Кіріспе
Алгебралық геометрияда схемалар арасындағы дұрыс морфизм, күрделі аналитикалық кеңістіктер арасындағы дұрыс бейнелеудің аналогы болып табылады. Кейбір авторлар k өрісіндегі дұрыс сортты толық сорт деп атайды. Мысалы, k өрісіндегі әрбір проективтік сорт, k бойынша дұрыс болып табылады. Комплекс сандар бойынша шекті типтегі X схемасы (мысалы, сорт) C бойынша дұрыс болады, егер және тек егер классикалық (Евклидтік) топологиямен жабдықталған X(C) комплекс нүктелер кеңістігі компактты және Хаусдорф кеңістігі болса. Жабық ендіру дұрыс болып табылады. Морфизм шекті болады, егер және тек егер ол дұрыс және квази шекті болса.
Мысалдар
Кез келген натурал сан n үшін, коммутативті сақина R арқылы R-ға проективті кеңістік Pn дұрыс. Проективті морфизмдер дұрыс, бірақ барлық дұрыс морфизмдер проективті емес. Мысалы, 3-өлшемді тегіс күрделі алгебралық сорт бар, ол C-ге проективті емес. К өрісіндегі оң өлшемді аффиндік сорттар k-ға ешқашан дұрыс болмайды. Жалпы алғанда, схемалардың дұрыс аффиндік морфизмі шекті болуы керек. Мысалы, k өрісіндегі A1 аффинді түзудің k үстінен дұрыс емес екенін көру қиын емес, себебі A1 → Spec(k) морфизмі жалпы жабық емес. Шындығында, кері тартылған морфизм (x, y) ↦ y жабық емес, өйткені xy = 1 жабық жиынның A1 × A1 = A2-дегі бейнесі A1 \ {0} болып табылады, ол A1-де жабық емес.
(given by (x,y) ↦ y) is not closed, because the image of the closed subset xy = 1 in A1 × A1 = A2 is A1 − 0, which is not closed in A1.
Өзгеше морфизмдердің қасиеттері мен сипаттамалары
Келесіде f: X → Y схемалардың морфизмі болсын. Екі дұрыс морфизмнің құрамы дұрыс. Дұрыс морфизмнің кез келген негіздік өзгеруі f: X → Y дұрыс болады. Яғни, егер g: Z → Y кез келген схема морфизмі болса, онда алынған морфизм X ×Y Z → Z дұрыс. Дұрыстық – базадағы жергілікті қасиет (Зариски топологиясында). Яғни, егер Y-ді кейбір ашық под-схемалар Yi жапса және f-тің барлық f−1(Yi)-ға шектеуі дұрыс болса, онда f да дұрыс. Керісінше, дұрыстық fpqc топологиясында базада жергілікті. Мысалы, егер X – өріс k үстіндегі схема болса және E – k өрісінің кеңейтілуі болса, онда X, k үстінде дұрыс, егер және тек қана егер XE базалық өзгеруі E үстінде дұрыс болса. Жабық ендірулер дұрыс. Көбінесе, шекті морфизмдер дұрыс. Бұл – жоғары көтерілу теоремасының салдары. Делинье бойынша, схемалардың морфизмі шекті, егер және тек қана егер ол дұрыс және квази шекті болса. Бұны Гротендик көрсеткен, егер f: X → Y морфизмі жергілікті түрде шекті түрде ұсынылса, бұл Y нотериан болғанда басқа болжамдардан туындайды. X, S схемасына сәйкес келсе және Y, S-тен бөлінген болса, кез келген X → Y морфизмінің S үстіндегі бейнесі Y-дің жабық под-жинатығы болады. Бұл топологиядағы теоремаға ұқсас: тығыз кеңістіктен Хаусдорф кеңістігіне дейінгі үздіксіз бейнелеудің бейнесі жабық под-жинатық болады. Штайн факторлау теоремасы бойынша, жергілікті нотериандық схемаға кез келген дұрыс морфизм X → Z → Y түрінде факторланады, мұнда X → Z дұрыс, сюръективті және геометриялық байланысқан талшықтары бар, ал Z → Y шекті. Чоу леммасы дұрыс морфизмдердің проективті морфизмдермен тығыз байланысты екенін айтады. Бір нұсқасы: егер X, Y-дің квази-компакт схемасына сәйкес келсе және X-тің тек шекті түрде азайтылмайтын компоненттері болса (бұл Y нотериан үшін автоматты), онда проективті сюръективті морфизм g: W → X бар, W, Y-ге проективті. Сонымен қатар, g-ні X-тің тығыз ашық U под-жинатығында изоморфизм ретінде және g−1(U)-ды W-де тығыз ретінде орналастыруға болады. X интегралды болса, W да интегралды болады. Делинье жалпылаған Нагатаның тығыздалу теоремасы квази-тығыз және квази-бөлек схемалар арасындағы шекті типтегі бөлінген морфизмді ашық ендіру, содан кейін дұрыс морфизм ретінде анықтайды. Жергілікті нотериандық схемалар арасындағы дұрыс морфизмдер когерентті қаптарды сақтайды, яғни когерентті қаптың жоғары тікелей бейнелері Rif∗(F) (әсіресе тікелей бейне f∗(F)) когерентті (EGA III, 3.2.1) болады. (Сол сияқты, күрделі аналитикалық кеңістіктер арасындағы дұрыс карта үшін Грауерт пен Реммерт жоғары тікелей бейнелер когерентті аналитикалық қаптарды сақтайтынын көрсетті.) Өте ерекше жағдай ретінде: k векторлық кеңістіктегі k өрістегі X схемасындағы тұрақты функциялар сақинасының шекті өлшемдері бар. Керісінше, k-ге аффинді тізбектегі тұрақты функциялар сақинасы k[x] полиномиялық сақинасы болып табылады, ол k векторлық кеңістік ретінде шекті өлшемге ие емес. Бұған біршама күштірек мәлімдеме де бар: f – шекті типтегі морфизм болсын, S жергілікті нотериан және F – модуль. Егер F-тің тірегі S-ке сәйкес келсе, онда әрбір i үшін жоғары тікелей бейне Rif∗(F) когерентті болады. Күрделі сандар бойынша шекті типтегі X схемасы үшін, күрделі нүктелердің жиынтығы X(C) классикалық (Евклидтік) топологияны пайдалана отырып, күрделі аналитикалық кеңістік болады. X және Y бөлінген және C үстінде шекті типтегі болса, f: X → Y үстіндегі C морфизмі дұрыс, егер және тек қана егер үздіксіз карта f: X(C) → Y(C) әрбір тығыз жиынның кері бейнесі тығыз деген мағынада дұрыс болса. Егер f: X→Y және g: Y→Z gf дұрыс және g бөлек болса, онда f дұрыс. Бұл, мысалы, келесі критерийді қолдану арқылы оңай дәлелденуі мүмкін.
More strongly, properness is local on the base in the fpqc topology. For example, if X is a scheme over a field k and E is a field extension of k, then X is proper over k if and only if the base change XE is proper over E.
Closed immersions are proper. More generally, finite morphisms are proper. This is a consequence of the going up theorem. By Deligne, a morphism of schemes is finite if and only if it is proper and quasi finite. This had been shown by Grothendieck if the morphism f: X → Y is locally of finite presentation, which follows from the other assumptions if Y is noetherian. For X proper over a scheme S, and Y separated over S, the image of any morphism X → Y over S is a closed subset of Y. This is analogous to the theorem in topology that the image of a continuous map from a compact space to a Hausdorff space is a closed subset. The Stein factorization theorem states that any proper morphism to a locally noetherian scheme can be factored as X → Z → Y, where X → Z is proper, surjective, and has geometrically connected fibers, and Z → Y is finite. Chow's lemma says that proper morphisms are closely related to projective morphisms. One version is: if X is proper over a quasi compact scheme Y and X has only finitely many irreducible components (which is automatic for Y noetherian), then there is a projective surjective morphism g: W → X such that W is projective over Y. Moreover, one can arrange that g is an isomorphism over a dense open subset U of X, and that g−1(U) is dense in W. One can also arrange that W is integral if X is integral. Nagata's compactification theorem, as generalized by Deligne, says that a separated morphism of finite type between quasi compact and quasi separated schemes factors as an open immersion followed by a proper morphism. Proper morphisms between locally noetherian schemes preserve coherent sheaves, in the sense that the higher direct images Rif∗(F) (in particular the direct image f∗(F)) of a coherent sheaf F are coherent (EGA III, 3.2.1). (Analogously, for a proper map between complex analytic spaces, Grauert and Remmert showed that the higher direct images preserve coherent analytic sheaves.) As a very special case: the ring of regular functions on a proper scheme X over a field k has finite dimension as a k vector space. By contrast, the ring of regular functions on the affine line over k is the polynomial ring k[x], which does not have finite dimension as a k vector space. There is also a slightly stronger statement of this: let be a morphism of finite type, S locally noetherian and a module. If the support of F is proper over S, then for each the higher direct image is coherent. For a scheme X of finite type over the complex numbers, the set X(C) of complex points is a complex analytic space, using the classical (Euclidean) topology. For X and Y separated and of finite type over C, a morphism f: X → Y over C is proper if and only if the continuous map f: X(C) → Y(C) is proper in the sense that the inverse image of every compact set is compact. If f: X→Y and g: Y→Z are such that gf is proper and g is separated, then f is proper. This can for example be easily proven using the following criterion.
Қалыптылықты бағалау критерийі
Шеваллидің тұсында қалыптасқан өте интуитивті критерий бар. Оны әдетте меншіктіліктің бағалау критерийі деп атайды. f: X → Y ноэтериандық схемалардың шекті типтегі морфизмі болсын. Содан кейін f дұрыс, егер және тек егер барлық дискретті бағалау сақиналары үшін R, бөлшектік өрісі K болса, және кез келген K бағаланған x ∈ X(K) нүктесі, f(x) нүктесіне R арқылы анықталған жағдайда, x-тің бірегей көтерілуі болса ғана (EGA II, 7.3.8). Көбірек айтқанда, кез келген X, Y схемаларының f: X → Y шекті типтегі квази-бөлінген морфизмі дұрыс, егер және тек егер барлық бағалау сақиналары үшін R, бөлшектік өрісі K болса, және кез келген K бағаланған x ∈ X(K) нүктесі, f(x) нүктесіне R арқылы анықталған жағдайда, x-тен (Stacks жобасының тегтері 01KF және 01KY) бірегей көтерілу бар. Spec K, Spec R-дің жалпы нүктесі екенін және дискретті бағалау сақиналары – дәл жергілікті бір өлшемді сақиналар екенін ескерсек, критерийді былай қайта формулиреуге болады: Y-дегі тұрақты қисық берілген (s: Spec R → Y морфизміне сәйкес келеді) және осы қисықтың жалпы нүктесі X-ке көтерілген болса, f дұрыс, егер және тек қана қисықты аяқтаудың бір ғана тәсілі болса. Сол сияқты, f бөлінген, егер және тек қана әрбір мұндай диаграммада ең көп дегенде бір көтерілу болса. Мысалы, бағалау критерийін ескере отырып, проекциялық кеңістік Pn өріс үстінде (немесе тіпті Z үстінде) дұрыс екенін тексеру оңай. Бір қарағанда, бөлшектік өрісі K бар дискретті бағалау сақинасы R үшін, проективті кеңістіктің әрбір K нүктесі [x0, , xn] координаттарды масштабтау арқылы R нүктесінен шығады, осылайша барлығы R-де жатады және кем дегенде біреуі R-де бірлік болады.
For example, given the valuative criterion, it becomes easy to check that projective space Pn is proper over a field (or even over Z). One simply observes that for a discrete valuation ring R with fraction field K, every K point [x0, ,xn] of projective space comes from an R point, by scaling the coordinates so that all lie in R and at least one is a unit in R.
Дискілермен геометриялық түсіндіру
Өздіктің бағалау критерийіне мотивация беретін мысалдардың бірі – оны инфинитезимальды диск ретінде, немесе күрделі аналитикалық тұрғыдан, диск ретінде қарастыру. Бұл әрбір қуат қатарының нөл нүктесінің айналасындағы белгілі бір радиусты дискте жинақталуынан туындайды. Содан кейін, координаттарды өзгерту арқылы, оны бірлік дискідегі қуат қатары ретінде көрсетуге болады. Егер оны кері айналдырсақ, онда ол – нөлде полюсі болуы мүмкін қуат қатарларынан тұратын сақина болады. Бұл топологиялық тұрғыдан нөл нүктесі алынып тасталған ашық диск ретінде бейнеленеді. Схемалардың морфизмі үшін, бұл коммутативті диаграммамен беріледі. Содан кейін, меншіктіліктің бағалау критерийі – бұл бейнесіндегі нүктеге толықтыру болады.
Мысал
Қарсы мысалға қарап, дұрыстық критерийінің жабық, компактты коллекторларға ұқсас кеңістіктерде неге орындалуы керек екенін түсінуге болады. Егер біз және алсақ, онда морфизм арқылы аффиндік сызбаның бір бөлігі арқылы ыдырайды, бұл диаграмманы мынаған дейін кемітеді, мұнда - бұл кеңістіктегі нүктесінің айналасындағы сызба. Бұл коммутативті алгебралардың коммутативті диаграммасын береді. Содан кейін схемалар диаграммасын көтеру , алгебралардың коммутативті диаграммасынан жіберілген морфизмнің бар екенін білдіреді. Бұл, әрине, мүмкін емес. Сондықтан бұл кеңістік үстінен дұрыс емес.
Геометриялық интерпретациямен қисықтар
Бұл теореманың неліктен дұрыс болуы керектігінің кейбір түсінігін қамтитын, меншіктіліктің бағалау критерийінің тағы бір ұқсас мысалы бар. Бір қисық пен нүктенің толықтыруын қарастырайық. Онда, меншіктілік үшін бағалау критерийі диаграмма түрінде көрінеді, онда көтеру жасалады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл схемадағы кез келген қисықтың компактты қисыққа толықтырылуы мүмкін екенін білдіреді. Бұл түсінік, топологиялық кеңістіктердің морфизмінің схемалық теориялық түсіндірмесімен сәйкес келеді, яғни компактталған талшықтары бар, және бір талшықтағы тізбектер жинақталуы керек. Бұл геометриялық жағдай жергілікті мәселе болғандықтан, диаграмма жергілікті сақинаны қарастыру арқылы ауыстырылады, ол DVR (бірегей жіктеу домені) және оның бөлшек өрісі болып табылады. Содан кейін, көтеру мәселесі коммутативті диаграмманы береді, онда схема жабық нүктесі алынып тасталған, нүктенің маңындағы жергілікті дискіді көрсетеді.
Формальды схемалардың дұрыс морфизмі
Жергілікті ноэтериандық формальды схемалардың арасындағы морфизм болсын. f морфизмі дұрыс немесе f морфизмі -ге қатысты дұрыс деп айтамыз, егер (i) f адикалық морфизм болса (яғни, анықтама идеалын анықтама идеалына бейнелейді) және (ii) туындаған карта дұрыс болса, мұнда және K – анықтама идеалы. Анықтама K таңдауына тәуелсіз.
Мысалы, егер g: Y → Z жергілікті ноэтериандық схемалардың дұрыс морфизмі болса, Z0 – Z-дің жабық ішкі жиыны, ал Y0 – Y-дің жабық ішкі жиыны және g(Y0) ⊂ Z0 болса, онда формальды толықтанулардағы морфизм формальды схемалардың дұрыс морфизмі болады. Гротендик осы жағдайда когеренттік теореманы дәлелдеді. Атап айтқанда, жергілікті ноэтериандық формальды схемалардың дұрыс морфизмі болсын. Егер F – когерентті шоғыр болса, онда жоғары тікелей бейнелер когерентті болады.