H-пространства в математике: определение и свойства

Введение

В математике, H-пространство — это гомотопически-теоретическая версия обобщения понятия топологической группы, в которой требования ассоциативности и существования обратных элементов отброшены.

Определение

Пространство H состоит из топологического пространства X, вместе с элементом e из X и непрерывного отображения μ : X × X → X, такого что карты x → μ(x, e) и x → μ(e, x) гомотопны тождественному отображению посредством отображений, переводящих e в e. Это можно рассматривать как острое топологическое пространство вместе с непрерывным умножением, для которого базовая точка является нейтральным элементом с точностью до гомотопии, сохраняющей базовую точку. Говорят, что топологическое пространство X является пространством H, если существуют e и μ, такие что тройка (X, e, μ) является пространством H в смысле вышеприведенного определения. Альтернативно, пространство H можно определить без требования фиксировать базовую точку e гомотопиями, или требуя, чтобы e было точной единицей, без учета гомотопии. В случае CW-комплекса все три этих определения фактически эквивалентны.

Примеры и свойства

Стандартное определение фундаментальной группы, вместе с тем, что она является группой, можно перефразировать, сказав, что петлевое пространство точечного топологического пространства имеет структуру H-группы, снабжённой стандартными операциями конкатенации и инверсии. Более того, непрерывное отображение точечного топологического пространства, сохраняющее базовую точку, индуцирует H-гомоморфизм соответствующих петлевых пространств; это отражает групповой гомоморфизм на фундаментальных группах, индуцированный непрерывным отображением. Прямо доказывается, что для заданной точечной гомотопической эквивалентности из H-пространства в точечное топологическое пространство, на последнем пространстве существует естественная H-пространственная структура. Таким образом, существование H-пространственной структуры на данном пространстве зависит лишь от точечного гомотопического типа. Мультипликативная структура H-пространства добавляет структуру его группам гомологий и когомологий. Например, кольцо когомологий связного H-пространства с конечно порождёнными и свободными группами когомологий является алгеброй Хопфа. Также можно определить произведение Понтрягина на группах гомологий H-пространства. Фундаментальная группа H-пространства является абелевой. Чтобы увидеть это, пусть X — H-пространство с единицей e, и пусть f и g — петли в e. Определим отображение F: [0,1] × [0,1] → X как F(a,b) = f(a)g(b). Тогда F(a,0) = F(a,1) = f(a)e гомотопно f, а F(0,b) = F(1,b) = eg(b) гомотопно g. Ясно, как определить гомотопию от [f][g] к [g][f]. Теорема Адамса об инвариантности Хопфа, названная в честь Фрэнка Адамса, утверждает, что S⁰, S¹, S³, S⁷ — единственные сферы, являющиеся H-пространствами. Каждое из этих пространств образует H-пространство, рассматривая его как подмножество элементов единичной нормы в множестве действительных, комплексных, кватернионных и октонионных чисел соответственно, и используя операции умножения из этих алгебр. Фактически, S⁰, S¹ и S³ являются группами (группами Ли) с этими умножениями. Но S⁷ не является группой в этом смысле, поскольку умножение октонионов не ассоциативно, и нельзя задать другое непрерывное умножение, при котором оно было бы группой.

The standard definition of the fundamental group, together with the fact that it is a group, can be rephrased as saying that the loop space of a pointed topological space has the structure of an H group, as equipped with the standard operations of concatenation and inversion. Furthermore a continuous basepoint preserving map of pointed topological space induces a H homomorphism of the corresponding loop spaces; this reflects the group homomorphism on fundamental groups induced by a continuous map. It is straightforward to verify that, given a pointed homotopy equivalence from a H space to a pointed topological space, there is a natural H space structure on the latter space. As such, the existence of an H space structure on a given space is only dependent on pointed homotopy type. The multiplicative structure of an H space adds structure to its homology and cohomology groups. For example, the cohomology ring of a path connected H space with finitely generated and free cohomology groups is a Hopf algebra. Also, one can define the Pontryagin product on the homology groups of an H space. The fundamental group of an H space is abelian. To see this, let X be an H space with identity e and let f and g be loops at e. Define a map F: [0,1] × [0,1] → X by F(a,b) = f(a)g(b). Then F(a,0) = F(a,1) = f(a)e is homotopic to f, and F(0,b) = F(1,b) = eg(b) is homotopic to g. It is clear how to define a homotopy from [f][g] to [g][f]. Adams' Hopf invariant one theorem, named after Frank Adams, states that S0, S1, S3, S7 are the only spheres that are H spaces. Each of these spaces forms an H space by viewing it as the subset of norm one elements of the reals, complexes, quaternions, and octonions, respectively, and using the multiplication operations from these algebras. In fact, S0, S1, and S3 are groups (Lie groups) with these multiplications. But S7 is not a group in this way because octonion multiplication is not associative, nor can it be given any other continuous multiplication for which it is a group.