Введение
В алгебраической геометрии правильный морфизм между схемами является аналогом правильного отображения между комплексно-аналитическими пространствами. Некоторые авторы называют полным многообразием над полем k полным многообразием. Например, каждое проективное многообразие над полем k является правильным над k. Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является правильной над C тогда и только тогда, когда пространство X(C) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово. Закрытое погружение является правильным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он правильный и квазиконечный.
Примеры
Для любого натурального числа n проективное пространство Pn над коммутативным кольцом R является собственным над R. Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы являются проективными. Например, существует гладкое собственное комплексное многообразие размерности 3, которое не является проективным над C. Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над k. В более общем случае, собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. Например, легко увидеть, что аффинная прямая A1 над полем k не является собственной над k, поскольку морфизм A1 → Spec(k) не является универсально замкнутым. Действительно, оттянутый морфизм (заданный (x,y) ↦ y) не является замкнутым, потому что образ замкнутого подмножества xy = 1 в A1 × A1 = A2 равен A1 − 0, который не является замкнутым в A1.
(given by (x,y) ↦ y) is not closed, because the image of the closed subset xy = 1 in A1 × A1 = A2 is A1 − 0, which is not closed in A1.
Свойства и характеристики собственных морфизмов
В дальнейшем, пусть f: X → Y будет морфизмом схем. Состав двух собственных морфизмов является собственным. Любое изменение основания собственного морфизма f: X → Y является собственным. То есть, если g: Z → Y – любой морфизм схем, то полученный морфизм X ×Y Z → Z является собственным. Собственность – это локальное свойство на базе (в топологии Зариски). То есть, если Y покрыто некоторыми открытыми подсхемами Yi и ограничение f на все f−1(Yi) является собственным, то и f тоже. Более строго, собственность локальна на базе в топологии fpqc. Например, если X – схема над полем k, а E – расширение поля k, то X является собственным над k, если и только если изменение основания XE является собственным над E. Закрытые погружения являются собственными. В более общем случае, конечные морфизмы являются собственными. Это следствие теоремы о восхождении. Согласно Делиню, морфизм схем конечен, если и только если он является собственным и квазиконечным. Это было показано Гротендиком, если морфизм f: X → Y локально конечно представлен, что следует из других предположений, если Y ноетериан. Для X собственного над схемой S и Y разделенного над S, образ любого морфизма X → Y над S является замкнутым подмножеством Y. Это аналогично теореме в топологии, что образ непрерывного отображения из компактного пространства в пространство Гаусдорфа является замкнутым подмножеством. Теорема о факторизации Штейна утверждает, что любой собственный морфизм в локально ноетерианскую схему можно разложить как X → Z → Y, где X → Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связные волокна, а Z → Y конечен. Лемма Чоу утверждает, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами. Одна из версий: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неразложимых компонент (что автоматически для Y ноетерианской), то существует проективный сюръективный морфизм g: W → X такой, что W является проективным над Y. Более того, можно добиться того, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U из X, и чтобы g−1(U) было плотным в W. Также можно добиться того, чтобы W был интегральным, если X интегральный. Теорема компактификации Нагаты, обобщенная Делинем, утверждает, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиразделенными схемами раскладывается как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм. Собственные морфизмы между локально ноетерианскими схемами сохраняют когерентные пучки, в том смысле, что старшие прямые образы Rif∗(F) (в частности, прямой образ f∗(F)) когерентного пучка F являются когерентными (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для собственного отображения между комплексными аналитическими пространствами, Грауэрт и Реммерт показали, что старшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) В качестве частного случая: кольцо регулярных функций на собственной схеме X над полем k имеет конечную размерность как векторное пространство над k. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k является кольцом многочленов k[x], которое не имеет конечной размерности как векторное пространство над k. Существует также немного более сильное утверждение: пусть f – морфизм конечного типа, S локально ноетериан, а F – модуль. Если носитель F является собственным над S, то для каждого i старший прямой образ Ri f∗(F) является когерентным. Для схемы X конечного типа над комплексными числами, множество X(C) комплексных точек является комплексным аналитическим пространством, используя классическую (евклидову) топологию. Для X и Y разделенных и конечного типа над C, морфизм f: X → Y над C является собственным, если и только если непрерывное отображение f: X(C) → Y(C) является собственным в том смысле, что прообраз каждого компактного множества является компактным. Если f: X→Y и g: Y→Z такие, что gf является собственным и g разделена, то f является собственным. Это, например, можно легко доказать, используя следующий критерий.
More strongly, properness is local on the base in the fpqc topology. For example, if X is a scheme over a field k and E is a field extension of k, then X is proper over k if and only if the base change XE is proper over E.
Closed immersions are proper. More generally, finite morphisms are proper. This is a consequence of the going up theorem. By Deligne, a morphism of schemes is finite if and only if it is proper and quasi finite. This had been shown by Grothendieck if the morphism f: X → Y is locally of finite presentation, which follows from the other assumptions if Y is noetherian. For X proper over a scheme S, and Y separated over S, the image of any morphism X → Y over S is a closed subset of Y. This is analogous to the theorem in topology that the image of a continuous map from a compact space to a Hausdorff space is a closed subset. The Stein factorization theorem states that any proper morphism to a locally noetherian scheme can be factored as X → Z → Y, where X → Z is proper, surjective, and has geometrically connected fibers, and Z → Y is finite. Chow's lemma says that proper morphisms are closely related to projective morphisms. One version is: if X is proper over a quasi compact scheme Y and X has only finitely many irreducible components (which is automatic for Y noetherian), then there is a projective surjective morphism g: W → X such that W is projective over Y. Moreover, one can arrange that g is an isomorphism over a dense open subset U of X, and that g−1(U) is dense in W. One can also arrange that W is integral if X is integral. Nagata's compactification theorem, as generalized by Deligne, says that a separated morphism of finite type between quasi compact and quasi separated schemes factors as an open immersion followed by a proper morphism. Proper morphisms between locally noetherian schemes preserve coherent sheaves, in the sense that the higher direct images Rif∗(F) (in particular the direct image f∗(F)) of a coherent sheaf F are coherent (EGA III, 3.2.1). (Analogously, for a proper map between complex analytic spaces, Grauert and Remmert showed that the higher direct images preserve coherent analytic sheaves.) As a very special case: the ring of regular functions on a proper scheme X over a field k has finite dimension as a k vector space. By contrast, the ring of regular functions on the affine line over k is the polynomial ring k[x], which does not have finite dimension as a k vector space. There is also a slightly stronger statement of this: let be a morphism of finite type, S locally noetherian and a module. If the support of F is proper over S, then for each the higher direct image is coherent. For a scheme X of finite type over the complex numbers, the set X(C) of complex points is a complex analytic space, using the classical (Euclidean) topology. For X and Y separated and of finite type over C, a morphism f: X → Y over C is proper if and only if the continuous map f: X(C) → Y(C) is proper in the sense that the inverse image of every compact set is compact. If f: X→Y and g: Y→Z are such that gf is proper and g is separated, then f is proper. This can for example be easily proven using the following criterion.
Оценочный критерий соответствия
Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Шевалье. Он обычно называется оценочным критерием правильности. Пусть f: X → Y – морфизм конечного типа ноэтерианских схем. Тогда f является правильным тогда и только тогда, когда для всех дискретных колец оценки R с полем дробей K и для любой K-значной точки x ∈ X(K), которая отображается в точку f(x), определенную над R, существует единственный подъем x (EGA II, 7.3.8). В более общем случае, квази-разделенный морфизм f: X → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квази-компактность) для любых схем X, Y является правильным тогда и только тогда, когда для всех колец оценки R с полем дробей K и для любой K-значной точки x ∈ X(K), которая отображается в точку f(x), определенную над R, существует единственный подъем x (Stacks project Tags 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является общей точкой Spec R, а дискретные кольца оценки – это как раз регулярные локальные одномерные кольца, можно перефразировать критерий: задана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s: Spec R → Y) и задан подъем общей точки этой кривой в X, f является правильной тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую. Аналогично, f является разделенным тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме существует не более одного подъема. Например, с учетом оценочного критерия, легко проверить, что проективное пространство Pn является правильным над полем (или даже над Z). Достаточно заметить, что для дискретного кольца оценки R с полем дробей K каждая K-точка [x0, ..., xn] проективного пространства происходит из R-точки, путем масштабирования координат так, чтобы все они лежали в R и хотя бы одна из них была обратимым элементом в R.
For example, given the valuative criterion, it becomes easy to check that projective space Pn is proper over a field (or even over Z). One simply observes that for a discrete valuation ring R with fraction field K, every K point [x0, ,xn] of projective space comes from an R point, by scaling the coordinates so that all lie in R and at least one is a unit in R.
Геометрическая интерпретация с помощью дисков
Одним из мотивирующих примеров для оценочного критерия правильности является интерпретация как бесконечно малого диска, или, аналитически, как диска Это следует из того факта, что каждый степенной ряд сходится в некотором диске радиуса вокруг начала координат. Затем, используя замену координат, это можно выразить как степенной ряд на единичном диске. Если же мы инвертируем , то получим кольцо , состоящее из степенных рядов, которые могут иметь полюс в начале координат. Топологически это представляется как открытый диск с удалённой точкой начала координат. Для морфизма схем над , это задаётся коммутативной диаграммой. Тогда оценочный критерий правильности заключается в дополнении точки в образе .
Пример
Показательно рассмотреть контрпример, чтобы понять, почему валуативный критерий пруности должен выполняться для пространств, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм факторизуется через аффинную окрестность , сводя диаграмму к виду, где – окрестность, центрированная в . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр. Тогда поднятие диаграммы схем, , подразумевало бы существование морфизма , отправляющего из коммутативной диаграммы алгебр. Это, очевидно, невозможно. Следовательно, не является пруностным над .
Геометрическая интерпретация с кривыми
Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия пруфности, который передает часть интуиции, объясняющей, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую и дополнение точки. Тогда оценочный критерий пруфности можно сформулировать как диаграмму с поднятием. Геометрически это означает, что любую кривую в схеме можно дополнить до компактной кривой. Эта интуиция согласуется со схемо-теоретической интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными волокнами, а именно с тем, что последовательность в одном из волокон должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является локальной проблемой, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца, которое является областью главных идеалов, и ее поля частных. Тогда задача поднятия приводит к коммутативной диаграмме, где схема представляет собой локальный диск вокруг с удаленной замкнутой точкой.
Правильный морфизм формальных схем
Пусть f – морфизм между локально нётеровыми формальными схемами. Мы говорим, что f является проперным, или f проперно над Y, если (i) f является адическим морфизмом (т.е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение является проперным, где и K – идеал определения. Определение не зависит от выбора K.
Например, если g: Y → Z – проперный морфизм локально нётеровых схем, Z0 – замкнутое подмножество Z, а Y0 – замкнутое подмножество Y такое, что g(Y0) ⊆ Z0, то морфизм на формальных дополнениях является проперным морфизмом формальных схем. Гротендик доказал теорему о когерентности в этой ситуации. А именно, пусть f – проперный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F – когерентный пучок на Y, то старшие прямые образы когерентны.