain non compact homogeneous spaces (specifically spaces of lattices).
Қарсы мысал
Контрмысал ретінде, шексіз нақты нүкте кеңістігіндегі кез келген нақты нүктенің маңындағы аймақты қарастырыңыз. Бұл маңның өзі ықшам болуы мүмкін, бірақ оның жабылуы бүкіл ықшам емес кеңістік болғандықтан, ол салыстырмалы түрде ықшам емес.
As a counterexample take any neighbourhood of the particular point of an infinite particular point space. The neighbourhood itself may be compact but is not relatively compact because its closure is the whole non compact space.
Шамамен мерзімді функциялар
F функциясының дерлік периодты функция екендігінің түсіндірмелік деңгейдегі анықтамасы, F функциясының жылжуларының салыстырмалы түрде жиынтық болатындығымен байланысты. Бұл қолданылатын топология тұрғысынан нақтылануы керек, яғни белгілі бір теорияда.
The definition of an almost periodic function F at a conceptual level has to do with the translates of F being a relatively compact set. This needs to be made precise in terms of the topology used, in a particular theory.