Введение

Дифференциальные формы в коммутативной алгебре
В математике дифференциалы Кэлера предоставляют адаптацию дифференциальных форм к произвольным коммутативным кольцам или схемам. Это понятие было введено Эрихом Кэ́лером в 1930-х годах. Оно стало общепринятым в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии несколько позже, когда возникла потребность адаптировать методы дифференциального и интегрального исчисления, а также геометрии над комплексными числами к ситуациям, где эти методы неприменимы.

Определение

Пусть R и S — коммутативные кольца, а φ: R → S — гомоморфизмом колец. Важным примером является случай, когда R — поле, а S — унитальная алгебра над R (например, кольцо координат аффинного многообразия). Дифференциалы Кэлера формализуют наблюдение о том, что производные многочленов снова являются многочленами. В этом смысле дифференцирование — понятие, которое можно выразить исключительно алгебраическими средствами. Это наблюдение можно использовать для определения модуля дифференциалов различными, но эквивалентными способами.

Конечные отделяемые расширения поля

Если K/F — конечное расширение поля, то K/F является сепарабельным тогда и только тогда, когда F является полем характеристики 0 или степень [K:F] не делится на характеристику F. Следовательно, если K/F — конечное сепарабельное расширение поля и X — гладкое многообразие (или схема), то относительная котангентная последовательность доказывает, что R^1 f_* Ω_X^1 = 0.

Канонический делитель

Если X – гладкое многообразие над полем k, то ΩX является векторным расслоением (т. е. локально свободным модулем) ранга, равного размерности X. Это, в частности, означает, что ΩX является прямым расслоением или, эквивалентно, делителем. Он называется каноническим делителем. Канонический делитель, как оказывается, является дуализирующим комплексом и поэтому появляется в различных важных теоремах алгебраической геометрии, таких как дуальность Серра или дуальность Вердье.

Тангентная пучка и теорема Римана Роха

Тангенциальный расслоение гладкого многообразия X, по определению, является двойственным к кокасательному расслоению. Теорема Римана — Роха и её далеко идущее обобщение, теорема Гротендика — Римана — Роха, содержат в качестве важнейшего элемента класс Тодда тангенциального расслоения.

Неразветвленные и гладкие морфизмы

Снопы дифференциалов связаны с различными алгебро-геометрическими понятиями. Морфизм схем является неразветвленным тогда и только тогда, когда равен нулю. Частным случаем этого утверждения является то, что для поля k, расширение является сепарабельным над k тогда и только тогда, когда , что также следует из вышеприведенного вычисления. Морфизм f конечного типа является гладким, если он плоский и если является локально свободным модулем подходящего ранга. Вышеприведенное вычисление показывает, что проекция из аффинного пространства является гладкой.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел дифференциалы Келера могут быть использованы для изучения ветвления в расширении алгебраических числовых полей. Если L/K – конечное расширение с кольцами целых чисел R и S соответственно, то дифференциальный идеал δL/K, кодирующий данные о ветвлении, является аннигилятором модуля ΩR/S над R.

Связанные понятия

Гомология Хохшильда — это теория гомологии для ассоциативных колец, которая тесно связана с дифференциалами Кэлера. Это обусловлено теоремой Хохшильда — Костанта — Розенберга, утверждающей, что гомология Хохшильда алгебры гладкого многообразия изоморфна комплексу де Рама для поля характеристики А. Более точная формулировка этой теоремы гласит, что гомология Хохшильда дифференциально градуированной алгебры изоморфна производному комплексу де Рама. Комплекс де Рама — Витта является, в очень грубом приближении, усилением комплекса де Рама для кольца векторов Витта.