Введение

Аксиома теории множеств

В аксиоматической теории множеств аксиома о пустом множестве – это утверждение, постулирующее существование множества, не содержащего элементов. Она является аксиомой теории множеств Крипке–Платека и вариантом общей теории множеств, который Берджесс (2005) называет "ST", а также доказуемой истиной в теории множеств Зермело и теории множеств Зермело–Френкеля, с аксиомой выбора или без неё.

Интерпретация

Мы можем использовать аксиому экстенсиональности, чтобы показать, что существует только одно пустое множество. Поскольку оно уникально, мы можем дать ему имя. Оно называется пустым множеством (обозначается { } или ∅). Аксиома, сформулированная на естественном языке, по сути заключается в следующем:
Пустое множество существует. Эта формула является теоремой и считается истинной во всех версиях теории множеств. Единственные разногласия касаются того, как её следует обосновать: постулируя её как аксиому; выводя её из аксиомы существования множества (или логики) и аксиомы выделения; выводя её из аксиомы бесконечности; или каким-либо другим способом. В некоторых формулировках ZF аксиома пустого множества фактически повторяется в аксиоме бесконечности. Однако существуют и другие формулировки этой аксиомы, которые не предполагают существования пустого множества. Аксиомы ZF также могут быть записаны с использованием постоянного символа, представляющего пустое множество; тогда аксиома бесконечности использует этот символ, не требуя, чтобы он был пустым, в то время как аксиома пустого множества необходима для утверждения, что он действительно пуст. Более того, иногда рассматриваются теории множеств, в которых нет бесконечных множеств, и в этом случае аксиома пустого множества все равно может потребоваться. Однако любая аксиома теории множеств или логики, которая подразумевает существование какого-либо множества, будет подразумевать существование пустого множества, если имеется аксиома-схема выделения. Это верно, поскольку пустое множество является подмножеством любого множества, состоящего из тех элементов, которые удовлетворяют противоречивой формуле. Во многих формулировках логики предикатов первого порядка всегда гарантируется существование хотя бы одного объекта. Если аксиоматизация теории множеств сформулирована в такой логической системе с аксиомой-схемой выделения в качестве аксиом, и если теория не различает множества и другие виды объектов (что справедливо для ZF, KP и подобных теорий), то существование пустого множества является теоремой. Если выделение не постулируется как схема аксиом, а выводится как схема теорем из схемы замены (как это иногда делается), ситуация более сложная и зависит от точной формулировки схемы замены. Формулировка, используемая в статье об аксиоматической схеме замены, позволяет построить образ F[a] только тогда, когда a содержится в области определения класс-функции F; тогда вывод выделения требует аксиомы пустого множества. С другой стороны, требование полноты F часто опускается из схемы замены, в этом случае она подразумевает схему выделения без использования аксиомы пустого множества (или какой-либо другой аксиомы).