Введение
В математике относительно компактное подпространство (или относительно компактное подмножество, или предкомпактное подмножество) Y топологического пространства X — это подмножество, замыкание которого компактно.
Свойства
Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (поскольку замкнутое подмножество компактного пространства компактно). И в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно. Каждое компактное подмножество пространства Хаусдорфа относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как, например, топология единичной точки на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; другими словами, компактное подмножество нехаусдорфова пространства не обязательно относительно компактно. Каждое компактное подмножество (возможно, нехаусдорфова) топологического векторного пространства является полным и относительно компактным. В случае метрической топологии, или в более общем случае, когда последовательности могут быть использованы для проверки компактности, критерием относительной компактности является то, что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность, сходящуюся в X. Некоторые важные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности, в функциональных пространствах. Примером служит теорема Арзела-Асколи. Другие интересные случаи связаны с равномерной интегрируемостью и понятием нормальной семьи в комплексном анализе. Теорема компактности Малера в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в определенных некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток).
Контрпример
В качестве контрпримера возьмем любое окрестность данной точки бесконечного точечного пространства. Сама окрестность может быть компактной, но не относительно компактной, поскольку ее замыкание является всем некомпактным пространством.
Почти периодические функции
Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что сдвиги функции F образуют относительно компактное множество. Это требует уточнения в терминах используемой топологии в конкретной теории.