Кіріспе
Жинақтар теориясының аксиомасы
Аксиомалық жинақтар теориясында, бос жинақтың аксиомасы – элементтері жоқ жинақтың бар екенін бекітетін тұжырым. Бұл Крипке-Платек жинақтар теориясының және Бурджесс (2005) "ST" деп атаған жалпы жинақтар теориясының түрі, сондай-ақ Цермело жинақтар теориясы мен Цермело-Френкель жинақтар теориясында, таңдау аксиомасы болсын немесе болмасын, дәлелмен расталатын шындық.
Интерпретация
Біз экстенсионалдылық аксиомасын тек бір бос жиын бар екенін көрсету үшін қолдана аламыз. Оның бірегейлігі соншалық, оған атау беруге болады. Ол бос жиын деп аталады ( { } немесе ∅ арқылы белгіленеді). Табиғи тілмен айтылған аксиоманың мәні мынада: Бос жиын бар. Бұл формула теорема болып табылады және жиын теориясының барлық нұсқаларында дұрыс деп есептеледі. Дау тек оның қалай негізделуі керек екендігінде: аксиома ретінде қабылдау; оны жиынның бар екендігі туралы аксиомадан (немесе логикадан) және бөлу аксиомасынан тудыру; оны шексіздік аксиомасынан тудыру; немесе басқа әдіс қолдану. ZF-тың кейбір тұжырымдамаларында бос жиын аксиомасы шексіздік аксиомасында қайталанады. Дегенмен, бұл аксиоманың бос жиынның бар екенін алдын ала болжайтын басқа да тұжырымдамалары бар. ZF аксиомаларын бос жиынды білдіретін тұрақты символ арқылы да жазуға болады; содан кейін шексіздік аксиомасы осы символды бос болуын міндетті етпей пайдаланады, ал бос жиын аксиомасы оның шын мәнінде бос екенін көрсету үшін қажет. Сонымен қатар, кейде шексіз жиындар жоқ жиын теорияларын қарастырады, және онда бос жиын аксиомасы әлі де қажет болуы мүмкін. Алайда, кез келген жиынның бар екендігін білдіретін жиын теориясының немесе логиканың кез келген аксиомасы, егер бөлу аксиомалық схемасы болса, бос жиынның бар екендігін білдіреді. Бұл рас, себебі бос жиын – қарама-қайшылықты формулаға сәйкес келетін элементтерден тұратын кез келген жиынның кіші жиыны. Бірінші реттік предикаттық логиканың көптеген тұжырымдамаларында кем дегенде бір объектінің бар екендігі кепілдендіріледі. Егер жиын теориясының аксиомалық жүйесі аксиомалар ретінде бөлудің аксиомалық схемасын қамтитын логикалық жүйеде құрылса, және егер теория жиындар мен басқа да нысандар арасында ешқандай айырмашылық жасамаса (ZF, KP және ұқсас теориялар үшін), онда бос жиынның бар екендігі теорема болып табылады. Егер бөлу аксиомалық схема ретінде қабылданбаса, бірақ ауыстыру схемасынан теоремалық схема ретінде туындаса (кейде осылай жасалады), жағдай күрделірек болады және ауыстыру схемасының нақты тұжырымдамасына байланысты болады. Ауыстыру схемасының аксиомалық схемасында қолданылатын тұжырымдама F[a] кескінін тек қана a F кластық функциясының доменінде болғанда ғана құруға мүмкіндік береді; содан кейін бөлуді тудыру үшін бос жиын аксиомасы қажет. Екінші жағынан, F-тің толықтығы туралы шектеу көбінесе ауыстыру схемасынан алынып тасталады, бұл жағдайда ол бос жиын аксиомасын (немесе осы мәселе бойынша кез келген басқа аксиоманы) пайдаланбай, бөлу схемасын білдіреді.
An empty set exists. This formula is a theorem and considered true in every version of set theory. The only controversy is over how it should be justified: by making it an axiom; by deriving it from a set existence axiom (or logic) and the axiom of separation; by deriving it from the axiom of infinity; or some other method. In some formulations of ZF, the axiom of empty set is actually repeated in the axiom of infinity. However, there are other formulations of that axiom that do not presuppose the existence of an empty set. The ZF axioms can also be written using a constant symbol representing the empty set; then the axiom of infinity uses this symbol without requiring it to be empty, while the axiom of empty set is needed to state that it is in fact empty. Furthermore, one sometimes considers set theories in which there are no infinite sets, and then the axiom of empty set may still be required. However, any axiom of set theory or logic that implies the existence of any set will imply the existence of the empty set, if one has the axiom schema of separation. This is true, since the empty set is a subset of any set consisting of those elements that satisfy a contradictory formula. In many formulations of first order predicate logic, the existence of at least one object is always guaranteed. If the axiomatization of set theory is formulated in such a logical system with the axiom schema of separation as axioms, and if the theory makes no distinction between sets and other kinds of objects (which holds for ZF, KP, and similar theories), then the existence of the empty set is a theorem. If separation is not postulated as an axiom schema, but derived as a theorem schema from the schema of replacement (as is sometimes done), the situation is more complicated, and depends on the exact formulation of the replacement schema. The formulation used in the axiom schema of replacement article only allows to construct the image F[a] when a is contained in the domain of the class function F; then the derivation of separation requires the axiom of empty set. On the other hand, the constraint of totality of F is often dropped from the replacement schema, in which case it implies the separation schema without using the axiom of empty set (or any other axiom for that matter).