Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая гипотеза об эллиптических кривых
Mathematical conjecture about elliptic curves
В математике гипотеза Сато — Тате — это статистическое утверждение о семействе эллиптических кривых Ep, полученном из эллиптической кривой E над рациональными числами путем вычисления её образа по модулю почти всех простых чисел p. Микио Сато и Джон Тейт независимо сформулировали гипотезу около 1960 года. Если Np обозначает число точек на эллиптической кривой Ep, определенной над конечным полем из p элементов, то гипотеза даёт ответ на вопрос о распределении члена второго порядка для Np. Согласно теореме Хассе об эллиптических кривых,
In mathematics, the Sato–Tate conjecture is a statistical statement about the family of elliptic curves Ep obtained from an elliptic curve E over the rational numbers by reduction modulo almost all prime numbers p. Mikio Sato and John Tate independently posed the conjecture around 1960. If Np denotes the number of points on the elliptic curve Ep defined over the finite field with p elements, the conjecture gives an answer to the distribution of the second order term for Np. By Hasse's theorem on elliptic curves,
при больших p, и суть гипотезы заключается в предсказании поведения члена O. Оригинальная гипотеза и её обобщение на все вполне действительные поля были доказаны Лораном Клозелем, Майклом Харрисом, Николасом Шепардом-Барроном и Ричардом Тейлором в 2008 году и завершены Томасом Барнетом-Лэмбом, Дэвидом Герагти, Харрисом и Тейлором в 2011 году. Ряд обобщений на другие алгебраические многообразия и поля остаются открытыми.
as , and the point of the conjecture is to predict how the O term varies. The original conjecture and its generalization to all totally real fields was proved by Laurent Clozel, Michael Harris, Nicholas Shepherd Barron, and Richard Taylor under mild assumptions in 2008, and completed by Thomas Barnet Lamb, David Geraghty, Harris, and Taylor in 2011. Several generalizations to other algebraic varieties and fields are open.
Доказательство
В 2008 году Клозель, Харрис, Шепард Баррон и Тейлор опубликовали доказательство гипотезы Сато — Тате для эллиптических кривых над полностью вещественными полями, удовлетворяющими определенному условию: мультипликативное вырождение в некотором простом числе, в серии из трех совместных статей. Дальнейшие результаты зависят от улучшенных форм формулы следов Артура — Сельберга. Харрис имеет условное доказательство результата для произведения двух эллиптических кривых (не изогенных), вытекающего из такой гипотетической формулы следов. В 2011 году Барнет-Лэмб, Герагти, Харрис и Тейлор доказали обобщенную версию гипотезы Сато — Тате для произвольной не-CM голоморфной модулярной формы веса, большего или равного двум, улучшив результаты о потенциальной модулярности, полученные в предыдущих работах. Предыдущие проблемы, связанные с формулой следов, были решены Майклом Харрисом и Суг Ву Шином. В 2015 году Ричард Тейлор был удостоен премии Breakthrough Prize in Mathematics «за многочисленные прорывные результаты в ( ) гипотезе Сато — Тате».
In 2008, Clozel, Harris, Shepherd Barron, and Taylor published a proof of the Sato–Tate conjecture for elliptic curves over totally real fields satisfying a certain condition: of having multiplicative reduction at some prime, in a series of three joint papers. Further results are conditional on improved forms of the Arthur–Selberg trace formula. Harris has a conditional proof of a result for the product of two elliptic curves (not isogenous) following from such a hypothetical trace formula. In 2011, Barnet Lamb, Geraghty, Harris, and Taylor proved a generalized version of the Sato–Tate conjecture for an arbitrary non CM holomorphic modular form of weight greater than or equal to two, by improving the potential modularity results of previous papers. The prior issues involved with the trace formula were solved by Michael Harris, and Sug Woo Shin. In 2015, Richard Taylor was awarded the Breakthrough Prize in Mathematics "for numerous breakthrough results in ( ) the Sato–Tate conjecture."
Обобщения
Существуют обобщения, касающиеся распределения элементов Фробена в группах Галуа, вовлеченных в представления Галуа на этальной когомологии. В частности, существует гипотетическая теория для кривых рода n > 1. В рамках модели случайных матриц, разработанной Ником Кацем и Питером Сарнаком, предполагается соответствие между (унитаризованными) характеристическими полиномами элементов Фробена и классами сопряженности в компактной группе Ли USp(2n) = Sp(n). Мера Хаара на USp(2n) тогда определяет предполагаемое распределение, а классическим случаем является USp(2) = SU(2).
There are generalisations, involving the distribution of Frobenius elements in Galois groups involved in the Galois representations on étale cohomology. In particular there is a conjectural theory for curves of genus n > 1. Under the random matrix model developed by Nick Katz and Peter Sarnak, there is a conjectural correspondence between (unitarized) characteristic polynomials of Frobenius elements and conjugacy classes in the compact Lie group USp(2n) = Sp(n). The Haar measure on USp(2n) then gives the conjectured distribution, and the classical case is USp(2) = SU(2).
Усовершенствования
Есть и более точные утверждения. Гипотеза Лэнга — Троттера (1976), сформулированная Сержем Лангом и Хейлом Троттером, описывает асимптотическое количество простых чисел p с заданным значением ap, следа Фробениуса, встречающегося в соответствующей формуле. Для типичного случая (отсутствие комплексного умножения, след ≠ 0) их формула утверждает, что количество простых чисел p, не превышающих X, асимптотически равно
There are also more refined statements. The Lang–Trotter conjecture (1976) of Serge Lang and Hale Trotter states the asymptotic number of primes p with a given value of ap, the trace of Frobenius that appears in the formula. For the typical case (no complex multiplication, trace ≠ 0) their formula states that the number of p up to X is asymptotically
с заданной константой c. Нил Коблиц (1988) выдвинул более детальные гипотезы для случая, когда число точек на эллиптической кривой Ep равно простому числу q, что было мотивировано криптографией на эллиптических кривых. В 1999 году Шанталь Дэвид и Франческо Папаларди доказали усреднённую версию гипотезы Лэнга — Троттера.
with a specified constant c. Neal Koblitz (1988) provided detailed conjectures for the case of a prime number q of points on Ep, motivated by elliptic curve cryptography. In 1999, Chantal David and Francesco Pappalardi proved an averaged version of the Lang–Trotter conjecture.