Введение
Векторное пространство функций в математике
В математике, пространство Соболева — это векторное пространство функций, снабжённое нормой, являющейся комбинацией Lp-норм функции вместе с её производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем обобщённом смысле, чтобы пространство было полным, то есть являлось пространством Банаха. Интуитивно, пространство Соболева — это пространство функций, обладающих достаточным количеством производных для определённой области применения, такой как уравнения в частных производных, и снабжённое нормой, которая измеряет как величину, так и гладкость функции. Пространства Соболева названы в честь русского математика Сергея Соболева. Их значимость обусловлена тем, что слабые решения некоторых важных уравнений в частных производных существуют в соответствующих пространствах Соболева, даже когда сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными в классическом понимании не существует.
In mathematics, a Sobolev space is a vector space of functions equipped with a norm that is a combination of Lp norms of the function together with its derivatives up to a given order. The derivatives are understood in a suitable weak sense to make the space complete, i. e. a Banach space. Intuitively, a Sobolev space is a space of functions possessing sufficiently many derivatives for some application domain, such as partial differential equations, and equipped with a norm that measures both the size and regularity of a function. Sobolev spaces are named after the Russian mathematician Sergei Sobolev. Their importance comes from the fact that weak solutions of some important partial differential equations exist in appropriate Sobolev spaces, even when there are no strong solutions in spaces of continuous functions with the derivatives understood in the classical sense.
Другие примеры
В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, является пространством абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (или, точнее, классов эквивалентности функций, почти всюду равных таким), а – пространством ограниченных липшицевых функций на любом интервале I. Однако эти свойства теряются или становятся сложнее для функций более чем одной переменной. Все пространства являются (нормированными) алгебрами, то есть произведение двух элементов снова является функцией из этого пространства Соболева, что неверно для (например, функции, поведение которых вблизи начала координат описывается как |x|−1/3, принадлежат , но произведение двух таких функций не принадлежит ).
Примеры
В более высоких измерениях уже неверно, что, например, содержит только непрерывные функции. Например, где — единичный шар в трех измерениях. Для , пространство будет содержать только непрерывные функции, но для каких значений это справедливо, зависит как от , так и от размерности. Например, как легко проверить, используя сферические полярные координаты для функции, определенной на n-мерном шаре, имеем:
Интуитивно, взрыв функции f в точке 0 "имеет меньший вес", когда n велико, поскольку единичный шар в более высоких измерениях имеет "большую поверхность и меньший объем".
Абсолютно непрерывная на линиях (ACL) характеристика функций Соболева
Если функция принадлежит , то, возможно, после модификации функции на множестве меры нуль, ограничение почти на каждой прямой, параллельной координатным направлениям в , является абсолютно непрерывным; более того, классическая производная вдоль прямых, параллельных координатным направлениям, принадлежит . Обратно, если ограничение функции на почти каждой прямой, параллельной координатным направлениям, является абсолютно непрерывным, то точечный градиент существует почти всюду, и функция принадлежит , при условии . В частности, в этом случае слабые частные производные и точечные частные производные функции совпадают почти всюду. Характеризация ACL для пространств Соболева была установлена Отто М. Никодимом (1933); см. Более сильный результат справедлив, когда функция принадлежит . Функция из , после модификации на множестве меры нуль, является непрерывной по Гёльдеру с показателем , согласно неравенству Моррея. В частности, если и имеет границу Липшица, то функция является липшицевой.
A stronger result holds when A function in is, after modifying on a set of measure zero, Hölder continuous of exponent by Morrey's inequality. In particular, if and has Lipschitz boundary, then the function is Lipschitz continuous.
Случай с p = 2
Операторы расширения — наиболее естественный способ определить для нецелых s (мы не можем работать непосредственно с этим, поскольку преобразование Фурье — глобальная операция). Мы определяем следующим образом: если и только если. Эквивалентно, комплексная интерполяция дает те же пространства, пока у пространства есть оператор расширения. Если оператора расширения не существует, то комплексная интерполяция — единственный способ получить эти пространства. В результате, неравенство интерполяции по-прежнему выполняется.
Встраивания Соболева
Естественным является вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточное количество слабых производных (т.е. большое k) приводит к классической производной. Эта идея обобщается и уточняется в теореме вложения Соболева. Обозначим через пространство Соболева на некотором компактном римановом многообразии размерности n. Здесь k может быть любым действительным числом, и 1 ≤ p ≤ ∞. (Для p = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гёльдера Cn,α, где k = n + α и 0 < α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и , то
и вложение непрерывно. Более того, если и , то вложение является полностью непрерывным (это иногда называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха — Кондрахова). Функции в имеют все производные порядка, меньшего m, непрерывными, поэтому, в частности, это даёт условия на пространства Соболева для обеспечения непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят о том, что для перехода от оценки Lp к оценке ограниченности требуется 1/p производных на размерность. Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, такие как вложения Соболева на , которые не компактны, часто обладают связанным, но более слабым свойством кокомпактности.