Кіріспе
Коммутативтік алгебрадағы дифференциалдық формалар. Математикада Кэхлер дифференциалдары кез келген коммутативтік сақиналарға немесе схемаларға дифференциалдық формаларды бейімдеуге мүмкіндік береді. Бұл ұғымды 1930 жылдары Эрих Кэхлер енгізген. Ол кейінірек коммутативтік алгебра мен алгебралық геометрияда стандартты түсінік ретінде қабылданып, себебі күрделі сандардағы есептеулер мен геометриядан алынған әдістерді осындай әдістер қолдануға болмайтын жағдайларға бейімдеу қажеттігі туындады.
In mathematics, Kähler differentials provide an adaptation of differential forms to arbitrary commutative rings or schemes. The notion was introduced by Erich Kähler in the 1930s. It was adopted as standard in commutative algebra and algebraic geometry somewhat later, once the need was felt to adapt methods from calculus and geometry over the complex numbers to contexts where such methods are not available.
Анықтама
R және S коммутативті сақиналар болсын, ал φ: R → S – сақина гомоморфизмі. Маңызды мысал – R өріс және S – R үстіндегі бірлік алгебра (мысалы, аффиндік сан алуандықтың координаттық сақинасы). Кэхлер дифференциалдары полиномдардың туындылары да полиномдар болатынын формалдайды. Осы тұрғыдан алғанда, дифференциация – таза алгебралық терминдермен өрнектелетін ұғым. Бұл байқауды дифференциалдар модулінің анықтамасын алу үшін әртүрлі, бірақ эквивалентті тәсілдерді қолдануға болады.
of differentials in different, but equivalent ways.
Шекті ажыратылатын өрістің кеңейтулері
Егер шекті өріс кеңейтілуі болса, онда ғана бөлінетін болады. Осыдан келіп, егер - шекті бөлінетін өріс кеңейтілуі және - тегіс түрлілік (немесе схема) болса, онда салыстырмалы котангенттік тізбек
дәлелдейді.
Каноникалық бөлгіш
Егер X – k өрісіндегі тегіс алгебралық сан болса, онда X өлшеміне тең дәрежелі векторлық бумбл (яғни, жергілікті бос модуль) болады. Бұл, әсіресе, сызықтық бумбл немесе, эквивалентті түрде, бөлгіш екенін білдіреді. Ол каноникалық бөлгіш деп аталады. Каноникалық бөлгіш, шын мәнінде, дуализациялық кешен болып табылады және сондықтан алгебралық геометриядағы Серре дуалдығы немесе Вердие дуалдығы сияқты маңызды теоремаларда кездеседі.
is a line bundle or, equivalently, a divisor. It is referred to as the canonical divisor. The canonical divisor is, as it turns out, a dualizing complex and therefore appears in various important theorems in algebraic geometry such as Serre duality or Verdier duality.
Тангенттік түйін және Риманның Рох теоремасы
X тегіс түрлігінің тангенс жиынтығы, анықтама бойынша, котангенс жиынтығының дуалы болып табылады. Риманн-Рох теоремасы және оның кең ауқымды жалпыламасы, Гротендик-Риманн-Рох теоремасы, тангенс жиынтығының Тодд класын маңызды құрамдас бөлігі ретінде қамтиды.
Жаңылмаған және тегіс морфизмдер
Дифференциалдар жинағы әр түрлі алгебралық-геометриялық ұғымдармен байланысты. Схемалардың морфизмі тармақталмаған, егер және тек қана дифференциалы нөлге тең болса. Бұл тұжырымның ерекше жағдайы – k өрісі үшін, k-ға қатысты ажыратылатындығы (separable) осы есептеуден де көрінеді. Аяқты типтегі f морфизмі, егер ол жазық болса және дифференциалы тиісті рангдағы жергілікті бос модуль болса, тегіс морфизм болып табылады. Жоғарыдағы есептеу, аффиндік кеңістіктен проекцияның тегіс екенін көрсетеді.
Алгебралық сандар теориясы
Алгебралық сандар теориясында Кэхлер дифференциалдары алгебралық сандар өрістерінің кеңейтуіндегі тармақтануды зерттеу үшін қолданылуы мүмкін. Егер L / K шекті кеңейту болса, оның бүтін сандарының сақиналары R және S болса, онда тармақталу деректерін кодтайтын δL / K айырмашылық идеалы, R модулі ΩR/S-тің жойғышы болып табылады.
Қарым-қатынас ұғымдары
Хокшильд гомологиясы – ассоциативтік сақиналар үшін гомология теориясы болып табылады, ол Келер дифференциалдарымен тығыз байланысты. Бұл Хошшильд-Костант-Розенберг теоремасының нәтижесінде туындайды, ол гладко түрлінің алгебрасының Хокшильд гомологиясының сипаттамасы А-ға тең емес дала үшін туынды де Рам кешеніне изоморфты екенін көрсетеді. Осы теореманың туынды кеңейтілуі Хокшильд гомологиясының дифференциалды бағаланған алгебраға туынды де Рам кешеніне изоморфты екенін айтады. Де-Рам-Витт кешені – Витт векторларының сақинасы үшін де Рам кешенінің өте жуық айтқанда кеңейтілген түрі.