Кіріспе
Эллиптік қисықтар туралы математикалық болжам
In mathematics, the Sato–Tate conjecture is a statistical statement about the family of elliptic curves Ep obtained from an elliptic curve E over the rational numbers by reduction modulo almost all prime numbers p. Mikio Sato and John Tate independently posed the conjecture around 1960. If Np denotes the number of points on the elliptic curve Ep defined over the finite field with p elements, the conjecture gives an answer to the distribution of the second order term for Np. By Hasse's theorem on elliptic curves,
as , and the point of the conjecture is to predict how the O term varies. The original conjecture and its generalization to all totally real fields was proved by Laurent Clozel, Michael Harris, Nicholas Shepherd Barron, and Richard Taylor under mild assumptions in 2008, and completed by Thomas Barnet Lamb, David Geraghty, Harris, and Taylor in 2011. Several generalizations to other algebraic varieties and fields are open.
Математикада Сато–Тейт болжамы – рационал сандар үстіндегі эллиптік қисықтан, дерлік барлық p жай сандары бойынша модуль бойынша келу арқылы алынған эллиптік қисықтар Ep отбасы туралы статистикалық мәлімдеме. Бұл болжамды Микио Сато мен Джон Тейт 1960 жылдар шамасында тәуелсіз түрде ұсынды. Егер Np p элементі бар шекті өріс үстінде анықталған эллиптік қисық Ep-нің нүктелерінің санын білдірсе, онда болжам Np үшін екінші реттік мүшенің таралуына жауап береді. Хассе теоремасы бойынша эллиптік қисықтар үшін , және болжамның мәні – O мүшесінің қалай өзгеретінін болжау. Бастапқы болжам және оны барлық толық нақты өрістерге жалпылау 2008 жылы Лоран Клозель, Майкл Харрис, Николас Шепард Баррон және Ричард Тейлор жеңіл шарттар бойынша дәлелдеді, ал 2011 жылы Томас Барнет Лэмб, Дэвид Герагти, Харрис және Тейлор аяқтады. Басқа алгебралық сорттар мен өрістерге қатысты бірнеше жалпылаулар ашық күйде қалып отыр.
In mathematics, the Sato–Tate conjecture is a statistical statement about the family of elliptic curves Ep obtained from an elliptic curve E over the rational numbers by reduction modulo almost all prime numbers p. Mikio Sato and John Tate independently posed the conjecture around 1960. If Np denotes the number of points on the elliptic curve Ep defined over the finite field with p elements, the conjecture gives an answer to the distribution of the second order term for Np. By Hasse's theorem on elliptic curves,
as , and the point of the conjecture is to predict how the O term varies. The original conjecture and its generalization to all totally real fields was proved by Laurent Clozel, Michael Harris, Nicholas Shepherd Barron, and Richard Taylor under mild assumptions in 2008, and completed by Thomas Barnet Lamb, David Geraghty, Harris, and Taylor in 2011. Several generalizations to other algebraic varieties and fields are open.
Дәлел
2008 жылы Клозель, Харрис, Шепард Баррон және Тейлор бірлескен үш мақала сериясында, белгілі бір шартты орындалатын толығымен нақты өрістердегі эллипстік қисықтар үшін Сато–Тейт болжамының дәлелін жариялады: кейбір жай сандарда көбейту арқылы қысқартудың болуы. Артур–Сельберг із формуласының жетілдірілген түрлеріне байланысты қосымша нәтижелер бар. Харрис, осындай гипотетикалық із формуласынан туындайтын, екі эллипстік қисықтың (изоген емес) көбейтіндісі үшін шартты дәлел келтіреді. 2011 жылы Барнет Лэмб, Герагти, Харрис және Тейлор бұрынғы мақалалардағы модульділік мүмкіндіктерін жақсарту арқылы, салмағы екіге тең немесе одан жоғары кез келген КМ емес голоморфты модульді форма үшін Сато–Тейт болжамының жалпыланған нұсқасын дәлелдеді. Із формуласымен байланысты бұрынғы мәселелерді Майкл Харрис және Суг Ву Шин шешті. 2015 жылы Ричард Тейлор "Сато–Тейт болжамындағы көптеген маңызды нәтижелері үшін" математика саласындағы Жетістік сыйлығына ие болды.
Жалпылау
Этальдік кохомология бойынша Галуа бейнелеулеріне қатысы бар Галуа топтарында Фробен элементтерінің таралуын қамтитын жалпыламалар бар. Атап айтқанда, n > 1 туыстағы қисықтар үшін болжамды теория бар. Ник Кац пен Питер Сарнак әзірлеген кездейсоқ матрицалық модель бойынша, Фробен элементтерінің (нормаланған) сипаттамалық полиномиялары мен USp(2n) = Sp(n) компакттық Лай тобындағы конъюгация кластары арасында болжамды сәйкестік бар. USp(2n) бойынша Haar өлшемі болжамды таратуды береді, ал классикалық жағдай USp(2) = SU(2) болып табылады.
Тазартулар
Сондай-ақ, одан да нақтырақ тұжырымдар бар. Серж Ланг пен Хейл Троттердің 1976 жылғы Ланг-Троттер болжамы, формулада пайда болатын Фробень ізінің берілген ap мәніне ие p жай сандарының асимптотикалық санын көрсетеді. Типтік жағдайда (кешенді көбейту болмағанда, із ≠ 0) олардың формуласы X-ке дейінгі p сандарының асимптотикалық түрде белгілі бір c тұрақтысымен көрсетілетінін айтады. Нейл Коблиц 1988 жылы Эp нүктелерінің саны q болатын жағдай үшін егжей-тегжейлі болжамдар ұсынды, бұл эллипстік қисық криптографиясымен байланысты. 1999 жылы Шантал Дэвид пен Франческо Папаларди Ланг-Троттер болжамының орташаланған түрін дәлелдеді.
with a specified constant c. Neal Koblitz (1988) provided detailed conjectures for the case of a prime number q of points on Ep, motivated by elliptic curve cryptography. In 1999, Chantal David and Francesco Pappalardi proved an averaged version of the Lang–Trotter conjecture.