Кіріспе
Математикадағы функциялардың векторлық кеңістігі. Математикада, Соболев кеңістігі – функцияның Lp нормаларының және белгілі бір ретке дейінгі оның туындыларының комбинациясы болып табылатын нормамен жабдықталған функциялардың векторлық кеңістігі. Туындылар кеңістікті толық, яғни Банах кеңістігін жасау үшін тиісті әлсіз мағынада түсініледі. Интуитивті түрде, Соболев кеңістігі – жартылай дифференциалдық теңдеулер сияқты қолдану саласы үшін жеткілікті көп туындылары бар функциялардың кеңістігі және функцияның мөлшері мен реттелігін өлшейтін нормамен жабдықталған. Соболев кеңістіктері орыс математигі Сергей Соболевтің құрметіне аталған. Олардың маңыздылығы сонда, кейбір маңызды жартылай дифференциалдық теңдеулердің әлсіз шешімдері тиісті Соболев кеңістіктерінде болады, тіпті классикалық мағынада түсінілген туындылары бар үздіксіз функциялар кеңістіктерінде күшті шешімдер болмаған жағдайда да.
In mathematics, a Sobolev space is a vector space of functions equipped with a norm that is a combination of Lp norms of the function together with its derivatives up to a given order. The derivatives are understood in a suitable weak sense to make the space complete, i. e. a Banach space. Intuitively, a Sobolev space is a space of functions possessing sufficiently many derivatives for some application domain, such as partial differential equations, and equipped with a norm that measures both the size and regularity of a function. Sobolev spaces are named after the Russian mathematician Sergei Sobolev. Their importance comes from the fact that weak solutions of some important partial differential equations exist in appropriate Sobolev spaces, even when there are no strong solutions in spaces of continuous functions with the derivatives understood in the classical sense.
Басқа мысалдар
Бір өлшемде кейбір басқа Соболев кеңістіктерін қарапайым түрде сипаттауға болады. Мысалы, (0, 1) аралығында абсолютті үздіксіз функциялар кеңістігі (немесе, дәлірек айтқанда, дерлік барлық жерде осындай функцияларға тең функциялардың эквиваленттілік кластары), ал I кез келген интервал үшін I аралығында шектелген Липшиц функцияларының кеңістігі болып табылады. Дегенмен, бұл қасиеттер бірнеше айнымалы функциялар үшін жоғалады немесе оңайрақ болмайды. Барлық кеңістіктері (нормаланған) алгебралар болып табылады, яғни екі элементтің көбейтіндісі қайтадан осы Соболев кеңістігінің функциясы болады, бұл кеңістігі үшін орын алмайды (мысалы, нөлде |x|−1/3 сияқты мінез-құлық көрсететін функциялар кеңістігіне жатады, бірақ мұндай екі функцияның көбейтіндісі оған жатпайды).
Мысалдар
Жоғары өлшемдерде, мысалы, тек үздіксіз функциялар ғана кіретіні рас емес. Мысалы, үш өлшемді бірлік шарды қарастырайық. бұл жағдайда кеңістік тек үздіксіз функцияларды ғана қамтиды, бірақ бұл қазірдің өзінде шындық болып табылады және өлшемге де, n-нің мәніне де байланысты. Мысалы, n өлшемді шардың ішінде анықталған функция үшін сфералық полярлық координаттарды қолданып, оңай тексеруге болады:
Интуитивті түрде, f функциясы 0 нүктесінде "жарылғанда" n үлкен болған сайын бұл жарылудың әсері азаяды, себебі жоғары өлшемдерде бірлік шардың "сыртқы беті ішкі бетінен гөрі көбірек" болады.
Соболев функцияларының абсолютті үздіксіз сызықтардағы (ACL) сипаттамалары
Егер функция болса, онда мүмкін функцияны нөлдік өлшемді жиынтықта өзгерткеннен кейін, координата бағыттарына параллель дерлік барлық түзулерге шектеу абсолюттік үздіксіз болады; одан да көп, координата бағыттарына параллель түзулер бойындағы классикалық туындысы жатады. Керісінше, егер координата бағыттарына параллель дерлік барлық түзулерге шектеу абсолюттік үздіксіз болса, онда нүктелік градиент дерлік барлық жерде бар, және жағдайында жатады. Атап айтқанда, осы жағдайда функцияның нүктелік дерінелі туындылары және нүктелік дерінелі туындылары дерлік барлық жерде сәйкес келеді. Соболев кеңістіктерінің ACL сипаттамасын Отто М. Никодим (1933) жасаған; қараңыз. функциясы нөлдік өлшемді жиынтықта өзгертілгеннен кейін, Морей теңсіздігі бойынша экспонентасы Холдер үздіксіздігіне ие болғанда, күшті нәтиже орын алады. Атап айтқанда, егер және функцияның Липшиц шекарасы болса, онда функция Липшиц үздіксіз болады.
A stronger result holds when A function in is, after modifying on a set of measure zero, Hölder continuous of exponent by Morrey's inequality. In particular, if and has Lipschitz boundary, then the function is Lipschitz continuous.
p = 2 жағдайы
Кеңейту операторлары – бүтін емес s үшін анықтаудың ең табиғи жолы (Фурье түрлендіруі жаһандық операция болғандықтан, біз тікелей осымен жұмыс істей алмаймыз). Біз операторды егер және тек қана егер деп анықтаймыз. Балама ретінде, күрделі интерполяция кеңейту операторы бар болған жағдайда бірдей кеңістіктерді береді. Егер кеңейту операторы болмаса, кеңістіктерді алудың жалғыз жолы – күрделі интерполяция. Осының нәтижесінде интерполяциялық теңсіздік күшінде қалады.
Соболевтің кіріктіруі
Соболев функциясы үздіксіз немесе тіпті үздіксіз дифференциалданатын болатындығы туралы сұрақ туындайды. Шамамен айтқанда, жеткілікті көп әлсіз туындылар (яғни үлкен k) классикалық туындыға алып келеді. Бұл идея жалпыланып, Соболев кіріктіру теоремасында нақтыланады. n өлшемді компактты Риманн көптігінің Соболев кеңістігін былай жазайық: . Мұнда k кез келген нақты сан болуы мүмкін, ал 1 ≤ p ≤ ∞. (p = ∞ үшін Соболев кеңістігі Cn,α деп анықталады, мұнда k = n + α және 0 < α ≤ 1.) Соболев кіріктіру теоремасы егер және болса, онда және кіріктіру үздіксіз болады демекші. Сонымен қатар, егер және болса, онда кіріктіру толық үздіксіз болады (бұл кейде Кондрахов теоремасы немесе Реллих-Кондрахов теоремасы деп аталады). функцияларының m-ден төмен реттік барлық туындылары үздіксіз болады, сондықтан бұл әртүрлі туындылардың үздіксіз болуы үшін Соболев кеңістіктеріндегі шарттарды анықтайды. Формальды емес айтуынша, бұл кіріктірулер Lp есебін шекті есепке ауыстыру үшін өлшем бірлігіне 1/p туынды жұмсалады дегенді білдіреді. Сымқыл емес көпқырлылар үшін кіріктіру теоремасының ұқсас түрлері бар, мысалы, компакт емес Соболев кіріктірулері көбінесе байланысты, бірақ әлсіз кокомпакттылық қасиетіне ие.
and the embedding is continuous. Moreover, if and then the embedding is completely continuous (this is sometimes called Kondrachov's theorem or the Rellich–Kondrachov theorem). Functions in have all derivatives of order less than m continuous, so in particular this gives conditions on Sobolev spaces for various derivatives to be continuous. Informally these embeddings say that to convert an Lp estimate to a boundedness estimate costs 1/p derivatives per dimension. There are similar variations of the embedding theorem for non compact manifolds such as Sobolev embeddings on that are not compact often have a related, but weaker, property of cocompactness.