Кіріспе
Көп айнымалы функциялардың есептеуі
Көп айнымалы есептеу (көптүрлі есептеу деп те аталады) – бір айнымалыдағы есептеудің көп айнымалы функцияларға қатысты есептеуге кеңейтілуі: бірнеше айнымалыны (көп айнымалыны) қамтитын функциялардың дифференциалдануы және интегралдануы, тек бір ғана емес. Көп айнымалы есептеуді жоғары деңгейдегі есептеудің бастапқы бөлігі деп қарастыруға болады. Жоғары деңгейдегі есептеулер үшін Евклид кеңістігіндегі есептеуді қараңыз. Үш өлшемді кеңістіктегі есептеудің ерекше жағдайы көбінесе векторлық есептеу деп аталады.
Кіріспе
Бір айнымалы есептеуде дифференциация және интеграция сияқты амалдар бір айнымалының функцияларына қолданылады. Көп айнымалы есепте, оларды көптеген айнымалыларға жалпылау қажет, сондықтан домен көп өлшемді болады. Сондықтан, осы жалпылауларда сақтық қажет, себебі 1D және жоғары өлшемді кеңістіктер арасында екі маңызды айырмашылық бар:
Жоғары өлшемдерде бір нүктеге жуықтасудың шексіз көп жолы бар, ал 1D-де – екі ғана (оң және теріс бағыттан);
Өлшеммен байланысты бірнеше кеңейтілген объектілер бар; мысалы, 1D функциясын 2D картезиялық жазықтықта қисық түрінде бейнелеуге болады, бірақ екі айнымалы функциясы 3D кеңістікте бет болып табылады, ал қисықтар да 3D кеңістікте орналаса алады. Бірінші айырмашылықтың салдары – лимит және дифференциацияның анықтамаларындағы айырмашылық. Бағытталған лимиттер мен туындылар 1D параметрленген қисық бойымен лимит пен дифференциалды анықтайды, бұл мәселені 1D жағдайға дейін төмендетуге мүмкіндік береді; осы операторлардың негізінде одан әрі жоғары өлшемді объектілер құруға болады. Екінші айырмашылықтың салдары – интеграцияның түрлерінің көп болуы, оның ішінде сызықтық интегралдар, беттік интегралдар және көлемдік интегралдар. Осы интегралдардың бірегей болмауына байланысты, антитуындыны немесе белгісіз интегралды дұрыс анықтау мүмкін емес.
There are infinite ways to approach a single point in higher dimensions, as opposed to two (from the positive and negative direction) in 1D;
There are multiple extended objects associated with the dimension; for example, for a 1D function, it must be represented as a curve on the 2D Cartesian plane, but a function with two variables is a surface in 3D, while curves can also live in 3D space. The consequence of the first difference is the difference in the definition of the limit and differentiation. Directional limits and derivatives define the limit and differential along a 1D parametrized curve, reducing the problem to the 1D case; further higher dimensional objects can be constructed from these operators. The consequence of the second difference is the existence of multiple types of integration, including line integrals, surface integrals and volume integrals. Due to the non uniqueness of these integrals, an antiderivative or indefinite integral cannot be properly defined.
Шектері
Көп айнымалы есептеудегі лимиттер мен үздіксіздікті зерттеу, бір айнымалы функцияларда көрінбейтін көптеген күтпеген нәтижелерге алып келеді. Лимит жол бойынша, n-өлшемді Евклид кеңістігінде параметрленген жолды қарастыру арқылы анықталуы мүмкін. Кез келген функция осы жолға 1D функция ретінде проекцияланады. Осылайша, жол бойындағы нүктеге дейінгі лимит мына түрде анықталады: Бұл лимит мәні жолдың өзіне, яғни таңдалған жолға ғана емес, сонымен қатар лимит жақындайтын нүктеге де байланысты болуы мүмкін.
Note that the value of this limit can be dependent on the form of , i. e. the path chosen, not just the point which the limit approaches.
Қолданылулары мен қолданылуы
Көптұрақты есептеу әдістері материалдық әлемдегі көптеген қызығушылық тудыратын нысандарды зерттеу үшін қолданылады. Атап айтқанда:
Функциялар түрі Қолданылатын әдістер
Қисықтар қисықтардың ұзындығын, сызықтық интегралдарды және қисықтықты анықтау үшін.
Беттер беттердің ауданын, беттік интегралдарды, беттер арқылы өтетін ағынды және қисықтықты анықтау үшін.
Скалярлық өрістер жоғары және төмен мәндерді, Лагранж көбейтушілерін, бағытталған туындыларды, тең деңгей жиынтықтарын табу үшін.
Векторлық өрістер градиент, дивергенция және роторды қоса алғанда, векторлық есептеудің кез келген амалын орындау үшін.
Көптұрақты есептеу көп еркіндік дәрежесіне ие детерминистік жүйелерді талдау үшін қолданылуы мүмкін. Мұндай жүйелерді модельдеу үшін әрбір еркіндік дәрежесіне сәйкес келетін тәуелсіз айнымалы функциялар жиі қолданылады, ал көптұрақты есептеу жүйе динамикасын сипаттауға қажетті құралдарды ұсынады. Көптұрақты есептеу үздіксіз уақыт динамикалық жүйелерді оңтайлы басқаруда қолданылады. Ол регрессиялық талдауда әртүрлі эмпирикалық деректер жиынтықтары арасындағы байланыстарды бағалау формулаларын алу үшін пайдаланылады. Детерминистік мінез-құлық көрсететін жоғары өлшемді жүйелерді модельдеу және зерттеу үшін табиғи және әлеуметтік ғылымдар мен инженерияның көптеген салаларында көптұрақты есептеу қолданылады. Мысалы, экономикада тұтынушының әртүрлі тауарларды таңдауы және өндірушінің қолданатын ресурстар мен өндіретін өнімдерді таңдауы көптұрақты есептеу арқылы модельделеді. Детерминистік емес немесе стохастикалық жүйелерді зерттеу үшін стохастикалық есептеу сияқты математиканың басқа түрін қолдануға болады.
Type of functions Applicable techniques Curves for Lengths of curves, line integrals, and curvature. Surfaces for Areas of surfaces, surface integrals, flux through surfaces, and curvature. Scalar fields Maxima and minima, Lagrange multipliers, directional derivatives, level sets. Vector fields Any of the operations of vector calculus including gradient, divergence, and curl. Multivariable calculus can be applied to analyze deterministic systems that have multiple degrees of freedom. Functions with independent variables corresponding to each of the degrees of freedom are often used to model these systems, and multivariable calculus provides tools for characterizing the system dynamics. Multivariate calculus is used in the optimal control of continuous time dynamic systems. It is used in regression analysis to derive formulas for estimating relationships among various sets of empirical data. Multivariable calculus is used in many fields of natural and social science and engineering to model and study high dimensional systems that exhibit deterministic behavior. In economics, for example, consumer choice over a variety of goods, and producer choice over various inputs to use and outputs to produce, are modeled with multivariate calculus. Non deterministic, or stochastic systems can be studied using a different kind of mathematics, such as stochastic calculus.