H кеңістігі – топологиялық топтардың жалпылама түрі. Математикадағы бұл ұғым қасиеттері, анықтамасы, түрлері туралы мағлұматтар берілген. Топология, математика.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада H кеңістігі – топологиялық топ ұғымының жалпыламасының гомотопиялық теориялық түрі, онда байланыстылық және кері элементтерге қатысты аксиомалар алынып тасталады.
In mathematics, an H space is a homotopy theoretic version of a generalization of the notion of topological group, in which the axioms on associativity and inverses are removed.
Анықтама
H кеңістігі – X топологиялық кеңістігінен, X кеңістігіндегі e элементінен және μ: X × X → X үздіксіз бейнелеуінен тұрады, мұнда x ↦ μ(x, e) және x ↦ μ(e, x) бейнелеулері e-ге жіберілген бейнелеулер арқылы сәйкестік бейнелеуіне гомотопты болады. Бұл нүктеленген топологиялық кеңістікті, оның негізгі нүктесі негізгі нүктеге қатысты гомотопияны сақтайтын сәйкестік элементі болатын үздіксіз көбейтумен бірге қарастыруға болады. Егер e және μ болса, онда (X, e, μ) үштігі жоғарыдағы анықтамадағыдай H кеңістігі болып табылады, осы жағдайда топологиялық X кеңістігі H кеңістігі деп аталады. Сондай-ақ, H кеңістігін e негізгі нүктесін бекітуге қатысты гомотопияларды талап етпей немесе гомотопияны ескермей, e-нің нақты сәйкестік элементі болуын талап ету арқылы анықтауға болады. CW кешені үшін бұл үш анықтама да шын мәнінде эквивалентті.
An H space consists of a topological space X, together with an element e of X and a continuous map μ : X × X → X, such that and the maps x ↦ μ(x, e) and x ↦ μ(e, x) are both homotopic to the identity map through maps sending e to e. This may be thought of as a pointed topological space together with a continuous multiplication for which the basepoint is an identity element up to basepoint preserving homotopy. One says that a topological space X is an H space if there exists e and μ such that the triple (X, e, μ) is an H space as in the above definition. Alternatively, an H space may be defined without requiring homotopies to fix the basepoint e, or by requiring e to be an exact identity, without any consideration of homotopy. In the case of a CW complex, all three of these definitions are in fact equivalent.
Мысалдар мен қасиеттері
Басты топтың стандартты анықтамасы, оның топ екендігімен бірге, нүктеленген топологиялық кеңістіктің циклдық кеңістігі H-тобының құрылымына ие екенін, ол стандартты тізбектеу және кері операцияларымен жабдықталған екенін көрсетеді. Бұдан әрі, нүктеленген топологиялық кеңістіктің үздіксіз негіздік нүктені сақтайтын бейнелеуі, сәйкес циклдық кеңістіктердің H-гомоморфизмін тудырады; бұл үздіксіз бейнелеудің тудырған басты топтардағы топ гомоморфизмін көрсетеді. Нүктеленген гомотопиялық теңдестік берілген H-кеңістігінен нүктеленген топологиялық кеңістікке берілген жағдайда, соңғы кеңістікте табиғи H-кеңістік құрылымы бар екенін тексеру оңай. Осылайша, берілген кеңістікте H-кеңістік құрылымының болуы тек нүктеленген гомотопиялық типке ғана байланысты. H-кеңістіктің көбейту құрылымы оның гомология және когомология топтарына құрылым қосады. Мысалы, шекті түрде туындаған және еркін когомология топтарымен байланысты жолға қосылған H-кеңістіктің когомология сақинасы Хопф алгебрасы болып табылады. Сонымен қатар, H-кеңістігінің гомология топтарында Понтрягин көбейтіндісін анықтауға болады. H-кеңістігінің басты тобы абельдік болады. Мұны көрсету үшін, X-ті e бірлік элементі бар H-кеңістігі деп алсақ, f және g-ні e-дегі циклдар деп алсақ болады. F: [0,1] × [0,1] → X бейнелеуін F(a,b) = f(a)g(b) арқылы анықтаймыз. Содан кейін F(a,0) = F(a,1) = f(a)e, f-ке гомотопты, ал F(0,b) = F(1,b) = eg(b), g-ге гомотопты болады. [f][g]-дан [g][f]-ға гомотопияны қалай анықтау керектігі анық. Фрэнк Адамстың атымен аталатын Адамстың Хопф инварианты бір теоремасы, S0, S1, S3, S7 H-кеңістік болатын жалғыз сфералар екенін көрсетеді. Осы кеңістіктердің әрқайсысы нақты, кешенді, кватернион және октониондардың нормасы бірге тең элементтерінің ішкі жиыны ретінде қарастырылып, осы алгебралардан көбейту операцияларын пайдаланады. Шындығында, S0, S1 және S3 осы көбейтулермен топтар (Ли топтары) болып табылады. Бірақ S7 осылайша топ емес, өйткені октонион көбейтуі ассоциативті емес, сонымен қатар оны топ болатын басқа үздіксіз көбейтумен беру мүмкін емес.
The standard definition of the fundamental group, together with the fact that it is a group, can be rephrased as saying that the loop space of a pointed topological space has the structure of an H group, as equipped with the standard operations of concatenation and inversion. Furthermore a continuous basepoint preserving map of pointed topological space induces a H homomorphism of the corresponding loop spaces; this reflects the group homomorphism on fundamental groups induced by a continuous map. It is straightforward to verify that, given a pointed homotopy equivalence from a H space to a pointed topological space, there is a natural H space structure on the latter space. As such, the existence of an H space structure on a given space is only dependent on pointed homotopy type. The multiplicative structure of an H space adds structure to its homology and cohomology groups. For example, the cohomology ring of a path connected H space with finitely generated and free cohomology groups is a Hopf algebra. Also, one can define the Pontryagin product on the homology groups of an H space. The fundamental group of an H space is abelian. To see this, let X be an H space with identity e and let f and g be loops at e. Define a map F: [0,1] × [0,1] → X by F(a,b) = f(a)g(b). Then F(a,0) = F(a,1) = f(a)e is homotopic to f, and F(0,b) = F(1,b) = eg(b) is homotopic to g. It is clear how to define a homotopy from [f][g] to [g][f]. Adams' Hopf invariant one theorem, named after Frank Adams, states that S0, S1, S3, S7 are the only spheres that are H spaces. Each of these spaces forms an H space by viewing it as the subset of norm one elements of the reals, complexes, quaternions, and octonions, respectively, and using the multiplication operations from these algebras. In fact, S0, S1, and S3 are groups (Lie groups) with these multiplications. But S7 is not a group in this way because octonion multiplication is not associative, nor can it be given any other continuous multiplication for which it is a group.