Алгебралық K-теория: Математиканың бір саласы

Кіріспе

Математиканың пәндік саласы Алгебралық К-теориясы – геометрия, топология, сақиналар теориясы және сандар теориясымен байланысты математиканың пәндік саласы. Геометриялық, алгебралық және арифметикалық объектілерге K-топтары деп аталатын объектілер сәйкес келеді. Бұл абстрактілі алгебра мағынасындағы топтар. Олар бастапқы объект туралы толыққанды ақпаратты қамтиды, бірақ оларды есептеу өте қиын; мысалы, маңызды ашық мәселе – бүтін сандардың K-топтарын есептеу. K-теорияны 1950 жылдардың соңында Александр Гротендик алгебралық сорттардағы қиылысу теориясын зерттеу барысында ашқан. Қазіргі тілмен айтқанда, Гротендик тек K₀-ны, яғни бірінші K-тобын анықтады, бірақ тіпті осы бір топтың да көптеген қолданыстары бар, мысалы, Гротендик-Риман-Рох теоремасы. Қиылысу теориясы әлі де мотивтік когомология және әсіресе Чоу топтары арқылы (жоғары) алгебралық K-теориясын дамытуға серпін береді. Бұл пәнге классикалық сандық теориялық тақырыптар да кіреді, мысалы, квадраттық өзара байланыс және нақты және кешенді сандарға сандық өрістерді ендіру, сондай-ақ жоғары реттегіштерді құру және L-функцияларының ерекше мәндері сияқты қазіргі заманғы мәселелер де қарастырылады. Төменгі K-топтары бірінші болып ашылды, яғни осы топтарды басқа алгебралық құрылымдар тұрғысынан сипаттауға жеткілікті мүмкіндіктер табылды. Мысалы, егер F өріс болса, онда K₀(F) Z бүтін сандарымен изоморфты және векторлық кеңістіктің өлшемі түсінігімен тығыз байланысты. Коммутативті R сақинасы үшін K₀(R) тобы R-дың Пикард тобымен байланысты, ал R сандық өрістегі бүтін сандар сақинасы болғанда, бұл сыныптық топтың классикалық құрылымын жалпылайды. K₁(R) тобы R× бірліктері тобымен тығыз байланысты, ал егер R өріс болса, онда ол бірліктер тобымен сәйкес келеді. F сандық өрісі үшін K₂(F) тобы кластық өріс теориясымен, Хилберт символымен және толықтырулар бойынша квадраттық теңдеулерді шешу мүмкіндігімен байланысты. Керісінше, сақиналардың жоғары K-топтарының дұрыс анықтамасын табу Дэниел Квилленнің қиын жетістігі болды, ал алгебралық сорттардың жоғары K-топтары туралы көптеген негізгі фактілер Роберт Томассонның жұмысына дейін белгілі болған жоқ.

Subject area in mathematics

Algebraic K theory is a subject area in mathematics with connections to geometry, topology, ring theory, and number theory. Geometric, algebraic, and arithmetic objects are assigned objects called K groups. These are groups in the sense of abstract algebra. They contain detailed information about the original object but are notoriously difficult to compute; for example, an important outstanding problem is to compute the K groups of the integers. K theory was discovered in the late 1950s by Alexander Grothendieck in his study of intersection theory on algebraic varieties. In the modern language, Grothendieck defined only K0, the zeroth K group, but even this single group has plenty of applications, such as the Grothendieck–Riemann–Roch theorem. Intersection theory is still a motivating force in the development of (higher) algebraic K theory through its links with motivic cohomology and specifically Chow groups. The subject also includes classical number theoretic topics like quadratic reciprocity and embeddings of number fields into the real numbers and complex numbers, as well as more modern concerns like the construction of higher regulators and special values of L functions. The lower K groups were discovered first, in the sense that adequate descriptions of these groups in terms of other algebraic structures were found. For example, if F is a field, then K0(F) is isomorphic to the integers Z and is closely related to the notion of vector space dimension. For a commutative ring R, the group K0(R) is related to the Picard group of R, and when R is the ring of integers in a number field, this generalizes the classical construction of the class group. The group K1(R) is closely related to the group of units R×, and if R is a field, it is exactly the group of units. For a number field F, the group K2(F) is related to class field theory, the Hilbert symbol, and the solvability of quadratic equations over completions. In contrast, finding the correct definition of the higher K groups of rings was a difficult achievement of Daniel Quillen, and many of the basic facts about the higher K groups of algebraic varieties were not known until the work of Robert Thomason.

Тарих

К теориясының тарихын Чарльз Вейбель толыққанды сипаттады.

Гротендиктің тобы K0

19 ғасырда Бернхард Риман және оның шәкірті Густав Рох қазіргі Риман-Рох теоремасы деп аталатын теореманы дәлелдеді. Егер X – Риман беті болса, онда X-тегі мероморфтық функциялар мен мероморфтық дифференциалдық формалар жиыны векторлық кеңістік құрайды. X-тегі сызық будасы осы векторлық кеңістіктердің ішкі кеңістіктерін анықтайды, ал егер X проективті болса, онда бұл ішкі кеңістіктер шекті өлшемді болады. Риман-Рох теоремасы бойынша, осы ішкі кеңістіктердің өлшемдері арасындағы айырмашылық сызық будасының дәрежесіне (бұрмаланудың өлшемі) қосылғанда, бір минус X туысына тең болады. 20 ғасырдың ортасында Фридрих Хирцебрух Риман-Рох теоремасын барлық алгебралық сорттарға жалпылады. Хирцебрухтың тұжырымында, Хирцебрух-Риман-Рох теоремасы теореманы Эйлер сипаттамалары туралы мәлімдемеге айналдырды: алгебралық сорттағы векторлық буданың Эйлер сипаттамасы (оның когомологиялық топтарының өлшемдерінің кезектестіру қосындысы) тривиальды буданың Эйлер сипаттамасына және векторлық буданың сипаттамалық кластарынан туындайтын түзету коэффициентіне тең. Бұл жалпылау, себебі проективті Риман бетінде сызық буданың Эйлер сипаттамасы бұрын айтылған өлшемдердегі айырмашылыққа тең, тривиальды буданың Эйлер сипаттамасы бір минус гендерге тең, ал жалғыз тривиальды емес сипаттама класы – дәреже. K-теориясы тақырыбы өзінің атын 1957 жылы Александр Гротендик жасаған құрылымнан алды, ол Гротендик-Риман-Рох теоремасында пайда болды, ол Хирцебрух теоремасының жалпылауы болып табылады. X – тегіс алгебралық сорт болсын. Гротендик X-тегі әрбір векторлық будаға инвариантты, оның класын байланыстырады. X-тегі барлық кластар жиыны неміс тіліндегі Klasse сөзінен K(X) деп аталды. Анықтама бойынша, K(X) – X-тегі векторлық будалардың изоморфизм кластары бойынша еркін абельдік топтың бөлімі, сондықтан ол абельдік топ болып табылады. Егер V векторлық будаға сәйкес келетін базалық элемент [V] деп белгіленсе, онда векторлық будалардың кез келген қысқа дәл тізбегі үшін: Гротендик 1=[V] = [V′] + [V″] қатынасын енгізді. Бұл генераторлар мен қатынастар K(X) анықтайды және олар векторлық будаларға инварианттарды дәл тізбектерге сәйкес келетін тәсілмен тағайындаудың әмбебап жолы екенін көрсетеді. Гротендик Риман-Рох теоремасы – сорттардың морфизмдері туралы мәлімдеме, сорттардың өзі емес деген тұжырымды қабылдады. Ол K(X)-тен X-тің Чоу топтарына Черн сипаттамасы мен Тодд класынан туындайтын гомоморфизм бар екенін дәлелдеді. Сонымен қатар, ол Y-дің тегіс сортына f: X → Y дұрыс морфизмі f*: K(X) → K(Y) деп аталатын гомоморфизмді анықтайды. Бұл Y-дің Чоу тобындағы элементті X-тегі векторлық будадан анықтаудың екі жолын береді: X-тен басталып, алдымен K-теориясындағы жылжытуды есептеп, содан кейін Y-дің Черн сипаттамасы мен Тодд класын қолдануға болады немесе алдымен X-тің Черн сипаттамасы мен Тодд класын қолданып, содан кейін Чоу топтарының жылжытуын есептеуге болады. Гротендик-Риман-Рох теоремасы бұл екі нәтиже тең екенін айтады. Егер Y нүкте болса, онда векторлық буда – векторлық кеңістік, векторлық кеңістіктің класы – оның өлшемі, ал Гротендик-Риман-Рох теоремасы Хирцебрух теоремасына айналады. K(X) тобы қазір K0(X) деп аталады. Векторлық будаларды проекциялық модульдермен алмастырғаннан кейін, K0 коммутативті емес сақиналар үшін де анықталды, онда ол топтық өкілдіктерге қолданылды. Атия және Хирцебрух Гротендиктің құрылымын топологияға жылдам жеткізді және оны топологиялық K-теорияны анықтау үшін пайдаланды. Топологиялық K-теориясы ерекше кохомология теориясының алғашқы мысалдарының бірі болды: ол әрбір топологиялық X кеңістігіне (кейбір жеңіл техникалық шектеулерді қанағаттандыратын) Нормалдану аксиомасынан басқа барлық Эйленберг-Стинрод аксиомаларын қанағаттандыратын Kn(X) топтарының тізбесін байланыстырады. Алгебралық сорттардың орналысы әлдеқайда қатаң, ал топологияда қолданылатын икемді құрылымдар қол жетімді емес еді. K0 тобы алгебралық сорттар мен коммутативті емес сақиналардың кохомология теориясының басталуы үшін қажетті қасиеттерді қанағаттандыратын сияқты болса да, жоғары Kn(X) нақты анықтамасы болған жоқ. Мұндай анықтамалар жасалған кезде де, шектеу мен жабыстырумен байланысты техникалық мәселелер Kn-ді сорттарға емес, тек сақиналарға ғана анықтауға мәжбүр етті.

In the 19th century, Bernhard Riemann and his student Gustav Roch proved what is now known as the Riemann–Roch theorem. If X is a Riemann surface, then the sets of meromorphic functions and meromorphic differential forms on X form vector spaces. A line bundle on X determines subspaces of these vector spaces, and if X is projective, then these subspaces are finite dimensional. The Riemann–Roch theorem states that the difference in dimensions between these subspaces is equal to the degree of the line bundle (a measure of twistedness) plus one minus the genus of X. In the mid 20th century, the Riemann–Roch theorem was generalized by Friedrich Hirzebruch to all algebraic varieties. In Hirzebruch's formulation, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, the theorem became a statement about Euler characteristics: The Euler characteristic of a vector bundle on an algebraic variety (which is the alternating sum of the dimensions of its cohomology groups) equals the Euler characteristic of the trivial bundle plus a correction factor coming from characteristic classes of the vector bundle. This is a generalization because on a projective Riemann surface, the Euler characteristic of a line bundle equals the difference in dimensions mentioned previously, the Euler characteristic of the trivial bundle is one minus the genus, and the only nontrivial characteristic class is the degree. The subject of K theory takes its name from a 1957 construction of Alexander Grothendieck which appeared in the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, his generalization of Hirzebruch's theorem. Let X be a smooth algebraic variety. To each vector bundle on X, Grothendieck associates an invariant, its class. The set of all classes on X was called K(X) from the German Klasse. By definition, K(X) is a quotient of the free abelian group on isomorphism classes of vector bundles on X, and so it is an abelian group. If the basis element corresponding to a vector bundle V is denoted [V], then for each short exact sequence of vector bundles:

Grothendieck imposed the relation 1=[V] = [V′] + [V″]. These generators and relations define K(X), and they imply that it is the universal way to assign invariants to vector bundles in a way compatible with exact sequences. Grothendieck took the perspective that the Riemann–Roch theorem is a statement about morphisms of varieties, not the varieties themselves. He proved that there is a homomorphism from K(X) to the Chow groups of X coming from the Chern character and Todd class of X. Additionally, he proved that a proper morphism f : X → Y to a smooth variety Y determines a homomorphism f* : K(X) → K(Y) called the pushforward. This gives two ways of determining an element in the Chow group of Y from a vector bundle on X: Starting from X, one can first compute the pushforward in K theory and then apply the Chern character and Todd class of Y, or one can first apply the Chern character and Todd class of X and then compute the pushforward for Chow groups. The Grothendieck–Riemann–Roch theorem says that these are equal. When Y is a point, a vector bundle is a vector space, the class of a vector space is its dimension, and the Grothendieck–Riemann–Roch theorem specializes to Hirzebruch's theorem. The group K(X) is now known as K0(X). Upon replacing vector bundles by projective modules, K0 also became defined for non commutative rings, where it had applications to group representations. Atiyah and Hirzebruch quickly transported Grothendieck's construction to topology and used it to define topological K theory. Topological K theory was one of the first examples of an extraordinary cohomology theory: It associates to each topological space X (satisfying some mild technical constraints) a sequence of groups Kn(X) which satisfy all the Eilenberg–Steenrod axioms except the normalization axiom. The setting of algebraic varieties, however, is much more rigid, and the flexible constructions used in topology were not available. While the group K0 seemed to satisfy the necessary properties to be the beginning of a cohomology theory of algebraic varieties and of non commutative rings, there was no clear definition of the higher Kn(X). Even as such definitions were developed, technical issues surrounding restriction and gluing usually forced Kn to be defined only for rings, not for varieties.

K0, K1 және K2

Жалпы сақиналар үшін K1-ге жақын топты бұрын J. H. C. Whitehead енгізген. Анри Пуанкаре көптүрліліктің Бетти сандарын үшбұрыштылау арқылы анықтауға тырысты. Дегенмен, оның әдістерінде маңызды кемшілік болды: Пуанкаре көпбұрыштың екі үшбұрыштылауы әрқашан бірдей Бетти сандарын береді деп дәлелдей алмады. Бетти сандары үшбұрыштылауды бөлу кезінде өзгермейтіні анық болды, сондықтан ортақ бөліністі бөлісетін кез келген екі үшбұрыштылаудың бірдей Бетти сандары бар екені анық болды. Кез келген екі үшбұрыштылаудың ортақ бөлініске ие екені белгісіз болды. Бұл гипотеза «Негізгі болжам» деп аталатын болжамға айналды. Үшбұрыштылаулардың бөліну кезінде тұрақты екендігі J. H. C. Whitehead-ті қарапайым гомотопия типі туралы түсінікті енгізуге итермеледі. Қарапайым гомотопиялық теңдестік қарапайым немесе жасушалық кешенге қарапайым немесе жасушалық кешенді қосу арқылы анықталады, сондықтан әрбір қосымша қарапайым немесе жасушалық деформация ескі кеңістіктің бөлінісіне кері қайтарылады. Бұл анықтаманың бір бөлігі үшбұрыштылаудың бөлінуі бастапқы үшбұрыштылауға қарапайым гомотопиялық тең екендігіне негізделген, сондықтан ортақ бөлініске ие екі үшбұрыштылау қарапайым гомотопиялық тең болуы керек. Whitehead қарапайым гомотопиялық теңдестік гомотопиялық теңдестіктен гөрі жақсы инвариант екенін торсия деп аталатын инвариантты енгізу арқылы дәлелдеді. Гомотопиялық теңдестіктің торсиясы қазір Whitehead тобы деп аталатын және Wh(π) деп белгіленетін топта мәндерді алады, мұнда π – мақсатты кешеннің негізгі тобы. Whitehead тривиальды емес торсияның мысалдарын тапты және осылайша кейбір гомотопиялық теңдестіктердің қарапайым еместігін дәлелдеді. Whitehead тобы кейінірек K1(Zπ) –нің факторлық тобы болып табынатынын анықтады, мұнда Zπ – π-нің интегралдық сақиналық тобы. Кейін Джон Милнор Hauptvermutung-ты жоққа шығару үшін Whitehead торсиясына байланысты инвариант – Рейдемейстер торсиясын қолданды. Сақинаның K1-інің алғашқы адекватты анықтамасын Хайман Басс және Стивен Шэнуэл жасады. Топологиялық K-теорияда K1 кеңістіктің аспасындағы векторлық шоғырларды пайдалану арқылы анықталады. Барлық мұндай векторлық шоғырлар тігісу құрылысынан шығады, онда кеңістіктің екі жартысындағы екі тривиальды векторлық шоғыр кеңістіктің ортақ жолағында тігіледі. Бұл тігісу деректері жалпы сызықтық топты пайдалану арқылы көрсетіледі, бірақ осы топтың элементарлық матрицалардан (элементарлық қатар немесе баған операцияларына сәйкес келетін матрицалар) шыққан элементтері эквивалентті тігістерді анықтайды. Осыған сүйене отырып, Басс-Шэнуэлдің R сақинасының K1 анықтамасы GL(R) / E(R) болып табылады, мұнда GL(R) – шексіз жалпы сызықтық топ (барлық GLn(R) –дің біріктірілісі) және E(R) – элементарлық матрицалардың кіші тобы. Олар сонымен қатар сақиналар гомоморфизмінің K0 анықтамасын берді және K0 мен K1 салыстырмалы гомологияның дәл тізбектеріне ұқсас дәл тізбекке сәйкес келетінін дәлелдеді. Осы кезеңдегі K-теория бойынша жұмыс Басс-тың «Алгебралық K-теория» кітабында аяқталды. Сол кездегі белгілі нәтижелердің бірізді баяндамасын ұсынумен қатар, Басс теоремалардың көптеген тұжырымдамаларын жақсартты. Басс Муртимен бірге жасаған бұрынғы жұмысына сүйене отырып, алгебралық K-теорияның негізгі теоремасы деп аталатын нәрсенің алғашқы дәлелін ұсынды. Бұл R сақинасының K0-ін, R-дің K1-ін, R[t] полиномдық сақинасын және R[t, t−1] локализациясын байланыстыратын төрт терминдік дәл тізбек. Басс бұл теорема K0-ді толықтай K1 тұрғысынан сипаттайтынын мойындады. Осы сипаттаманы рекурсивті қолдану арқылы ол теріс K топтарын K−n(R) шығарды. Тәуелсіз жұмыста Макс Каруби белгілі бір санаттар үшін теріс K топтарының басқа анықтамасын берді және оның анықтамасы Басс-тың топтарымен бірдей топтарды берді. Пәннің келесі маңызды дамуы K2 анықтамасымен болды. Штайнберг шеңбердегі Chevalley тобының әмбебап орталық кеңейтулерін зерттеді және осы топтың генераторлар мен қатынастар тұрғысынан нақты ұсынысын берді. Элементарлық матрицалардың En(k) тобының жағдайында, әмбебап орталық кеңейту қазір Stn(k) деп жазылады және Штайнберг тобы деп аталады. 1967 жылдың көктемінде Джон Милнор K2(R) –ді St(R) → E(R) гомоморфизмінің ядросы деп анықтады. K2 тобы K1 және K0 үшін белгілі болған кейбір дәл тізбектерді одан әрі кеңейтті және сандар теориясына таңғажайып қолданыстарға ие болды. Хидэя Мацумотоның 1968 жылғы диссертациясы F өрісі үшін K2(F) –нің изоморфты екенін көрсетті: Бұл қатынас сонымен қатар жергілікті өрістердегі квадраттық теңдеулердің шешілуін білдіретін Хилберт символымен де қанағаттандырылады. Атап айтқанда, Джон Тейт K2(Q) квадралық өзара байланыс заңына негізделгенін дәлелдей алды.

A group closely related to K1 for group rings was earlier introduced by J. H. C. Whitehead. Henri Poincaré had attempted to define the Betti numbers of a manifold in terms of a triangulation. His methods, however, had a serious gap: Poincaré could not prove that two triangulations of a manifold always yielded the same Betti numbers. It was clearly true that Betti numbers were unchanged by subdividing the triangulation, and therefore it was clear that any two triangulations that shared a common subdivision had the same Betti numbers. What was not known was that any two triangulations admitted a common subdivision. This hypothesis became a conjecture known as the Hauptvermutung (roughly "main conjecture"). The fact that triangulations were stable under subdivision led J. H. C. Whitehead to introduce the notion of simple homotopy type. A simple homotopy equivalence is defined in terms of adding simplices or cells to a simplicial complex or cell complex in such a way that each additional simplex or cell deformation retracts into a subdivision of the old space. Part of the motivation for this definition is that a subdivision of a triangulation is simple homotopy equivalent to the original triangulation, and therefore two triangulations that share a common subdivision must be simple homotopy equivalent. Whitehead proved that simple homotopy equivalence is a finer invariant than homotopy equivalence by introducing an invariant called the torsion. The torsion of a homotopy equivalence takes values in a group now called the Whitehead group and denoted Wh(π), where π is the fundamental group of the target complex. Whitehead found examples of non trivial torsion and thereby proved that some homotopy equivalences were not simple. The Whitehead group was later discovered to be a quotient of K1(Zπ), where Zπ is the integral group ring of π. Later John Milnor used Reidemeister torsion, an invariant related to Whitehead torsion, to disprove the Hauptvermutung. The first adequate definition of K1 of a ring was made by Hyman Bass and Stephen Schanuel. In topological K theory, K1 is defined using vector bundles on a suspension of the space. All such vector bundles come from the clutching construction, where two trivial vector bundles on two halves of a space are glued along a common strip of the space. This gluing data is expressed using the general linear group, but elements of that group coming from elementary matrices (matrices corresponding to elementary row or column operations) define equivalent gluings. Motivated by this, the Bass–Schanuel definition of K1 of a ring R is GL(R) / E(R), where GL(R) is the infinite general linear group (the union of all GLn(R)) and E(R) is the subgroup of elementary matrices. They also provided a definition of K0 of a homomorphism of rings and proved that K0 and K1 could be fit together into an exact sequence similar to the relative homology exact sequence. Work in K theory from this period culminated in Bass' book Algebraic K theory. In addition to providing a coherent exposition of the results then known, Bass improved many of the statements of the theorems. Of particular note is that Bass, building on his earlier work with Murthy, provided the first proof of what is now known as the fundamental theorem of algebraic K theory. This is a four term exact sequence relating K0 of a ring R to K1 of R, the polynomial ring R[t], and the localization R[t, t−1]. Bass recognized that this theorem provided a description of K0 entirely in terms of K1. By applying this description recursively, he produced negative K groups K−n(R). In independent work, Max Karoubi gave another definition of negative K groups for certain categories and proved that his definitions yielded that same groups as those of Bass. The next major development in the subject came with the definition of K2. Steinberg studied the universal central extensions of a Chevalley group over a field and gave an explicit presentation of this group in terms of generators and relations. In the case of the group En(k) of elementary matrices, the universal central extension is now written Stn(k) and called the Steinberg group. In the spring of 1967, John Milnor defined K2(R) to be the kernel of the homomorphism St(R) → E(R). The group K2 further extended some of the exact sequences known for K1 and K0, and it had striking applications to number theory. Hideya Matsumoto's 1968 thesis showed that for a field F, K2(F) was isomorphic to:

This relation is also satisfied by the Hilbert symbol, which expresses the solvability of quadratic equations over local fields. In particular, John Tate was able to prove that K2(Q) is essentially structured around the law of quadratic reciprocity.

Жоғары К-топтар

1960 жылдардың соңы мен 1970 жылдардың басында жоғары К-теорияның бірнеше анықтамалары ұсынылды. Сван мен Герстен екеуі де барлық n үшін Kn анықтамасын жасады, ал Герстен олардың теориялары эквивалентті екенін дәлелдеді, бірақ екі теорияның күтілетін барлық қасиеттерді қанағаттандырғаны белгілі болған жоқ. Нобиль мен Вилламайор жоғары К-топтардың анықтамасын да ұсынды. Каруби мен Вилламайор барлық n үшін жақсы қасиеттері бар K-топтарды анықтады, бірақ олардың K1 эквиваленті кейде Bass-Schanuel K1-дің нақты бөлігі болды. Олардың K-топтары қазір KVn деп аталады және K-теорияның гомотопиялық инвариантты модификацияларымен байланысты. Мацумото теоремасынан шабыттанған Милнор өрістің жоғары К-топтарын анықтады. Ол өзінің анықтамасын «таза ad hoc» деп атады, ол барлық сақиналарға жалпыламағаны және өрістердің жоғары К-теориясының дұрыс анықтамасы болып көрінбеді. Бірақ кейін Нестеренко мен Суслин, сондай-ақ Тотаро Милнор К-теориясының нақты К-теорияның тікелей қосындысы екенін анықтады. K-топтарының салмақты сүзгісі бар, ал Милнор К-теориясы K-теорияның ең жоғары салмақты бөлігі болып табылады. Сонымен қатар, Томассон жалпы сорттар үшін Милнор К-теориясының аналогы жоқ екенін анықтады. Жоғары К-теорияның алғашқы, кеңінен қабылданған анықтамасын Дэниел Куиллен берді. Куилленнің топологиядағы Адамс гипотезасы бойынша жұмысының бөлігі ретінде ол BGL(Fq) классификациялық кеңістігінен ψq − 1 гомотопиялық талшығына дейінгі карталарды құрастырды, мұнда ψq – BU классификациялық кеңістігінде әрекет ететін q-шы Адамс операциясы. Бұл карта ациклді, ал BGL(Fq) кеңістігін сәл өзгерткеннен кейін BGL(Fq)+ жаңа кеңістігін жасап, карта гомотопиялық эквиваленттілікке айналды. Бұл өзгеріс плюс конструкциясы деп аталды. Адамс операцияларының Черн кластарымен және К-теориямен байланысы Гротендиктың жұмысынан белгілі болды, сондықтан Куиллен R К-теориясын BGL(R)+ гомотопиялық топтары ретінде анықтауға келді. Бұл K1 және K2-ні қалпына келтіріп қана қоймай, К-теорияның Адамс операцияларымен байланысы Куилленге шекті өрістердің К-топтарын есептеуге мүмкіндік берді. BGL классификациялық кеңістігі байланысты, сондықтан Куилленнің анықтамасы K0 үшін дұрыс мән бермеді. Сонымен қатар, ол теріс К-топтарын бермеді. K0-ның белгілі және қабылданған анықтамасы болғандықтан, бұл қиындықтан қашуға болды, бірақ ол техникалық жағынан қиын болды. Концептуалды түрде мәселе, анықтама классикалық түрде K1 көзі болған GL-ден шыққандығында еді. GL векторлық бундельдерді біріктіру туралы ғана біледі, бірақ векторлық бундельдердің өзі туралы емес, сондықтан ол K0-ны сипаттауға қабілетсіз болды. Куилленмен болған әңгімелерден шабыттанған Сегал көп ұзамай Γ объектілері деген атпен алгебралық К-теорияны құруға басқа тәсіл енгізді. Сегалдың әдісі К0-ның Гротендик құрылысының гомотопиялық аналогы болып табылады. Гротендик бундельдердің изоморфизм кластарымен жұмыс істеген жерде, Сегал бундельдердің өзімен жұмыс істеді және өз деректерінің бөлігі ретінде бундельдердің изоморфизмдерін қолданды. Бұл спектрдің гомотопиялық топтары жоғары К-топтары (оның ішінде K0) болып табылады. Алайда, Сегалдың әдісі тек бөлінген дәл тізбектер үшін ғана қатынастарды таңдай алды, жалпы дәл тізбектер үшін емес. Сақина үстіндегі проекциялық модульдер санатында әрбір қысқа дәл тізбек бөлінеді, сондықтан Γ объектілерін сақинаның К-теориясын анықтау үшін пайдалануға болады. Алайда, сорттағы векторлық бундельдер санатында және сақинадағы барлық модульдер санатында бөлінбеген қысқа дәл тізбектер бар, сондықтан Сегалдың әдісі барлық қызығушылық жағдайларына қолданылмады. 1972 жылдың көктемінде Куиллен жоғары К-теорияны құруға басқа тәсіл тапты, ол өте сәтті болды. Бұл жаңа анықтама нақты категориядан басталды, бұл категория модульдер немесе векторлық бундельдер санаты қанағаттандыратын қасиеттерге ұқсас, бірақ одан сәл әлсіреген белгілі бір формальды қасиеттерді қанағаттандыратын категория. Осыдан ол «Q құрылысы» деп аталатын жаңа құрылғыны қолдана отырып, қосалқы категорияны құрастырды. Сегалдың Γ объектілері сияқты Q құрылысының тамыры Гротендиктың K0 анықтамасынан басталады. Алайда, Гротендиктың анықтамасынан айырмашылығы, Q құрылымы абельдік топ емес, категорияны құрайды, ал Сегалдың Γ объектілерінен айырмашылығы, Q құрылымы қысқа дәл тізбектермен тікелей жұмыс істейді. Егер C – абельдік категория болса, онда QC – C-мен бірдей объектілері бар, бірақ олардың морфизмдері C-дегі қысқа дәл тізбектермен анықталады. Нақты категорияның К-топтары – ΩBQC шеңберлік кеңістігінің гомотопиялық топтары (шеңберлік кеңістікті алу индекстеуді түзетуге көмектеседі). Куиллен сондай-ақ өзінің екі К-теория анықтамасының өзара сәйкес келетінін дәлелдеді. Бұл дұрыс K0-ны берді және қарапайым дәлелдерге әкелді, бірақ теріс К-топтарын бермеді. Барлық абельдік категориялар нақты категориялар болып табылады, бірақ барлық нақты категориялар абельдік емес. Куиллен осы жалпы жағдайда жұмыс істей алғандықтан, ол нақты категорияларды өз дәлелдерінде құрал ретінде пайдалана алды. Бұл техника оған алгебралық К-теорияның негізгі теоремаларын дәлелдеуге мүмкіндік берді. Сонымен қатар, Сван мен Герстеннің ертерек анықтамаларының Куилленнің анықтамасына белгілі жағдайларда эквивалентті екенін дәлелдеуге мүмкіндік берді. К-теория енді сақиналар үшін гомологиялық теория, ал сорттар үшін когомологиялық теория болып көрінді. Алайда, оның негізгі теоремаларының көптеген жағдайларында сақина немесе сорт реттелген болуы керек еді. Күтілетін негізгі қатынастардың бірі – сорт X және ашық жиын U арасындағы байланысты анықтайтын ұзын дәл тізбек («жергіліктілік тізбегі»). Куиллен бұл жергіліктілік тізбегінің толық жалпылықта бар екенін дәлелдей алмады. Алайда, ол G-теориясы (немесе кейде K′-теориясы) деп аталатын туыс теория үшін оның бар екенін дәлелдеді. G-теориясы Гротендикпен пәннің дамуының басында анықталған. Гротендик X сорты үшін G0(X)-ты X-тағы когерентті қабаттардың изоморфизм кластарының бос абельдік тобы ретінде анықтады, когерентті қабаттардың дәл тізбектерінен туындаған қатынастармен. Кейінгі авторлар қабылдаған категориялық аяда сорттың К-теориясы оның векторлық бундельдер санатының К-теориясы болып табылады, ал оның G-теориясы – оның когерентті қабаттар санатының К-теориясы болып табылады. Куиллен G-теориясы үшін жергіліктілік дәл тізбегінің бар екенін дәлелдей алды, сондай-ақ реттелген сақина немесе сорт үшін К-теориясы G-теориясына тең екенін, сондықтан реттелген сорттардың К-теориясы жергіліктілік дәл тізбегіне ие. Бұл тізбек пәннің көптеген фактілері үшін негізгі болғандықтан, реттелгендік гипотезалары жоғары К-теорияның ертерек жұмысында кең таралған.

In the late 1960s and early 1970s, several definitions of higher K theory were proposed. Swan and Gersten both produced definitions of Kn for all n, and Gersten proved that his and Swan's theories were equivalent, but the two theories were not known to satisfy all the expected properties. Nobile and Villamayor also proposed a definition of higher K groups. Karoubi and Villamayor defined well behaved K groups for all n, but their equivalent of K1 was sometimes a proper quotient of the Bass–Schanuel K1. Their K groups are now called KVn and are related to homotopy invariant modifications of K theory. Inspired in part by Matsumoto's theorem, Milnor made a definition of the higher K groups of a field. He referred to his definition as "purely ad hoc", and it neither appeared to generalize to all rings nor did it appear to be the correct definition of the higher K theory of fields. Much later, it was discovered by Nesterenko and Suslin and by Totaro that Milnor K theory is actually a direct summand of the true K theory of the field. Specifically, K groups have a filtration called the weight filtration, and the Milnor K theory of a field is the highest weight graded piece of the K theory. Additionally, Thomason discovered that there is no analog of Milnor K theory for a general variety. The first definition of higher K theory to be widely accepted was Daniel Quillen's. As part of Quillen's work on the Adams conjecture in topology, he had constructed maps from the classifying spaces BGL(Fq) to the homotopy fiber of ψq − 1, where ψq is the qth Adams operation acting on the classifying space BU. This map is acyclic, and after modifying BGL(Fq) slightly to produce a new space BGL(Fq)+, the map became a homotopy equivalence. This modification was called the plus construction. The Adams operations had been known to be related to Chern classes and to K theory since the work of Grothendieck, and so Quillen was led to define the K theory of R as the homotopy groups of BGL(R)+. Not only did this recover K1 and K2, the relation of K theory to the Adams operations allowed Quillen to compute the K groups of finite fields. The classifying space BGL is connected, so Quillen's definition failed to give the correct value for K0. Additionally, it did not give any negative K groups. Since K0 had a known and accepted definition it was possible to sidestep this difficulty, but it remained technically awkward. Conceptually, the problem was that the definition sprung from GL, which was classically the source of K1. Because GL knows only about gluing vector bundles, not about the vector bundles themselves, it was impossible for it to describe K0. Inspired by conversations with Quillen, Segal soon introduced another approach to constructing algebraic K theory under the name of Γ objects. Segal's approach is a homotopy analog of Grothendieck's construction of K0. Where Grothendieck worked with isomorphism classes of bundles, Segal worked with the bundles themselves and used isomorphisms of the bundles as part of his data. This results in a spectrum whose homotopy groups are the higher K groups (including K0). However, Segal's approach was only able to impose relations for split exact sequences, not general exact sequences. In the category of projective modules over a ring, every short exact sequence splits, and so Γ objects could be used to define the K theory of a ring. However, there are non split short exact sequences in the category of vector bundles on a variety and in the category of all modules over a ring, so Segal's approach did not apply to all cases of interest. In the spring of 1972, Quillen found another approach to the construction of higher K theory which was to prove enormously successful. This new definition began with an exact category, a category satisfying certain formal properties similar to, but slightly weaker than, the properties satisfied by a category of modules or vector bundles. From this he constructed an auxiliary category using a new device called his "Q construction." Like Segal's Γ objects, the Q construction has its roots in Grothendieck's definition of K0. Unlike Grothendieck's definition, however, the Q construction builds a category, not an abelian group, and unlike Segal's Γ objects, the Q construction works directly with short exact sequences. If C is an abelian category, then QC is a category with the same objects as C but whose morphisms are defined in terms of short exact sequences in C. The K groups of the exact category are the homotopy groups of ΩBQC, the loop space of the geometric realization (taking the loop space corrects the indexing). Quillen additionally proved his " theorem" that his two definitions of K theory agreed with each other. This yielded the correct K0 and led to simpler proofs, but still did not yield any negative K groups. All abelian categories are exact categories, but not all exact categories are abelian. Because Quillen was able to work in this more general situation, he was able to use exact categories as tools in his proofs. This technique allowed him to prove many of the basic theorems of algebraic K theory. Additionally, it was possible to prove that the earlier definitions of Swan and Gersten were equivalent to Quillen's under certain conditions. K theory now appeared to be a homology theory for rings and a cohomology theory for varieties. However, many of its basic theorems carried the hypothesis that the ring or variety in question was regular. One of the basic expected relations was a long exact sequence (called the "localization sequence") relating the K theory of a variety X and an open subset U. Quillen was unable to prove the existence of the localization sequence in full generality. He was, however, able to prove its existence for a related theory called G theory (or sometimes K′ theory). G theory had been defined early in the development of the subject by Grothendieck. Grothendieck defined G0(X) for a variety X to be the free abelian group on isomorphism classes of coherent sheaves on X, modulo relations coming from exact sequences of coherent sheaves. In the categorical framework adopted by later authors, the K theory of a variety is the K theory of its category of vector bundles, while its G theory is the K theory of its category of coherent sheaves. Not only could Quillen prove the existence of a localization exact sequence for G theory, he could prove that for a regular ring or variety, K theory equaled G theory, and therefore K theory of regular varieties had a localization exact sequence. Since this sequence was fundamental to many of the facts in the subject, regularity hypotheses pervaded early work on higher K theory.

Алгебралық К-теорияның топологиядағы қолданылуы

Алгебралық K теориясының топологияға алғашқы қолданылуы Уайтхедтің Уайтхед бұрылысын құруы болды. 1963 жылы C. T. C. Wall осыған ұқсас құрылысты тапты. Уолл шекті кешеннің үстемдік еткен X кеңістігінде жалпыланған Эйлер сипаты бар екенін анықтады, онда π кеңістіктің негізгі тобы болып табылады. Бұл инвариант Уоллдың шектілік кедергісі деп аталады, өйткені X хомотопиясы шекті кешенге тең, егер және тек егер инвариант жоғалса. Лоран Сибенман өзінің диссертациясында Уоллге ұқсас инвариантты тапты, ол ашық көптүрлілікке кедергі келтіреді, бұл шекарасы бар тығыз көптүрліліктің ішкі бөлігі. Егер шекарасы M және N екі көптікке тең болса, онда олардың арасындағы изоморфизм M және N арасындағы h кобордизмді анықтайды. Уайтхед бұрылысы ақырында тікелей K теориялық түрде қайта түсіндірілді. Бұл қайта түсіндіру h кобордизмдерді зерттеу арқылы болды. Екі n өлшемді көптік M және N h кобордантты болып табылады, егер (n + 1) өлшемді көптік W бар болса, оның шекарасы M және N-дің ажыратылған одағы болып табылады және ол үшін M және N-дің W-ге кіруі гомотопиялық балама болып табылады (TOP, PL немесе DIFF санаттарында). Стивен Смелдің h кобордизм теоремасы n ≥ 5, W компактты, ал M, N және W жай ғана қосылған болса, онда W цилиндр M × [0, 1] (TOP, PL немесе DIFF сәйкес) изоморфты деп мәлімдеді. Бұл теорема n ≥ 5 үшін Пуанкаре болжамын дәлелдеді. Егер M және N жай ғана қосылған деп есептелмесе, онда h кобордизм цилиндр болуы қажет емес. Мазур, Сталлингс және Барденге тәуелсіз түрде берілген s кобордизм теоремасы жалпы жағдайды түсіндіреді: h кобордизм цилиндр болып табылады, егер және тек егер M-нің W-ге кіруінің Уайтхед бұрылысы жоғалса. Бұл h кобордизм теоремасын жалпылайды, өйткені қарапайым байланыстық гипотезалар тиісті Уайтхед тобының тривиалды екенін білдіреді. Шын мәнінде s кобордизм теоремасы h кобордизмдердің изоморфизмдер кластары мен Уайтхед тобының элементтері арасында біжективті сәйкестік бар екенін білдіреді. h кобордизмдердің болуымен байланысты анық сұрақ олардың бірегейлігі болып табылады. Теңдестіктің табиғи ұғымы - изотопия. Жан Серф кем дегенде 5 өлшемді M жай байланысқан тегіс көптүрлілік үшін h кобордизмдерінің изотопиясы псевдоизотопия деп аталатын әлсіз ұғыммен бірдей екенін дәлелдеді. Хатчер мен Вагонер псевдоизотоптар кеңістігінің компоненттерін зерттеді және оны K2(Zπ) коэффициентіне байланыстырды. s кобордизм теоремасы үшін дұрыс контекст h кобордизмдердің жіктелетін кеңістігі болып табылады. Егер M - КАТ көптүрлілігі болса, онда HCAT(M) - бұл M-дегі h кобордизмдер бундельдерін жіктейтін кеңістік. s кобордизм теоремасы осы кеңістіктің байланысқан компоненттер жиынтығы π1(M) -нің Уайтхед тобы деп қайта түсіндірілуі мүмкін. Бұл кеңістік Уайтхед тобына қарағанда қатаң түрде көп ақпаратты қамтиды; мысалы, тривиалды кобордтық байланысқан компонент М-дегі ықтимал цилиндрлерді сипаттайды және атап айтқанда, көптүсті мен M × [0, 1] арасындағы гомотопияның бірегейлігіне кедергі келтіреді. Бұл сұрақтарды қарастыру Валдхаузенге алгебралық K теориясын енгізуге мүмкіндік берді. M-нің алгебралық K теориясы - бұл A(M) кеңістігі, ол жоғары K топтары үшін K1(Zπ1(M)) M үшін бірдей рөл атқарады. Атап айтқанда, Вальдхаузен A(M)-ден Wh(M) кеңістігіне карта бар екенін көрсетті, ол K1(Zπ1(M)) → Wh(π1(M)) картасын жалпылайды және оның гомотопиялық талшығы гомология теориясы болып табылады. А теориясын толықтай дамыту үшін Валдхаузен K теориясының негіздерінде маңызды техникалық жетістіктерге қол жеткізді. Вальдхаузен Вальдхаузен категорияларын енгізді, ал Вальдхаузен категориясы C үшін ол С-те кофибрациялардың тізбегі тұрғысынан анықталған S⋅C (S Segal үшін) қарапайым категориясын енгізді. Бұл K теориясының негіздерін дәл реттіліктердің аналогтарын шақыру қажеттілігінен босатты.

The earliest application of algebraic K theory to topology was Whitehead's construction of Whitehead torsion. A closely related construction was found by C. T. C. Wall in 1963. Wall found that a space X dominated by a finite complex has a generalized Euler characteristic taking values in a quotient of K0(Zπ), where π is the fundamental group of the space. This invariant is called Wall's finiteness obstruction because X is homotopy equivalent to a finite complex if and only if the invariant vanishes. Laurent Siebenmann in his thesis found an invariant similar to Wall's that gives an obstruction to an open manifold being the interior of a compact manifold with boundary. If two manifolds with boundary M and N have isomorphic interiors (in TOP, PL, or DIFF as appropriate), then the isomorphism between them defines an h cobordism between M and N.

Whitehead torsion was eventually reinterpreted in a more directly K theoretic way. This reinterpretation happened through the study of h cobordisms. Two n dimensional manifolds M and N are h cobordant if there exists an (n + 1) dimensional manifold with boundary W whose boundary is the disjoint union of M and N and for which the inclusions of M and N into W are homotopy equivalences (in the categories TOP, PL, or DIFF). Stephen Smale's h cobordism theorem asserted that if n ≥ 5, W is compact, and M, N, and W are simply connected, then W is isomorphic to the cylinder M × [0, 1] (in TOP, PL, or DIFF as appropriate). This theorem proved the Poincaré conjecture for n ≥ 5. If M and N are not assumed to be simply connected, then an h cobordism need not be a cylinder. The s cobordism theorem, due independently to Mazur, Stallings, and Barden, explains the general situation: An h cobordism is a cylinder if and only if the Whitehead torsion of the inclusion M ⊂ W vanishes. This generalizes the h cobordism theorem because the simple connectedness hypotheses imply that the relevant Whitehead group is trivial. In fact the s cobordism theorem implies that there is a bijective correspondence between isomorphism classes of h cobordisms and elements of the Whitehead group. An obvious question associated with the existence of h cobordisms is their uniqueness. The natural notion of equivalence is isotopy. Jean Cerf proved that for simply connected smooth manifolds M of dimension at least 5, isotopy of h cobordisms is the same as a weaker notion called pseudo isotopy. Hatcher and Wagoner studied the components of the space of pseudo isotopies and related it to a quotient of K2(Zπ). The proper context for the s cobordism theorem is the classifying space of h cobordisms. If M is a CAT manifold, then HCAT(M) is a space that classifies bundles of h cobordisms on M. The s cobordism theorem can be reinterpreted as the statement that the set of connected components of this space is the Whitehead group of π1(M). This space contains strictly more information than the Whitehead group; for example, the connected component of the trivial cobordism describes the possible cylinders on M and in particular is the obstruction to the uniqueness of a homotopy between a manifold and M × [0, 1]. Consideration of these questions led Waldhausen to introduce his algebraic K theory of spaces. The algebraic K theory of M is a space A(M) which is defined so that it plays essentially the same role for higher K groups as K1(Zπ1(M)) does for M. In particular, Waldhausen showed that there is a map from A(M) to a space Wh(M) which generalizes the map K1(Zπ1(M)) → Wh(π1(M)) and whose homotopy fiber is a homology theory. In order to fully develop A theory, Waldhausen made significant technical advances in the foundations of K theory. Waldhausen introduced Waldhausen categories, and for a Waldhausen category C he introduced a simplicial category S⋅C (the S is for Segal) defined in terms of chains of cofibrations in C. This freed the foundations of K theory from the need to invoke analogs of exact sequences.

Алгебралық К-теориядағы алгебралық топология және алгебралық геометрия

Квиллен өзінің студенті Кеннет Браунға К-теориясы мысал бола алатын спектрлердің теориясын жасау мүмкін екенін ұсынды. К-теориясының спектрлік жиыны әртүрліліктің әрбір ашық ішкі жиынына сол ашық ішкі жиынның К-теориясын сәйкестендіреді. Браун өзінің диссертациясында мұндай теорияны жасады. Сонымен қатар Герстеннің де осындай ойы болды. 1972 жылдың күзінде Сиэтлде өткен конференцияда олар бірлесіп X-тегі Kn топтарының жиынынан кохомологияға жинақталатын спектрлік тізбекені тапты. Бұл қазір Браун-Герстен спектрлік тізбегі деп аталады. Спенсер Блох Герстеннің К-топтарының жиындары бойынша жұмысына ықпал етіп, тұрақты бетте кохомология тобы X-тегі кодименсиясы 2 циклдердің Чов тобы CH2(X)-ке изоморфты екенін дәлелдеді. Осыдан шабыттанған Герстен F фракциялық өрісі бар R тұрақты жергілікті сақинасы үшін Kn(R) барлық n үшін Kn(F)-ке енгізіледі деп болжады. Біраз уақыттан кейін Квилен бұл R өріс қамтитын болса, шын екенін дәлелдеді және оны пайдаланып, ол барлық p үшін дәлелдеді. Бұл Блох формуласы деп аталады. Герстеннің болжамы бойынша прогресс болғанымен, жалпы жағдай ашық күйінде қалады. Лихтенбаум сандық өрістің дзета-функциясының ерекше мәндері өрістің бүтін сандарының сақинасының К-топтары арқылы өрнектелуі мүмкін деп болжады. Бұл ерекше мәндер бүтін сандар сақинасының этальдік кохомологиясымен байланысты екені белгілі болды. Сондықтан Квилен Лихтенбаумның болжамын жалпылап, топологиялық К-теориясындағы Атиях-Хирцебрух спектрлік тізбектері сияқты спектрлік тізбектің болуын болжады. Квиленнің ұсынған спектрлік тізбегі R сақинасының этальдік кохомологиясынан басталады және жеткілікті жоғары дәрежеде және R-де бірінші l инвертибелді аяқтағаннан кейін R-дің K-теориясының l-адық аяқталуына жетеді. Лихтенбаум зерттеген жағдайда спектрлік тізбек дегенерацияланады, бұл Лихтенбаумның болжамдарына әкеледі. Басты l-ге локализациялау қажеттілігі Браудерге K-теориясының шекті коэффициенттері бар нұсқасы болуы керек деп ұсынды. Ол K-теориясы топтарын Kn(R; Z/lZ) енгізді, олар Z/lZ векторлық кеңістіктері болды, және ол топологиялық K-теориясында Ботт элементінің аналогын тапты. Суль бұл теорияны "этальдық Черн кластарын" құру үшін қолданды, ол топологиялық Черн кластарының аналогы, ал алгебралық K-теориясының элементтерін этальдік кохомология кластарына қабылдады. Алгебралық K-теориясынан айырмашылығы, этальдік кохомология өте есептелетін, сондықтан этальдық Черн кластары K-теориясындағы элементтердің бар екенін анықтау үшін тиімді құрал болды. Уильям Г. Дуйер және Эрик Фридландер K-теориясының этальдік топологияға арналған аналогын ойлап тапты. Комплексті сандар үстінде анықталған сорттар үшін этальдық K-теориясы топологиялық K-теориясына изоморфты болып табылады. Сонымен қатар, этальдық K-теориясы Квиленнің болжамына ұқсас спектрлік тізбекті қабылдады. Томассон 1980 жылдары Ботт элементін кері қайтарудан кейін шекті коэффициенттері бар алгебралық K-теориясы этальдық K-теориясына изоморфты екенін дәлелдеді. 1970 жылдар мен 1980 жылдардың басында синглярлық сорттардағы K-теориясының әлі де жеткілікті негізі болмады. Квиленнің K-теориясы дұрыс топтарды берді деп есептелгенімен, бұл топтардың барлық қарастырылған қасиеттері бар екені белгісіз болды. Бұл үшін алгебралық K-теориясын қайта құру қажет болды. Мұны Томассон өзінің қайтыс болған досы Томас Тробоға қоса берген ұзақ монографиясында жасады, ол оған түсінде негізгі идея берді. Томассон Вальдхаузеннің K-теориясын құруын Гротендиктің "Алгебралық геометрия семинары" 6-томында сипатталған қиылысу теориясының негіздерімен біріктірді. Онда K0 алгебралық сорттардағы түйірлердің кешені ретінде сипатталды. Томассон егер ол жинақталған топтардың туынды санатымен жұмыс істесе, онда жинақталған топтардың кешенін сорттың ашық ішкі жиынынан бүкіл сортқа дейін кеңейтудің қарапайым сипаттамасы бар екенін анықтады. Вальдхаузеннің K-теориясының құрылымын туынды санаттарға қолдану арқылы Томассон алгебралық K-теориясының кохомология теориясының барлық күтілетін қасиеттеріне ие екенін дәлелдеді. 1976 жылы Кит Деннис Хохшильд гомологиясына негізделген K-теориясын есептеудің жаңа әдісін тапты. Бұл Денистің із картасының, K-теориясынан Хохшильд гомологиясына гомоморфизмнің болуымен байланысты. Денистің із картасы K-теориясының шекті коэффициенттерімен есептер үшін сәтті болып көрінсе, рационалды есептеулер үшін сәтті емес еді. Гудвилли өзінің "функторларды есептеу" арқылы К-теориясы мен Хохшильд гомологиясының аралық теориясының бар екендігін болжады. Ол бұл теорияны топологиялық Хохшильд гомологиясы деп атады, өйткені оның негізгі сақинасы сфералық спектр болуы керек (операциялары тек гомотопияға дейін анықталған сақина ретінде қарастырылады). 1980 жылдардың ортасында Бокштедт Гудвиллидің болжамдық қасиеттерінің барлығына дерлік қанағаттандыратын топологиялық Хохшильд гомологиясының анықтамасын берді, бұл K-топтарының одан әрі есептелуіне мүмкіндік берді. Бокштедттың Денистің із картасының нұсқасы K → THH спектрлік трансформациясы болды. Бұл трансформация THH-дегі шеңберлік әрекеттің тұрақтандыруы арқылы өтеді, бұл циклі гомологиямен байланысқа нұсқауда. Алгебралық K-теориясының Новиков болжамының аналогын дәлелдеу барысында Бокштедт, Хсианг және Мадсен топологиялық циклі гомологияны енгізді, ол топологиялық Хохшильд гомологиясына циклі гомологияның Хохшильд гомологиясына қатынасымен ұқсас болды. Топологиялық Хохшильд гомологиясына Денистің із картасы топологиялық циклі гомология арқылы өтеді, бұл есептеулер үшін одан да егжей-тегжейлі құралды қамтамасыз етеді. 1996 жылы Дандас, Гудвилли және Маккарти топологиялық циклі гомологияның нақты мағынада алгебралық K-теориясымен бірдей жергілікті құрылымы бар екенін дәлелдеді, сондықтан егер K-теориясы немесе топологиялық циклі гомологияда есептеу мүмкін болса, онда көптеген басқа "жақын" есептеулер одан кейін келеді.

Quillen suggested to his student Kenneth Brown that it might be possible to create a theory of sheaves of spectra of which K theory would provide an example. The sheaf of K theory spectra would, to each open subset of a variety, associate the K theory of that open subset. Brown developed such a theory for his thesis. Simultaneously, Gersten had the same idea. At a Seattle conference in autumn of 1972, they together discovered a spectral sequence converging from the sheaf cohomology of , the sheaf of Kn groups on X, to the K group of the total space. This is now called the Brown–Gersten spectral sequence. Spencer Bloch, influenced by Gersten's work on sheaves of K groups, proved that on a regular surface, the cohomology group is isomorphic to the Chow group CH2(X) of codimension 2 cycles on X. Inspired by this, Gersten conjectured that for a regular local ring R with fraction field F, Kn(R) injects into Kn(F) for all n. Soon Quillen proved that this is true when R contains a field, and using this he proved that

for all p. This is known as Bloch's formula. While progress has been made on Gersten's conjecture since then, the general case remains open. Lichtenbaum conjectured that special values of the zeta function of a number field could be expressed in terms of the K groups of the ring of integers of the field. These special values were known to be related to the étale cohomology of the ring of integers. Quillen therefore generalized Lichtenbaum's conjecture, predicting the existence of a spectral sequence like the Atiyah–Hirzebruch spectral sequence in topological K theory. Quillen's proposed spectral sequence would start from the étale cohomology of a ring R and, in high enough degrees and after completing at a prime l invertible in R, abut to the l adic completion of the K theory of R. In the case studied by Lichtenbaum, the spectral sequence would degenerate, yielding Lichtenbaum's conjecture. The necessity of localizing at a prime l suggested to Browder that there should be a variant of K theory with finite coefficients. He introduced K theory groups Kn(R; Z/lZ) which were Z/lZ vector spaces, and he found an analog of the Bott element in topological K theory. Soule used this theory to construct "étale Chern classes", an analog of topological Chern classes which took elements of algebraic K theory to classes in étale cohomology. Unlike algebraic K theory, étale cohomology is highly computable, so étale Chern classes provided an effective tool for detecting the existence of elements in K theory. William G. Dwyer and Eric Friedlander then invented an analog of K theory for the étale topology called étale K theory. For varieties defined over the complex numbers, étale K theory is isomorphic to topological K theory. Moreover, étale K theory admitted a spectral sequence similar to the one conjectured by Quillen. Thomason proved around 1980 that after inverting the Bott element, algebraic K theory with finite coefficients became isomorphic to étale K theory. Throughout the 1970s and early 1980s, K theory on singular varieties still lacked adequate foundations. While it was believed that Quillen's K theory gave the correct groups, it was not known that these groups had all of the envisaged properties. For this, algebraic K theory had to be reformulated. This was done by Thomason in a lengthy monograph which he co credited to his dead friend Thomas Trobaugh, who he said gave him a key idea in a dream. Thomason combined Waldhausen's construction of K theory with the foundations of intersection theory described in volume six of Grothendieck's Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. There, K0 was described in terms of complexes of sheaves on algebraic varieties. Thomason discovered that if one worked with in derived category of sheaves, there was a simple description of when a complex of sheaves could be extended from an open subset of a variety to the whole variety. By applying Waldhausen's construction of K theory to derived categories, Thomason was able to prove that algebraic K theory had all the expected properties of a cohomology theory. In 1976, Keith Dennis discovered an entirely novel technique for computing K theory based on Hochschild homology. This was based around the existence of the Dennis trace map, a homomorphism from K theory to Hochschild homology. While the Dennis trace map seemed to be successful for calculations of K theory with finite coefficients, it was less successful for rational calculations. Goodwillie, motivated by his "calculus of functors", conjectured the existence of a theory intermediate to K theory and Hochschild homology. He called this theory topological Hochschild homology because its ground ring should be the sphere spectrum (considered as a ring whose operations are defined only up to homotopy). In the mid 1980s, Bokstedt gave a definition of topological Hochschild homology that satisfied nearly all of Goodwillie's conjectural properties, and this made possible further computations of K groups. Bokstedt's version of the Dennis trace map was a transformation of spectra K → THH. This transformation factored through the fixed points of a circle action on THH, which suggested a relationship with cyclic homology. In the course of proving an algebraic K theory analog of the Novikov conjecture, Bokstedt, Hsiang, and Madsen introduced topological cyclic homology, which bore the same relationship to topological Hochschild homology as cyclic homology did to Hochschild homology. The Dennis trace map to topological Hochschild homology factors through topological cyclic homology, providing an even more detailed tool for calculations. In 1996, Dundas, Goodwillie, and McCarthy proved that topological cyclic homology has in a precise sense the same local structure as algebraic K theory, so that if a calculation in K theory or topological cyclic homology is possible, then many other "nearby" calculations follow.

Төменгі К-топтар

Төменгі K топтары бірінші болып табылды және оларға түрліше уақытша сипаттамалар берілді, олар қазірге дейін қолданылуда. Барлық жерде A - сақина болсын.

Орталық қарапайым алгебралар

F өрісі бойынша орталық қарапайым алгебра A жағдайында, кемітілген норма детерминанттың жалпыламасы болып табылады, K1(A) → F∗ картасын береді және SK1(A) ядро ретінде анықталады. Ван теоремасы бойынша, егер A-ның дәрежесі жай сан болса, онда SK1(A) тривиалды болады, және бұл жағдай квадратсыз дәрежеге дейін жалғастырылуы мүмкін. Ван сондай-ақ, SK1(A) сандық өрістегі кез келген орталық қарапайым алгебра үшін тривиалды екенін көрсетті, бірақ Платонов SK1(A)-ның тривиалды емес, жай санның квадратына тең дәрежелі алгебралардың мысалдарын келтірді. K2(Q) есептеуі қиын: Тейт дәлелдеді және дәлелдеу Гаустың Квадраттық Өзара байланыс заңының бірінші дәлеліне ұқсас екенін атап өтті. Архимед емес жергілікті өрістер үшін K2(F) тобы, мысалы, m реттік шекті циклдік топтың және K2(F)m бөлінетін топтың тікелей қосындысы болып табылады.

Бізде K2(Z) = Z/2 және, жалпы алғанда, K2 сандық өрістің бүтін сандарының сақинасы үшін шекті. Сондай-ақ, егер n 4-ке бөлінсе, K2(Z/n) = Z/2, ал әйтпесе нөл болады.

Жұптастыру

K1-де K2-дегі мәндермен жұптасу бар. А алгебрасы бойынша X және Y коммутациялық матрицаларын қарастыра отырып, Штейнберг тобындағы x және y элементтерін X пен Y-тің бейнелері ретінде алыңыз. Коммутатор K2-нің элементі болып табылады. Бұл бейнелеу әрқашан сюръективті емес.

Жоғары К-теориясы

Жоғары К топтарының қабылданған анықтамалары бірнеше жылдар бойы әртүрлі үйлеспейтін анықтамалар ұсынылғаннан кейін берілді. Бағдарламаның мақсаты K(R) және K(R,I) анықтамаларын жіктеу кеңістіктері арқылы табу болды, сонда R ⇒ K(R) және (R,I) ⇒ K(R,I) кеңістіктердің гомотопиялық санатына функционалдар болып табылады, ал салыстырмалы К топтары үшін ұзақ дәл рет K(R,I) → K(R) → K(R/I) фибрациясының ұзақ дәл гомотопиялық реті ретінде туындайды. Квиллен екі конструкция берді: "плюс конструкциясы" және "Q конструкциясы", соңғысы кейіннен әртүрлі тәсілдермен өзгертілді. Екі конструкция да бірдей К топтарын береді.

S-құрылымы

K теориялық топтардың үшінші құрылысы – Валдхаузенге тиесілі S құрылысы. Ол кофибрациялары бар категорияларға (сонымен қатар Валдхаузен категориялары деп те аталады) қолданылады. Бұл нақты категориялардан артық жалпы ұғым.

Мысалдар

Квиленнің алгебралық K теориясы алгебралық геометрия мен топологияның түрлі салаларына терең түсініктер сыйлағанмен, K топтарын есептеу, кейбір жеке және қызықты жағдайларды қоспағанда, өте қиын болып келеді. (Сонымен қатар қараңыз: Даланың K топтары.)

Тік сандар сақиналарының алгебралық K-топтары

Квиллен егер A алгебралық сандар өрісі F-тың (рационалдардың шекті кеңейтілуі) алгебралық бүтін сандар сақинасы болса, онда A-ның алгебралық K-топтары шекті түрде туындайды деп дәлелдеді. Арман Борель бұны Ki(A) және Ki(F) топтарын бұрылыс бойынша есептеу үшін пайдаланды. Мысалы, Z бүтін сандары үшін Борель (бұрылыс бойынша) Ki(Z)/tors.=0, оң i үшін, i=4k+1 болғанда, k оң сан; K4k+1(Z)/tors.= Z, оң k үшін. K2i+1(Z) топтарының бұрылыс кіші топтары және K4k+2(Z) шекті топтарының реті жақында анықталды, бірақ соңғы топтардың циклдік болуы және K4k(Z) топтарының жоғалуы циклотомиялық бүтін сандардың класс тобы туралы Вандивердің болжамына байланысты. Толығырақ ақпарат алу үшін Quillen–Lichtenbaum болжамын қараңыз.

Тарихи сілтемелер

Бокштедт, М., Топологиялық Хокшильд гомологиясы. Алдын ала басып шығару, Билефельд, 1986. Бокштедт, М., Хсян, В. С., Мадсен, И., Циклотомиялық із және кеңістіктердің алгебралық K теориясы. Invent. Math., 111(3) (1993), 465–539. Браун, К., Герстен, С., Алгебралық K теориясы жалпыланған бутақ кохомологиясы ретінде, Алгебралық K теориясы I, Математикадағы лекция жазбалары, том 341, Springer Verlag, 1973, 266–292 беттер. Деннис, Р. К., Жоғары алгебралық K теориясы және Хокшильд гомологиясы, жарияланбаған препринт (1976). Гротендик, Александр, Фазелялар класы және Риман–Рох теоремасы, мимеографиялық жазбалар, Принстон, 1957. Милнор, Дж., Алгебралық K теориясына кіріспе, Принстон университеті баспасы, 1971. Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K théorie algebrique, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4-ші серия, 1, № 3, 1968, 581–616. Квиллен, Даниэль, Топтардың кохомологиясы, ICM Nice 1970 материалдары, том 2, Gauthier Villars, Париж, 1971, 47–52. Квиллен, Даниэль, Жоғары алгебралық K теориясы I, Алгебралық K теориясы I, Математикадағы лекция жазбалары, том 341, Springer Verlag, 1973, 85–147. Квиллен, Даниэль, Жоғары алгебралық K теориясы, Халықаралық математикалық конгресс материалдары, Ванкувер, 1974, том 1, Canad. Math. Soc., 1975, 171–176 беттер. Сибенман, Ларри, Бес өлшемнен үлкен ашық көпқырлы үшін шекара табуға кедергі, Дипломдық жұмыс, Принстон университеті, 1965. Steinberg, R., Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques, Colloq. Théorie des Groupes Algébriques, Gauthier Villars, Париж, 1962, 113–127 беттер. (Француз тілінде) Сван, Ричард, Нонабелий гомологиялық алгебра және K теориясы, Proc. Sympos. Pure Math., том 17, 1970, 88–123 беттер. Томассон, Р. В., Алгебралық K теориясы және этальдік кохомология, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 18, 4-ші серия (1985), 437–552; түзеу 22 (1989), 675–677. Томассон, Р. В., Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K théorie de Milnor globale, Topology 31, № 3, 1992, 571–588. Валдхаузен, Ф., Топологиялық кеңістіктердің алгебралық K теориясы. I, Алгебралық және геометриялық топология (Proc. Sympos. Pure Math., Стэнфорд университеті, Стэнфорд, Калифорния, 1976), 1-бөлім, 35–60 беттер, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Провиденс, Р. И., 1978. Валдхаузен, Ф., Кеңістіктердің алгебралық K теориясы, Алгебралық және геометриялық топология (Нью-Брансуик, Н. Дж., 1983), Математикадағы лекциялық жазбалар, том 1126 (1985), 318–419.

Bokstedt, M., Topological Hochschild homology. Preprint, Bielefeld, 1986. Bokstedt, M., Hsiang, W. C., Madsen, I., The cyclotomic trace and algebraic K theory of spaces. Invent. Math., 111(3) (1993), 465–539. Brown, K., Gersten, S., Algebraic K theory as generalized sheaf cohomology, Algebraic K theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, pp. 266–292. Dennis, R. K., Higher algebraic K theory and Hochschild homology, unpublished preprint (1976). Grothendieck, Alexander, Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann–Roch, mimeographed notes, Princeton 1957. Milnor, J., Introduction to Algebraic K theory, Princeton Univ. Press, 1971. Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K theorie algebrique, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4e serie, 1, no. 3, 1968, 581–616. Quillen, Daniel, Cohomology of groups, Proc. ICM Nice 1970, vol. 2, Gauthier Villars, Paris, 1971, 47–52. Quillen, Daniel, Higher algebraic K theory I, Algebraic K theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147. Quillen, Daniel, Higher algebraic K theory, Proc. Intern. Congress Math., Vancouver, 1974, vol. I, Canad. Math. Soc., 1975, pp. 171–176. Siebenmann, Larry, The Obstruction to Finding a Boundary for an Open Manifold of Dimension Greater than Five, Thesis, Princeton University (1965). Steinberg, R., Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques, ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier Villars, Paris, 1962, pp. 113–127. (French)
Swan, Richard, Nonabelian homological algebra and K theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XVII, 1970, pp. 88–123. Thomason, R. W., Algebraic K theory and étale cohomology, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 18, 4e serie (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677. Thomason, R. W., Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K theorie de Milnor globale, Topology 31, no. 3, 1992, 571–588. Waldhausen, F., Algebraic K theory of topological spaces. I, in Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, pp. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978. Waldhausen, F., Algebraic K theory of spaces, in Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N. J., 1983), Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126 (1985), 318–419.