Введение

Исчисление функций нескольких переменных

Многомерное исчисление (также известное как многовариантное исчисление) — это расширение исчисления одной переменной на исчисление функций нескольких переменных: дифференцирование и интегрирование функций, зависящих от нескольких переменных (многомерных), а не только от одной. Многомерное исчисление можно рассматривать как элементарную часть высшего математического анализа. Для получения информации о высшем математическом анализе, обратитесь к разделу об исчислении на евклидовом пространстве. Особый случай исчисления в трехмерном пространстве часто называют векторным исчислением.

Введение

В однопеременном исчислении такие операции, как дифференцирование и интегрирование, применяются к функциям одной переменной. В многомерном исчислении требуется обобщить их на несколько переменных, и, следовательно, область определения становится многомерной. Поэтому при этих обобщениях требуется осторожность из-за двух ключевых различий между одномерным и пространствами более высоких размерностей: существует бесконечное количество способов подойти к одной точке в пространствах более высоких размерностей, в отличие от двух (с положительной и отрицательной стороны) в одномерном пространстве; существует несколько протяженных объектов, связанных с размерностью; например, одномерная функция должна быть представлена в виде кривой на двумерной декартовой плоскости, а функция двух переменных является поверхностью в трехмерном пространстве, в то время как кривые также могут существовать в трехмерном пространстве. Следствием первого различия является различие в определении предела и дифференцирования. Направленные пределы и производные определяют предел и дифференциал вдоль одномерной параметризованной кривой, сводя задачу к одномерному случаю; из этих операторов можно построить более сложные объекты в пространствах более высоких размерностей. Следствием второго различия является существование различных типов интегралов, включая линейные, поверхностные и объемные интегралы. Из-за неоднозначности этих интегралов, первообразную или неопределенный интеграл нельзя корректно определить.

Пределы

Исследование пределов и непрерывности в многомерном исчислении приводит к множеству контринтуитивных результатов, не наблюдаемых у функций одной переменной. Предел вдоль пути может быть определен путем рассмотрения параметризованного пути в n-мерном евклидовом пространстве. Любую функцию можно спроецировать на этот путь как одномерную функцию. Таким образом, предел функции к точке вдоль пути можно определить как .

Следует отметить, что значение этого предела может зависеть от вида , то есть от выбранного пути, а не только от точки, к которой стремится предел.

Применение и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения множества объектов, представляющих интерес в материальном мире. В частности:

Тип функций – Применимые методы
Кривые – для вычисления длины кривых, криволинейных интегралов и кривизны.
Поверхности – для вычисления площади поверхности, поверхностных интегралов, потока через поверхность и кривизны.
Скалярные поля – для нахождения максимумов и минимумов, использования множителей Лагранжа, вычисления частных производных и анализа поверхностей уровня.
Векторные поля – для выполнения любых операций векторного исчисления, включая вычисление градиента, дивергенции и ротора.

Многомерное исчисление может быть применено для анализа детерминированных систем, имеющих несколько степеней свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой степени свободы, часто используются для моделирования таких систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для описания динамики системы. Оно используется в оптимальном управлении системами динамического времени. Также оно применяется в регрессионном анализе для получения формул оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных. Многомерное исчисление используется во многих областях естественных, социальных наук и техники для моделирования и изучения многомерных систем, демонстрирующих детерминированное поведение. Например, в экономике выбор потребителя между различными товарами и выбор производителя относительно используемых ресурсов и производимой продукции моделируются с помощью многомерного исчисления. Недетерминированные, или стохастические системы, могут быть изучены с использованием другого раздела математики, например, стохастического исчисления.