Алгебраическая K-теория: Обзор и История

Введение

Область математики

Алгебраическая K-теория — это область математики, связанная с геометрией, топологией, теорией колец и теорией чисел. Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам сопоставляются объекты, называемые K-группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры. Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но вычисление их известно своей сложностью; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K-групп целых чисел. K-теория была открыта в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений на алгебраических многообразиях. В современной терминологии Гротендик определил только K₀, нулевую K-группу, но даже эта единственная группа имеет множество применений, таких как теорема Гротендика — Римана — Роха. Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K-теории благодаря ее связи с мотивной когомологией и, в частности, группами Чоу. Эта область также включает в себя классические темы теории чисел, такие как квадратичная взаимность и вложения числовых полей в вещественные и комплексные числа, а также более современные вопросы, такие как построение высших регуляторов и особые значения L-функций. Нижние K-группы были открыты первыми, в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F — поле, то K₀(F) изоморфна целым числам Z и тесно связана с понятием размерности векторного пространства. Для коммутативного кольца R группа K₀(R) связана с группой Пикара R, и когда R является кольцом целых чисел в числовом поле, это обобщает классическое построение группы классов. Группа K₁(R) тесно связана с группой единиц R×, и если R — поле, то она является именно группой единиц. Для числового поля F группа K₂(F) связана с теорией классовых полей, символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений по завершениям. Напротив, поиск правильного определения высших K-групп колец был сложным достижением Дэниела Квиллена, и многие из основных фактов о высших K-группах алгебраических многообразий были неизвестны до работ Роберта Томасона.

Algebraic K theory is a subject area in mathematics with connections to geometry, topology, ring theory, and number theory. Geometric, algebraic, and arithmetic objects are assigned objects called K groups. These are groups in the sense of abstract algebra. They contain detailed information about the original object but are notoriously difficult to compute; for example, an important outstanding problem is to compute the K groups of the integers. K theory was discovered in the late 1950s by Alexander Grothendieck in his study of intersection theory on algebraic varieties. In the modern language, Grothendieck defined only K0, the zeroth K group, but even this single group has plenty of applications, such as the Grothendieck–Riemann–Roch theorem. Intersection theory is still a motivating force in the development of (higher) algebraic K theory through its links with motivic cohomology and specifically Chow groups. The subject also includes classical number theoretic topics like quadratic reciprocity and embeddings of number fields into the real numbers and complex numbers, as well as more modern concerns like the construction of higher regulators and special values of L functions. The lower K groups were discovered first, in the sense that adequate descriptions of these groups in terms of other algebraic structures were found. For example, if F is a field, then K0(F) is isomorphic to the integers Z and is closely related to the notion of vector space dimension. For a commutative ring R, the group K0(R) is related to the Picard group of R, and when R is the ring of integers in a number field, this generalizes the classical construction of the class group. The group K1(R) is closely related to the group of units R×, and if R is a field, it is exactly the group of units. For a number field F, the group K2(F) is related to class field theory, the Hilbert symbol, and the solvability of quadratic equations over completions. In contrast, finding the correct definition of the higher K groups of rings was a difficult achievement of Daniel Quillen, and many of the basic facts about the higher K groups of algebraic varieties were not known until the work of Robert Thomason.

История

История K-теории была подробно описана Чарльзом Вайбелем.

Группа Гротендика К0

В 19 веке Бернхард Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что теперь известно как теорема Римана — Роха. Если X — риманова поверхность, то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Прямой пучок на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективно, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана — Роха утверждает, что разность размерностей между этими подпространствами равна степени прямого пучка (мера скрученности) плюс один минус род X. В середине 20-го века теорема Римана — Роха была обобщена Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теореме Хирцебруха — Римана — Роха, теорема стала утверждением об эйлеровых характеристиках: эйлерова характеристика векторного пучка на алгебраическом многообразии (которая является знакопеременной суммой размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального пучка плюс поправочный член, исходящий из характеристических классов векторного пучка. Это обобщение, поскольку на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика прямого пучка равна разности размерностей, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального пучка равна одному минус род, и единственный нетривиальный характеристический класс — степень. Предмет K-теории берет свое название от конструкции 1957 года Александра Гротендика, которая появилась в теореме Гротендика — Римана — Роха, его обобщении теоремы Хирцебруха. Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие. К каждому векторному пучку на X Гротендик сопоставляет инвариант, его класс. Множество всех классов на X называлось K(X), от немецкого Klasse. По определению, K(X) является фактор-группой свободной абелевой группы по классам изоморфизма векторных пучков на X, и, следовательно, это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному пучку V, обозначается [V], то для каждой короткой точной последовательности векторных пучков:

In the 19th century, Bernhard Riemann and his student Gustav Roch proved what is now known as the Riemann–Roch theorem. If X is a Riemann surface, then the sets of meromorphic functions and meromorphic differential forms on X form vector spaces. A line bundle on X determines subspaces of these vector spaces, and if X is projective, then these subspaces are finite dimensional. The Riemann–Roch theorem states that the difference in dimensions between these subspaces is equal to the degree of the line bundle (a measure of twistedness) plus one minus the genus of X. In the mid 20th century, the Riemann–Roch theorem was generalized by Friedrich Hirzebruch to all algebraic varieties. In Hirzebruch's formulation, the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, the theorem became a statement about Euler characteristics: The Euler characteristic of a vector bundle on an algebraic variety (which is the alternating sum of the dimensions of its cohomology groups) equals the Euler characteristic of the trivial bundle plus a correction factor coming from characteristic classes of the vector bundle. This is a generalization because on a projective Riemann surface, the Euler characteristic of a line bundle equals the difference in dimensions mentioned previously, the Euler characteristic of the trivial bundle is one minus the genus, and the only nontrivial characteristic class is the degree. The subject of K theory takes its name from a 1957 construction of Alexander Grothendieck which appeared in the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, his generalization of Hirzebruch's theorem. Let X be a smooth algebraic variety. To each vector bundle on X, Grothendieck associates an invariant, its class. The set of all classes on X was called K(X) from the German Klasse. By definition, K(X) is a quotient of the free abelian group on isomorphism classes of vector bundles on X, and so it is an abelian group. If the basis element corresponding to a vector bundle V is denoted [V], then for each short exact sequence of vector bundles:

Гротендик наложил соотношение 1 = [V] = [V′] + [V″]. Эти образующие и соотношения определяют K(X), и они подразумевают, что это универсальный способ присвоения инвариантов векторным пучкам таким образом, чтобы они были совместимы с точными последовательностями. Гротендик исходил из предпосылки, что теорема Римана — Роха — это утверждение о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. Он доказал, что существует гомоморфизм из K(X) в группы Чоу X, исходя из характера Черна и класса Тодда X. Кроме того, он доказал, что правильный морфизм f : X → Y в гладкое многообразие Y определяет гомоморфизм f* : K(X) → K(Y), называемый прямым образом. Это дает два способа определения элемента в группе Чоу Y из векторного пучка на X: начиная с X, можно сначала вычислить прямой образ в K-теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда Y, или можно сначала применить характер Черна и класс Тодда X, а затем вычислить прямой образ для групп Чоу. Теорема Гротендика — Римана — Роха утверждает, что они равны. Когда Y — точка, векторный пучок — это векторное пространство, класс векторного пространства — его размерность, и теорема Гротендика — Римана — Роха специализируется на теореме Хирцебруха. Группа K(X) теперь известна как K₀(X). При замене векторных пучков проективными модулями K₀ также стало определяться для некоммутативных колец, где оно имело применение к представлениям групп. Атия и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической K-теории. Топологическая K-теория была одним из первых примеров необычной теории когомологий: она сопоставляет каждому топологическому пространству X (удовлетворяющему некоторым умеренным техническим ограничениям) последовательность групп Kₙ(X), которые удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга — Стинрода, за исключением аксиомы нормализации. Однако обстановка алгебраических многообразий гораздо более жесткая, и гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. Хотя группа K₀, казалось, удовлетворяла необходимым свойствам, чтобы быть началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, не было четкого определения высших Kₙ(X). Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничением и склеиванием, обычно заставляли Kₙ определять только для колец, а не для многообразий.

Grothendieck imposed the relation 1=[V] = [V′] + [V″]. These generators and relations define K(X), and they imply that it is the universal way to assign invariants to vector bundles in a way compatible with exact sequences. Grothendieck took the perspective that the Riemann–Roch theorem is a statement about morphisms of varieties, not the varieties themselves. He proved that there is a homomorphism from K(X) to the Chow groups of X coming from the Chern character and Todd class of X. Additionally, he proved that a proper morphism f : X → Y to a smooth variety Y determines a homomorphism f* : K(X) → K(Y) called the pushforward. This gives two ways of determining an element in the Chow group of Y from a vector bundle on X: Starting from X, one can first compute the pushforward in K theory and then apply the Chern character and Todd class of Y, or one can first apply the Chern character and Todd class of X and then compute the pushforward for Chow groups. The Grothendieck–Riemann–Roch theorem says that these are equal. When Y is a point, a vector bundle is a vector space, the class of a vector space is its dimension, and the Grothendieck–Riemann–Roch theorem specializes to Hirzebruch's theorem. The group K(X) is now known as K0(X). Upon replacing vector bundles by projective modules, K0 also became defined for non commutative rings, where it had applications to group representations. Atiyah and Hirzebruch quickly transported Grothendieck's construction to topology and used it to define topological K theory. Topological K theory was one of the first examples of an extraordinary cohomology theory: It associates to each topological space X (satisfying some mild technical constraints) a sequence of groups Kn(X) which satisfy all the Eilenberg–Steenrod axioms except the normalization axiom. The setting of algebraic varieties, however, is much more rigid, and the flexible constructions used in topology were not available. While the group K0 seemed to satisfy the necessary properties to be the beginning of a cohomology theory of algebraic varieties and of non commutative rings, there was no clear definition of the higher Kn(X). Even as such definitions were developed, technical issues surrounding restriction and gluing usually forced Kn to be defined only for rings, not for varieties.

К0, К1 и К2

Группа, тесно связанная с K1 для групповых колец, была ранее введена Дж. Х. К. Уайтхедом. Анри Пуанкаре пытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако его методы имели серьезный недостаток: Пуанкаре не смог доказать, что две триангуляции многообразия всегда дают одинаковые числа Бетти. Было очевидно, что числа Бетти не меняются при подразбиении триангуляции, и, следовательно, ясно, что любые две триангуляции, имеющие общее подразбиение, имеют одинаковые числа Бетти. Неизвестным оставалось, что любые две триангуляции допускают общее подразбиение. Эта гипотеза стала предположением, известным как Hauptvermutung (примерно «главное предположение»). Тот факт, что триангуляции стабильны относительно подразбиений, привел Уайтхеда к введению понятия простого гомотопического типа. Простая гомотопическая эквивалентность определяется через добавление симплексов или ячеек к симплициальному или клеточному комплексу таким образом, что каждый добавленный симплекс или ячейка деформируется в подразбиение исходного пространства. Частичной мотивацией для этого определения является то, что подразбиение триангуляции гомотопически эквивалентно исходной триангуляции, и, следовательно, две триангуляции, имеющие общее подразбиение, должны быть просто гомотопически эквивалентны. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, введя инвариант, называемый торсией. Торсия гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, называемой группой Уайтхеда и обозначаемой Wh(π), где π — фундаментальная группа целевого комплекса. Уайтхед нашел примеры нетривиальной торсии и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности не являются простыми. Позже было обнаружено, что группа Уайтхеда является факторгруппой K1(Zπ), где Zπ — интегральное групповое кольцо π. Позже Джон Милнор использовал торсию Рейдемейстера, инвариант, связанный с торсией Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung. Первое адекватное определение K1 кольца было дано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем. В топологической K-теории K1 определяется с использованием векторных расслоений над подвешением пространства. Все такие векторные расслоения происходят из построения сцепления, где два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеиваются вдоль общей полосы пространства. Данные о склеивании выражаются с использованием общей линейной группы, но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям над строками или столбцами), определяют эквивалентные склеивания. Мотивированные этим, определение Басса–Шануэля K1 кольца R имеет вид GL(R) / E(R), где GL(R) — бесконечная общая линейная группа (объединение всех GLn(R)), а E(R) — подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение K0 гомоморфизма колец и доказали, что K0 и K1 можно объединить в точную последовательность, аналогичную точной последовательности относительной гомологии. Работы по K-теории этого периода завершились книгой Басса «Алгебраическая K-теория». Помимо предоставления последовательного изложения известных результатов, Басс уточнил многие утверждения теорем. Особенно важно, что Басс, опираясь на свою более раннюю работу с Мурти, предоставил первое доказательство того, что теперь известно как фундаментальная теорема алгебраической K-теории. Это четырехчленная точная последовательность, связывающая K0 кольца R с K1 кольца R, кольцом полиномов R[t] и локализацией R[t, t−1]. Басс признал, что эта теорема дает описание K0 полностью в терминах K1. Применяя это описание рекурсивно, он получил отрицательные K-группы K−n(R). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K-групп для определенных категорий и доказал, что его определения дают те же группы, что и у Басса. Следующим важным развитием в этой области стало определение K2. Штейнберг изучал универсальные центральные расширения группы Шевалье над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и соотношений. В случае группы En(k) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается как Stn(k) и называется группой Штейнберга. Весной 1967 года Джон Милнор определил K2(R) как ядро гомоморфизма St(R) → E(R). Группа K2 расширила некоторые известные точные последовательности для K1 и K0 и имела поразительные применения в теории чисел. В диссертации Хидеи Мацумото 1968 года показано, что для поля F, K2(F) изоморфна:

A group closely related to K1 for group rings was earlier introduced by J. H. C. Whitehead. Henri Poincaré had attempted to define the Betti numbers of a manifold in terms of a triangulation. His methods, however, had a serious gap: Poincaré could not prove that two triangulations of a manifold always yielded the same Betti numbers. It was clearly true that Betti numbers were unchanged by subdividing the triangulation, and therefore it was clear that any two triangulations that shared a common subdivision had the same Betti numbers. What was not known was that any two triangulations admitted a common subdivision. This hypothesis became a conjecture known as the Hauptvermutung (roughly "main conjecture"). The fact that triangulations were stable under subdivision led J. H. C. Whitehead to introduce the notion of simple homotopy type. A simple homotopy equivalence is defined in terms of adding simplices or cells to a simplicial complex or cell complex in such a way that each additional simplex or cell deformation retracts into a subdivision of the old space. Part of the motivation for this definition is that a subdivision of a triangulation is simple homotopy equivalent to the original triangulation, and therefore two triangulations that share a common subdivision must be simple homotopy equivalent. Whitehead proved that simple homotopy equivalence is a finer invariant than homotopy equivalence by introducing an invariant called the torsion. The torsion of a homotopy equivalence takes values in a group now called the Whitehead group and denoted Wh(π), where π is the fundamental group of the target complex. Whitehead found examples of non trivial torsion and thereby proved that some homotopy equivalences were not simple. The Whitehead group was later discovered to be a quotient of K1(Zπ), where Zπ is the integral group ring of π. Later John Milnor used Reidemeister torsion, an invariant related to Whitehead torsion, to disprove the Hauptvermutung. The first adequate definition of K1 of a ring was made by Hyman Bass and Stephen Schanuel. In topological K theory, K1 is defined using vector bundles on a suspension of the space. All such vector bundles come from the clutching construction, where two trivial vector bundles on two halves of a space are glued along a common strip of the space. This gluing data is expressed using the general linear group, but elements of that group coming from elementary matrices (matrices corresponding to elementary row or column operations) define equivalent gluings. Motivated by this, the Bass–Schanuel definition of K1 of a ring R is GL(R) / E(R), where GL(R) is the infinite general linear group (the union of all GLn(R)) and E(R) is the subgroup of elementary matrices. They also provided a definition of K0 of a homomorphism of rings and proved that K0 and K1 could be fit together into an exact sequence similar to the relative homology exact sequence. Work in K theory from this period culminated in Bass' book Algebraic K theory. In addition to providing a coherent exposition of the results then known, Bass improved many of the statements of the theorems. Of particular note is that Bass, building on his earlier work with Murthy, provided the first proof of what is now known as the fundamental theorem of algebraic K theory. This is a four term exact sequence relating K0 of a ring R to K1 of R, the polynomial ring R[t], and the localization R[t, t−1]. Bass recognized that this theorem provided a description of K0 entirely in terms of K1. By applying this description recursively, he produced negative K groups K−n(R). In independent work, Max Karoubi gave another definition of negative K groups for certain categories and proved that his definitions yielded that same groups as those of Bass. The next major development in the subject came with the definition of K2. Steinberg studied the universal central extensions of a Chevalley group over a field and gave an explicit presentation of this group in terms of generators and relations. In the case of the group En(k) of elementary matrices, the universal central extension is now written Stn(k) and called the Steinberg group. In the spring of 1967, John Milnor defined K2(R) to be the kernel of the homomorphism St(R) → E(R). The group K2 further extended some of the exact sequences known for K1 and K0, and it had striking applications to number theory. Hideya Matsumoto's 1968 thesis showed that for a field F, K2(F) was isomorphic to:

Это соотношение также выполняется для символа Гильберта, который выражает разрешимость квадратичных уравнений над локальными полями. В частности, Джон Тейт смог доказать, что K2(Q) по существу структурировано вокруг закона квадратичной взаимности.

Высшие К-группы

В конце 1960-х и начале 1970-х годов было предложено несколько определений теории высшего К. Свон и Герстен оба дали определения Kn для всех n, и Герстен доказал, что его и Свон теории эквивалентны, но две теории не были известны, чтобы удовлетворить все ожидаемые свойства. Нобиле и Вильямор также предложили определение высших групп К. Каруби и Вилламайор определили хорошо поведенческие группы K для всех n, но их эквивалент K1 иногда был правильным коэффициентом Bass Schanuel K1. Их группы K теперь называются KVn и связаны с инвариантными модификациями гомотопии теории K. Вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор сделал определение высших групп К поля. Он назвал свое определение "чисто специальным", и оно не было обобщено для всех колец, и не было правильным определением теории полей высшего К. Гораздо позже Нестеренко и Суслин и Тотаро обнаружили, что теория Милнор К на самом деле является прямым итогом истинной теории поля К. В частности, группы K имеют фильтрацию, называемую массовой фильтрацией, а теория поля Милнора К является наиболее высокооцененной частью теории К. Кроме того, Томассон обнаружил, что нет аналога теории Милнор К для общего сорта. Первым определением теории высшего К, которое было широко принято, было Даниель Куиллен. В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил карты от классифицирующих пространств BGL ((Fq) до гомотопического волокна ψq − 1, где ψq - это q-я операция Адамса, действующая на классифицирующее пространство BU. Эта карта является ациклической, и после незначительной модификации BGL ((Fq) для получения нового пространства BGL ((Fq) + карта стала эквивалентностью гомотопии. Эта модификация была названа конструкцией плюса. Известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и теорией К со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллен был вынужден определить теорию К R как гомотопические группы BGL ((R) +. Это не только восстановило K1 и K2, но и связало теорию K с операциями Адамса, что позволило Квиллену вычислить K групп конечных полей. Классифицирующее пространство BGL соединено, поэтому определение Квиллена не смогло дать правильное значение для K0. Кроме того, он не давал никаких отрицательных групп К. Поскольку K0 имел известное и принятое определение, было возможно обойти эту трудность, но она оставалась технически неудобной. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL, который был классическим источником K1. Поскольку GL знает только о склеивании векторных пучков, а не о самих векторных пучках, ему было невозможно описать K0. Вдохновленный беседами с Квилленом, Сегал вскоре представил другой подход к построению алгебраической теории K под названием объектов Γ. Подход Сегала является гомотопическим аналогом конструкции К0 Гротендика. Там, где Гротендик работал с классами изоморфизма пакетов, Сегал работал с самими пакетами и использовал изоморфизмы пакетов в качестве части своих данных. В результате получается спектр, гомотопные группы которого являются высшими группами K (включая K0). Однако подход Сегала мог навязывать отношения только для разделенных точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность делится, и поэтому объекты Γ могут быть использованы для определения теории кольца K. Однако в категории векторных пучков на сортах и в категории всех модулей на кольце имеются неразделенные короткие точные последовательности, поэтому подход Сегала не применим ко всем интересующим случаям. Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению теории высшего К, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение началось с точной категории, категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, аналогичным, но немного слабее, чем свойства, удовлетворяемые категорией модулей или векторных пучков. На основе этого он построил вспомогательную категорию, используя новое устройство, называемое его "Кью-конструкцией". Как и объекты Segal's Γ, конструкция Q имеет свои корни в определении Grothendieck's K0. Однако, в отличие от определения Гротендика, конструкция Q создает категорию, а не абелеву группу, и в отличие от объектов Segal's Γ, конструкция Q работает непосредственно с короткими точными последовательностями. Если C - абелева категория, то QC - категория с теми же объектами, что и C, но чьи морфизмы определены в терминах коротких точных по...

In the late 1960s and early 1970s, several definitions of higher K theory were proposed. Swan and Gersten both produced definitions of Kn for all n, and Gersten proved that his and Swan's theories were equivalent, but the two theories were not known to satisfy all the expected properties. Nobile and Villamayor also proposed a definition of higher K groups. Karoubi and Villamayor defined well behaved K groups for all n, but their equivalent of K1 was sometimes a proper quotient of the Bass–Schanuel K1. Their K groups are now called KVn and are related to homotopy invariant modifications of K theory. Inspired in part by Matsumoto's theorem, Milnor made a definition of the higher K groups of a field. He referred to his definition as "purely ad hoc", and it neither appeared to generalize to all rings nor did it appear to be the correct definition of the higher K theory of fields. Much later, it was discovered by Nesterenko and Suslin and by Totaro that Milnor K theory is actually a direct summand of the true K theory of the field. Specifically, K groups have a filtration called the weight filtration, and the Milnor K theory of a field is the highest weight graded piece of the K theory. Additionally, Thomason discovered that there is no analog of Milnor K theory for a general variety. The first definition of higher K theory to be widely accepted was Daniel Quillen's. As part of Quillen's work on the Adams conjecture in topology, he had constructed maps from the classifying spaces BGL(Fq) to the homotopy fiber of ψq − 1, where ψq is the qth Adams operation acting on the classifying space BU. This map is acyclic, and after modifying BGL(Fq) slightly to produce a new space BGL(Fq)+, the map became a homotopy equivalence. This modification was called the plus construction. The Adams operations had been known to be related to Chern classes and to K theory since the work of Grothendieck, and so Quillen was led to define the K theory of R as the homotopy groups of BGL(R)+. Not only did this recover K1 and K2, the relation of K theory to the Adams operations allowed Quillen to compute the K groups of finite fields. The classifying space BGL is connected, so Quillen's definition failed to give the correct value for K0. Additionally, it did not give any negative K groups. Since K0 had a known and accepted definition it was possible to sidestep this difficulty, but it remained technically awkward. Conceptually, the problem was that the definition sprung from GL, which was classically the source of K1. Because GL knows only about gluing vector bundles, not about the vector bundles themselves, it was impossible for it to describe K0. Inspired by conversations with Quillen, Segal soon introduced another approach to constructing algebraic K theory under the name of Γ objects. Segal's approach is a homotopy analog of Grothendieck's construction of K0. Where Grothendieck worked with isomorphism classes of bundles, Segal worked with the bundles themselves and used isomorphisms of the bundles as part of his data. This results in a spectrum whose homotopy groups are the higher K groups (including K0). However, Segal's approach was only able to impose relations for split exact sequences, not general exact sequences. In the category of projective modules over a ring, every short exact sequence splits, and so Γ objects could be used to define the K theory of a ring. However, there are non split short exact sequences in the category of vector bundles on a variety and in the category of all modules over a ring, so Segal's approach did not apply to all cases of interest. In the spring of 1972, Quillen found another approach to the construction of higher K theory which was to prove enormously successful. This new definition began with an exact category, a category satisfying certain formal properties similar to, but slightly weaker than, the properties satisfied by a category of modules or vector bundles. From this he constructed an auxiliary category using a new device called his "Q construction." Like Segal's Γ objects, the Q construction has its roots in Grothendieck's definition of K0. Unlike Grothendieck's definition, however, the Q construction builds a category, not an abelian group, and unlike Segal's Γ objects, the Q construction works directly with short exact sequences. If C is an abelian category, then QC is a category with the same objects as C but whose morphisms are defined in terms of short exact sequences in C. The K groups of the exact category are the homotopy groups of ΩBQC, the loop space of the geometric realization (taking the loop space corrects the indexing). Quillen additionally proved his " theorem" that his two definitions of K theory agreed with each other. This yielded the correct K0 and led to simpler proofs, but still did not yield any negative K groups. All abelian categories are exact categories, but not all exact categories are abelian. Because Quillen was able to work in this more general situation, he was able to use exact categories as tools in his proofs. This technique allowed him to prove many of the basic theorems of algebraic K theory. Additionally, it was possible to prove that the earlier definitions of Swan and Gersten were equivalent to Quillen's under certain conditions. K theory now appeared to be a homology theory for rings and a cohomology theory for varieties. However, many of its basic theorems carried the hypothesis that the ring or variety in question was regular. One of the basic expected relations was a long exact sequence (called the "localization sequence") relating the K theory of a variety X and an open subset U. Quillen was unable to prove the existence of the localization sequence in full generality. He was, however, able to prove its existence for a related theory called G theory (or sometimes K′ theory). G theory had been defined early in the development of the subject by Grothendieck. Grothendieck defined G0(X) for a variety X to be the free abelian group on isomorphism classes of coherent sheaves on X, modulo relations coming from exact sequences of coherent sheaves. In the categorical framework adopted by later authors, the K theory of a variety is the K theory of its category of vector bundles, while its G theory is the K theory of its category of coherent sheaves. Not only could Quillen prove the existence of a localization exact sequence for G theory, he could prove that for a regular ring or variety, K theory equaled G theory, and therefore K theory of regular varieties had a localization exact sequence. Since this sequence was fundamental to many of the facts in the subject, regularity hypotheses pervaded early work on higher K theory.

Применение алгебраической теории К в топологии

Самым ранним применением алгебраической K-теории к топологии было построение Уайтхеда торсиона Уайтхеда. В 1963 году C. T. C. Wall обнаружил тесно связанное построение. Wall показал, что пространство X, доминируемое конечным комплексом, имеет обобщенную характеристику Эйлера, принимающую значения в факторгруппе K0(Zπ), где π — фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется препятствием конечности Wall, поскольку X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант обращается в нуль. Лоран Сибенман в своей диссертации обнаружил инвариант, подобный инварианту Wall, который дает препятствие для открытого многообразия быть внутренностью компактного многообразия с границей. Если два многообразия с границей M и N имеют изоморфные внутренности (в TOP, PL или DIFF, в зависимости от контекста), то изоморфизм между ними определяет h-кобордизм между M и N. Торсион Уайтхеда в конечном итоге был переинтерпретирован более непосредственно в терминах K-теории. Эта переинтерпретация произошла в ходе изучения h-кобордизмов. Два n-мерных многообразия M и N h-кобордантны, если существует (n+1)-мерное многообразие с границей W, границей которого является непересекающееся объединение M и N, и для которого включения M и N в W являются гомотопическими эквивалентностями (в категориях TOP, PL или DIFF). Теорема о h-кобордизме Стивена Смейла утверждала, что если n ≥ 5, W компактно, а M, N и W простосвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF, в зависимости от контекста). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5. Если M и N не предполагаются простосвязными, то h-кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s-кобордизме, независимо доказанная Мазуром, Сталлингсом и Барденом, объясняет общую ситуацию: h-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда торсион Уайтхеда включения M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h-кобордизме, поскольку предположения о простосвязности подразумевают, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически, теорема о s-кобордизме подразумевает, что существует биективное соответствие между классами изоморфизма h-кобордизмов и элементами группы Уайтхеда. Очевидный вопрос, связанный с существованием h-кобордизмов, — это их единственность. Естественным понятием эквивалентности является изотопия. Жан Серф доказал, что для простосвязных гладких многообразий M размерности не менее 5, изотопия h-кобордизмов совпадает с более слабым понятием, называемым псевдоизотопией. Хэтчер и Вагонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с факторгруппой K2(Zπ). Правильный контекст для теоремы о s-кобордизме — это классифицирующее пространство h-кобордизмов. Если M — CAT-многообразие, то HCAT(M) — это пространство, классифицирующее расслоения h-кобордизмов над M. Теорему о s-кобордизме можно переинтерпретировать как утверждение о том, что множество связных компонент этого пространства является группой Уайтхеда π1(M). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры над M и, в частности, является препятствием к единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1]. Рассмотрение этих вопросов привело Waldhausen к введению его алгебраической K-теории пространств. Алгебраическая K-теория M — это пространство A(M), которое определено таким образом, что оно играет в основном ту же роль для высших K-групп, что и K1(Zπ1(M)) для M. В частности, Waldhausen показал, что существует отображение из A(M) в пространство Wh(M), которое обобщает отображение K1(Zπ1(M)) → Wh(π1(M)) и чей гомотопическое волокно является теорией гомологий. Чтобы полностью развить A-теорию, Waldhausen сделал значительные технические достижения в основаниях K-теории. Waldhausen ввел категории Waldhausen, и для категории Waldhausen C он ввел упрощенную категорию S⋅C (S — для Сегала), определяемую в терминах цепей кофибраций в C. Это освободило основания K-теории от необходимости вызывать аналоги точных последовательностей.

The earliest application of algebraic K theory to topology was Whitehead's construction of Whitehead torsion. A closely related construction was found by C. T. C. Wall in 1963. Wall found that a space X dominated by a finite complex has a generalized Euler characteristic taking values in a quotient of K0(Zπ), where π is the fundamental group of the space. This invariant is called Wall's finiteness obstruction because X is homotopy equivalent to a finite complex if and only if the invariant vanishes. Laurent Siebenmann in his thesis found an invariant similar to Wall's that gives an obstruction to an open manifold being the interior of a compact manifold with boundary. If two manifolds with boundary M and N have isomorphic interiors (in TOP, PL, or DIFF as appropriate), then the isomorphism between them defines an h cobordism between M and N.

Whitehead torsion was eventually reinterpreted in a more directly K theoretic way. This reinterpretation happened through the study of h cobordisms. Two n dimensional manifolds M and N are h cobordant if there exists an (n + 1) dimensional manifold with boundary W whose boundary is the disjoint union of M and N and for which the inclusions of M and N into W are homotopy equivalences (in the categories TOP, PL, or DIFF). Stephen Smale's h cobordism theorem asserted that if n ≥ 5, W is compact, and M, N, and W are simply connected, then W is isomorphic to the cylinder M × [0, 1] (in TOP, PL, or DIFF as appropriate). This theorem proved the Poincaré conjecture for n ≥ 5. If M and N are not assumed to be simply connected, then an h cobordism need not be a cylinder. The s cobordism theorem, due independently to Mazur, Stallings, and Barden, explains the general situation: An h cobordism is a cylinder if and only if the Whitehead torsion of the inclusion M ⊂ W vanishes. This generalizes the h cobordism theorem because the simple connectedness hypotheses imply that the relevant Whitehead group is trivial. In fact the s cobordism theorem implies that there is a bijective correspondence between isomorphism classes of h cobordisms and elements of the Whitehead group. An obvious question associated with the existence of h cobordisms is their uniqueness. The natural notion of equivalence is isotopy. Jean Cerf proved that for simply connected smooth manifolds M of dimension at least 5, isotopy of h cobordisms is the same as a weaker notion called pseudo isotopy. Hatcher and Wagoner studied the components of the space of pseudo isotopies and related it to a quotient of K2(Zπ). The proper context for the s cobordism theorem is the classifying space of h cobordisms. If M is a CAT manifold, then HCAT(M) is a space that classifies bundles of h cobordisms on M. The s cobordism theorem can be reinterpreted as the statement that the set of connected components of this space is the Whitehead group of π1(M). This space contains strictly more information than the Whitehead group; for example, the connected component of the trivial cobordism describes the possible cylinders on M and in particular is the obstruction to the uniqueness of a homotopy between a manifold and M × [0, 1]. Consideration of these questions led Waldhausen to introduce his algebraic K theory of spaces. The algebraic K theory of M is a space A(M) which is defined so that it plays essentially the same role for higher K groups as K1(Zπ1(M)) does for M. In particular, Waldhausen showed that there is a map from A(M) to a space Wh(M) which generalizes the map K1(Zπ1(M)) → Wh(π1(M)) and whose homotopy fiber is a homology theory. In order to fully develop A theory, Waldhausen made significant technical advances in the foundations of K theory. Waldhausen introduced Waldhausen categories, and for a Waldhausen category C he introduced a simplicial category S⋅C (the S is for Segal) defined in terms of chains of cofibrations in C. This freed the foundations of K theory from the need to invoke analogs of exact sequences.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраической К-теории

Квиллен предложил своему ученику Кеннету Брауну, что, возможно, удастся создать теорию снопов спектров, примером которой была бы K-теория. Сноп спектров K-теории сопоставлял бы каждому открытому подмножеству многообразия K-теорию этого подмножества. Браун разработал такую теорию для своей диссертации. Одновременно у Герстена возникла та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе открыли спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий снопа, снопа групп Kn на X, к K-группе всего пространства. Эта последовательность теперь называется спектральной последовательностью Брауна — Герстена. Спенсер Блох, вдохновленный работой Герстена над снопами K-групп, доказал, что на регулярной поверхности группа когомологий изоморфна группе Чоу CH2(X) циклов коразмерности 2 на X. Вдохновленный этим, Герстен предположил, что для регулярного локального кольца R с полем частных F, Kn(R) мономорфно вкладывается в Kn(F) для всех n. Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле, и, используя это, доказал формулу для всех p. Это известно как формула Блоха. Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым. Лихтенбаум предположил, что специальные значения дзета-функции числового поля можно выразить через K-группы кольца целых этого поля. Известно, что эти специальные значения связаны с этальной когомологией кольца целых. Поэтому Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атия — Хирцебруха в топологической K-теории. Предложенная Квилленом спектральная последовательность начиналась бы с этальной когомологии кольца R и, при достаточно высоких степенях и после завершения по простому числу l, обратимому в R, приближалась бы к l-адическому завершению K-теории R. В случае, исследованном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождалась бы, давая гипотезу Лихтенбаума. Необходимость локализации по простому числу l натолкнула Браудера на мысль, что должен существовать вариант K-теории с конечными коэффициентами. Он ввел K-группы Kn(R; Z/lZ), которые были векторными пространствами над Z/lZ, и нашел аналог элемента Ботта в топологической K-теории. Суль использовал эту теорию для построения «этальных классов Черна», аналога топологических классов Черна, переводящих элементы алгебраической K-теории в классы этальной когомологии. В отличие от алгебраической K-теории, этальная когомология хорошо вычислима, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения элементов в K-теории. Уильям Г. Дуайер и Эрик Фридландер затем изобрели аналог K-теории для этальной топологии, названный этальной K-теорией. Для многообразий, определенных над комплексными числами, этальная K-теория изоморфна топологической K-теории. Более того, этальная K-теория допускала спектральную последовательность, подобную той, которую предположил Квиллен. Томассон около 1980 года доказал, что после инвертирования элемента Ботта алгебраическая K-теория с конечными коэффициентами становится изоморфной этальной K-теории. В 1970-х и начале 1980-х годов K-теория на сингулярных многообразиях все еще не имела адекватных основ. Хотя считалось, что K-теория Квиллена дает правильные группы, не было известно, что эти группы обладают всеми предполагаемыми свойствами. Для этого алгебраическую K-теорию пришлось переформулировать. Это сделал Томассон в объемной монографии, которую он посвятил памяти своего покойного друга Томаса Тробо, который, по его словам, подсказал ему ключевую идею во сне. Томассон объединил конструкцию K-теории Вальдгаузена с основами теории пересечений, описанными в шестом томе семинара Гротендика по алгебраической геометрии. Там K0 описывалась в терминах комплексов снопов на алгебраических многообразиях. Томассон обнаружил, что если работать с производной категорией снопов, то можно просто описать, когда комплекс снопов можно расширить с открытого подмножества многообразия на все многообразие. Применяя конструкцию K-теории Вальдгаузена к производным категориям, Томассон смог доказать, что алгебраическая K-теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий. В 1976 году Кит Деннис открыл совершенно новую технику вычисления K-теории, основанную на гомологии Хохшильда. Это основывалось на существовании карты следов Денниса, гомоморфизма из K-теории в гомологию Хохшильда. Хотя карта следов Денниса оказалась успешной для вычислений K-теории с конечными коэффициентами, она была менее успешной для рациональных вычислений. Гудвилли, вдохновленный своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной между K-теорией и гомологией Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, поскольку ее базовое кольцо должно быть сферическим спектром (рассматриваемым как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х годов Бокштедт дал определение топологической гомологии Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем предполагаемым свойствам Гудвилли, и это позволило провести дальнейшие вычисления K-групп. Версия карты следов Денниса Бокштедта была преобразованием спектров K → THH. Это преобразование факторизовалось через неподвижные точки действия окружности на THH, что наводило на мысль о связи с циклической гомологией. В процессе доказательства алгебраического K-теоретического аналога гипотезы Новикова Бокштедт, Хсианг и Мадсен ввели топологическую циклическую гомологию, которая имела такое же отношение к топологической гомологии Хохшильда, как циклическая гомология к гомологии Хохшильда. Карта следов Денниса в топологическую гомологию Хохшильда факторизуется через топологическую циклическую гомологию, предоставляя еще более детальный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологическая циклическая гомология в точном смысле имеет ту же локальную структуру, что и алгебраическая K-теория, так что если вычисление в K-теории или топологической циклической гомологии возможно, то следует множество других «близких» вычислений.

Quillen suggested to his student Kenneth Brown that it might be possible to create a theory of sheaves of spectra of which K theory would provide an example. The sheaf of K theory spectra would, to each open subset of a variety, associate the K theory of that open subset. Brown developed such a theory for his thesis. Simultaneously, Gersten had the same idea. At a Seattle conference in autumn of 1972, they together discovered a spectral sequence converging from the sheaf cohomology of , the sheaf of Kn groups on X, to the K group of the total space. This is now called the Brown–Gersten spectral sequence. Spencer Bloch, influenced by Gersten's work on sheaves of K groups, proved that on a regular surface, the cohomology group is isomorphic to the Chow group CH2(X) of codimension 2 cycles on X. Inspired by this, Gersten conjectured that for a regular local ring R with fraction field F, Kn(R) injects into Kn(F) for all n. Soon Quillen proved that this is true when R contains a field, and using this he proved that

for all p. This is known as Bloch's formula. While progress has been made on Gersten's conjecture since then, the general case remains open. Lichtenbaum conjectured that special values of the zeta function of a number field could be expressed in terms of the K groups of the ring of integers of the field. These special values were known to be related to the étale cohomology of the ring of integers. Quillen therefore generalized Lichtenbaum's conjecture, predicting the existence of a spectral sequence like the Atiyah–Hirzebruch spectral sequence in topological K theory. Quillen's proposed spectral sequence would start from the étale cohomology of a ring R and, in high enough degrees and after completing at a prime l invertible in R, abut to the l adic completion of the K theory of R. In the case studied by Lichtenbaum, the spectral sequence would degenerate, yielding Lichtenbaum's conjecture. The necessity of localizing at a prime l suggested to Browder that there should be a variant of K theory with finite coefficients. He introduced K theory groups Kn(R; Z/lZ) which were Z/lZ vector spaces, and he found an analog of the Bott element in topological K theory. Soule used this theory to construct "étale Chern classes", an analog of topological Chern classes which took elements of algebraic K theory to classes in étale cohomology. Unlike algebraic K theory, étale cohomology is highly computable, so étale Chern classes provided an effective tool for detecting the existence of elements in K theory. William G. Dwyer and Eric Friedlander then invented an analog of K theory for the étale topology called étale K theory. For varieties defined over the complex numbers, étale K theory is isomorphic to topological K theory. Moreover, étale K theory admitted a spectral sequence similar to the one conjectured by Quillen. Thomason proved around 1980 that after inverting the Bott element, algebraic K theory with finite coefficients became isomorphic to étale K theory. Throughout the 1970s and early 1980s, K theory on singular varieties still lacked adequate foundations. While it was believed that Quillen's K theory gave the correct groups, it was not known that these groups had all of the envisaged properties. For this, algebraic K theory had to be reformulated. This was done by Thomason in a lengthy monograph which he co credited to his dead friend Thomas Trobaugh, who he said gave him a key idea in a dream. Thomason combined Waldhausen's construction of K theory with the foundations of intersection theory described in volume six of Grothendieck's Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. There, K0 was described in terms of complexes of sheaves on algebraic varieties. Thomason discovered that if one worked with in derived category of sheaves, there was a simple description of when a complex of sheaves could be extended from an open subset of a variety to the whole variety. By applying Waldhausen's construction of K theory to derived categories, Thomason was able to prove that algebraic K theory had all the expected properties of a cohomology theory. In 1976, Keith Dennis discovered an entirely novel technique for computing K theory based on Hochschild homology. This was based around the existence of the Dennis trace map, a homomorphism from K theory to Hochschild homology. While the Dennis trace map seemed to be successful for calculations of K theory with finite coefficients, it was less successful for rational calculations. Goodwillie, motivated by his "calculus of functors", conjectured the existence of a theory intermediate to K theory and Hochschild homology. He called this theory topological Hochschild homology because its ground ring should be the sphere spectrum (considered as a ring whose operations are defined only up to homotopy). In the mid 1980s, Bokstedt gave a definition of topological Hochschild homology that satisfied nearly all of Goodwillie's conjectural properties, and this made possible further computations of K groups. Bokstedt's version of the Dennis trace map was a transformation of spectra K → THH. This transformation factored through the fixed points of a circle action on THH, which suggested a relationship with cyclic homology. In the course of proving an algebraic K theory analog of the Novikov conjecture, Bokstedt, Hsiang, and Madsen introduced topological cyclic homology, which bore the same relationship to topological Hochschild homology as cyclic homology did to Hochschild homology. The Dennis trace map to topological Hochschild homology factors through topological cyclic homology, providing an even more detailed tool for calculations. In 1996, Dundas, Goodwillie, and McCarthy proved that topological cyclic homology has in a precise sense the same local structure as algebraic K theory, so that if a calculation in K theory or topological cyclic homology is possible, then many other "nearby" calculations follow.

Нижние К-группы

Сначала были обнаружены нижние группы K, которым были даны различные описания, созданные для конкретных случаев, которые до сих пор остаются полезными. На протяжении всего изложения пусть A – кольцо.

Центральные простые алгебры

В случае центральной простой алгебры A над полем F, редуцированная норма предоставляет обобщение определителя, задавая отображение K1(A) → F∗, а SK1(A) может быть определена как ядро. Теорема Ванга утверждает, что если A имеет простую степень, то SK1(A) тривиальна, и это можно расширить на степень, свободную от квадратов. Ван также показал, что SK1(A) тривиальна для любой центральной простой алгебры над числовым полем, но Платонов привел примеры алгебр степени, равной квадрату простого числа, для которых SK1(A) нетривиальна. Вычисление K2(Q) является сложным: Тейт доказал

и отметил, что доказательство последовало за первым доказательством Гаусса закона квадратичной взаимности. Для неархимедовых локальных полей группа K2(F) является прямой суммой конечной циклической группы порядка m, скажем, и делимой группы K2(F)m.

У нас есть K2(Z) = Z/2, и в общем случае K2 конечна для кольца целых чисел числового поля. Кроме того, K2(Z/n) = Z/2, если n делится на 4, и в противном случае равна нулю.

Параж

Есть спаривание на K1 со значениями в K2. Пусть даны коммутирующие матрицы X и Y над A. Возьмем элементы x и y в группе Штейнберга, являющиеся образами X и Y соответственно. Коммутатор является элементом K2. Отображение не всегда сюръективно.

Высшая К-теория

Принятые определения высших K-групп были даны после нескольких лет, в течение которых предлагалось несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K(R) и K(R,I) в терминах классифицирующих пространств, так чтобы отображения R ⇒ K(R) и (R,I) ⇒ K(R,I) были функторами в гомотопическую категорию пространств, а длинная точная последовательность для относительных K-групп возникала как длинная точная гомотопическая последовательность фибрации K(R,I) → K(R) → K(R/I). Квиллен предложил две конструкции: "плюс-конструкцию" и "Q-конструкцию", последняя из которых впоследствии была модифицирована различными способами. Обе конструкции дают одинаковые K-группы.

Строение S

Третьей конструкцией групп K является S-конструкция, предложенная Вальдхаузеном. Она применяется к категориям с кофибрациями (также называемым категориями Вальдхаузена). Это более общее понятие, чем понятие точных категорий.

Примеры

В то время как алгебраическая K-теория Куиллена дала глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K-группы оказались особенно сложными для вычисления, за исключением нескольких отдельных, но интересных случаев. (См. также: K-группы поля.)

Алгебраические K-группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если A — кольцо алгебраических целых в алгебраическом числовом поле F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы A конечно порождены. Арман Борель использовал это для вычисления Kᵢ(A) и Kᵢ(F) по модулю кручения. Например, для целых чисел Z, Борель доказал, что (по модулю кручения)

Kᵢ(Z) / tors. = 0 для положительного i, если i ≠ 4k + 1, где k — положительное целое число,
K₄ₖ₊₁(Z) / tors. = Z для положительного k.

Недавно были определены подгруппы кручения K₂ᵢ₊₁(Z) и порядки конечных групп K₄ₖ₊₂(Z), но вопрос о том, являются ли последние группы циклическими, и вопрос о том, обращаются ли в нуль группы K₄ₖ(Z), зависит от гипотезы Вандивера о группах классов циклотомических целых чисел. Подробности можно найти в гипотезе Квиллена — Лихтенбаума.

Исторические ссылки

Бокштедт, М., Топологическая гомология Хохшильда. Препринт, Билефельд, 1986. Бокштедт, М., Хсианг, В. Ц., Мадсен, И., Циклотомический след и алгебраическая K-теория пространств. Invent. Math., 111(3) (1993), 465–539. Браун, К., Герстен, С., Алгебраическая K-теория как обобщенная когомология пучков, Алгебраическая K-теория I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, с. 266–292. Денис, Р. К., Высшая алгебраическая K-теория и гомология Хохшильда, неопубликованный препринт (1976). Гротендик, Александр, Классы пучков и теорема Римана — Роха, конспект заметок, Принстон, 1957. Милнор, Дж., Введение в алгебраическую K-теорию, Princeton Univ. Press, 1971. Нобиле, А., Вильямайор, О., Sur la K-théorie algébrique, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4e série, 1, No. 3, 1968, 581–616. Куиллен, Дэниел, Когомология групп, Proc. ICM Nice 1970, vol. 2, Gauthier Villars, Париж, 1971, 47–52. Куиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K-теория I, Алгебраическая K-теория I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147. Куиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K-теория, Proc. Intern. Congress Math., Vancouver, 1974, vol. I, Canad. Math. Soc., 1975, с. 171–176. Сибенманн, Ларри, Препятствие к нахождению границы для открытого многообразия размерности большей пяти, диссертация, Принстонский университет, 1965. Штейнберг, Р., Generateurs, relations et revêtements de groupes algébriques, Colloq. Théorie des Groupes Algébriques, Gauthier Villars, Париж, 1962, с. 113–127. (на французском языке) Сван, Ричард, Неабелева гомологическая алгебра и K-теория, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XVII, 1970, с. 88–123. Томассон, Р. В., Алгебраическая K-теория и этальная когомология, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. 18, 4e série (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677. Томассон, Р. В., Принцип расщепления и отсутствие глобальной K-теории Милнора, Topology 31, No. 3, 1992, 571–588. Вальдхаузен, Ф., Алгебраическая K-теория топологических пространств. I, в Алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, с. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978. Вальдхаузен, Ф., Алгебраическая K-теория пространств, в Алгебраической и геометрической топологии (New Brunswick, N. J., 1983), Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126 (1985), 318–419.

Bokstedt, M., Topological Hochschild homology. Preprint, Bielefeld, 1986. Bokstedt, M., Hsiang, W. C., Madsen, I., The cyclotomic trace and algebraic K theory of spaces. Invent. Math., 111(3) (1993), 465–539. Brown, K., Gersten, S., Algebraic K theory as generalized sheaf cohomology, Algebraic K theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, pp. 266–292. Dennis, R. K., Higher algebraic K theory and Hochschild homology, unpublished preprint (1976). Grothendieck, Alexander, Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann–Roch, mimeographed notes, Princeton 1957. Milnor, J., Introduction to Algebraic K theory, Princeton Univ. Press, 1971. Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K theorie algebrique, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4e serie, 1, no. 3, 1968, 581–616. Quillen, Daniel, Cohomology of groups, Proc. ICM Nice 1970, vol. 2, Gauthier Villars, Paris, 1971, 47–52. Quillen, Daniel, Higher algebraic K theory I, Algebraic K theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147. Quillen, Daniel, Higher algebraic K theory, Proc. Intern. Congress Math., Vancouver, 1974, vol. I, Canad. Math. Soc., 1975, pp. 171–176. Siebenmann, Larry, The Obstruction to Finding a Boundary for an Open Manifold of Dimension Greater than Five, Thesis, Princeton University (1965). Steinberg, R., Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques, ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier Villars, Paris, 1962, pp. 113–127. (French)
Swan, Richard, Nonabelian homological algebra and K theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XVII, 1970, pp. 88–123. Thomason, R. W., Algebraic K theory and étale cohomology, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 18, 4e serie (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677. Thomason, R. W., Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K theorie de Milnor globale, Topology 31, no. 3, 1992, 571–588. Waldhausen, F., Algebraic K theory of topological spaces. I, in Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, pp. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978. Waldhausen, F., Algebraic K theory of spaces, in Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N. J., 1983), Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126 (1985), 318–419.