Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
(Шексіз) геометриялық прогрессияның қосындысы
Sum of an (infinite) geometric progression
Математикада геометриялық қатар – тізбектегі келесі мүшелердің арасындағы қатынасы тұрақты болатын шексіз көп мүшелердің қосындысы. Мысалы,
In mathematics, a geometric series is the sum of an infinite number of terms that have a constant ratio between successive terms. For example, the series
қатары геометриялық, себебі әрбір келесі мүшені алдыңғы мүшені көбейту арқылы алуға болады. Жалпы, геометриялық қатар , мұнда – әрбір мүшенің коэффициенті, ал – жанындағы мүшелер арасындағы ортақ қатынас. Геометриялық қатарлар математикалық анализдің бастапқы дамуында маңызды рөл атқарды, математиканың барлық салаларында қолданылады және Тейлор қатары, Фурье қатары және матрицалық экспонента сияқты жиі қолданылатын математикалық құралдарға кіріспе ретінде қызмет ете алады. Геометриялық қатар атауы әрбір мүшенің оның екі жанындағы мүшелердің геометриялық ортасы екенін көрсетеді, ал арифметикалық қатар атауы әрбір мүшенің оның екі жанындағы мүшелердің арифметикалық ортасы екенін көрсетеді.
is geometric, because each successive term can be obtained by multiplying the previous term by In general, a geometric series is written as , where is the coefficient of each term and is the common ratio between adjacent terms. The geometric series had an important role in the early development of calculus, is used throughout mathematics, and can serve as an introduction to frequently used mathematical tools such as the Taylor series, the Fourier series, and the matrix exponential. The name geometric series indicates each term is the geometric mean of its two neighboring terms, similar to how the name arithmetic series indicates each term is the arithmetic mean of its two neighboring terms.
Ынтымақтастық деңгейі
Бір қатардың конвергентті екенін білгеннен кейін, кейбір жағдайларда қатардың қаншалықты жылдам конвергентті екенін білу де маңызды. Геометриялық қатар үшін конвергенция жылдамдығын бағалаудың бір ыңғайлы тәсілі – жартылай қатардың соңғы мүшесінен туындаған алдыңғы қатардың қалдығының қаншалықты кемитінін анықтау. Соңғы мүше arn және алдыңғы қатардың қалдығы s – sn = arn / (1 – r) болғандықтан, геометриялық қатардың конвергенция жылдамдығының бұл өлшемі arn / (arn / (1 – r)) = 1 – r, егер 0 ≤ r < 1 болса. Егер r < 0 болса, геометриялық қатардың жанындағы мүшелері оң және теріс мәндер арасында кезектеседі. Конвергентті кезектесетін геометриялық қатардың геометриялық интерпретациясы жапсарлас диаграммада көрсетілген, онда теріс мүшелердің аудандары x осьтің астында бейнеленген. Оң аудандарды олардың теріс, кішірек аудандарымен жұптастырып қосу нәтижесінде саңылаулармен бөлінген, бір-біріне жанаспайтын трапециялар пайда болады. Саңылауларды жою үшін әр трапецияны оң жақтан 1 – r² мөлшеріне дейін кеңейту керек. Дегенмен, осы кеңейту трансформациясы кезінде трапециялардың аудандарын сақтау үшін масштабтау қажет: масштаб * (1 – r²) = (1 – |r|), немесе масштаб = (1 – |r|) / (1 – r²) = (1 + r) / (1 – r²) = (1 + r) / ((1 + r)(1 – r)) = 1 / (1 – r), мұндағы –1 < r ≤ 0. r < 0 болғандықтан, бұл масштаб бөлінген трапециялардың амплитудасын азайтады, саңылауларды толтыру үшін. Керісінше, r > 0 болған жағдайда, сол 1 / (1 – r) масштаб факторы жапсарласқан аудандардың жоғалуын өтеу үшін жанаспайтын трапециялардың амплитудасын арттырады. Саңылауларды жойғаннан кейін, конвергентті кезектесетін геометриялық қатардағы мүшелер жұптары конвергентті (кезектеспейтін) геометриялық қатарға айналады, оның ортақ қатынасы r² мүшелердің жұптасуын ескеру үшін, коэффициенті a = 1 / (1 – r) саңылауларды толтыру үшін және бөлшектік қатардың дәрежесі (яғни ең жоғары дәрежелі мүшесі) n орнына m деп аталады, мүшелер жұптастырылғандығын көрсету үшін. r > 0 жағдайына ұқсас, r < 0 үшін конвергенция жылдамдығы = ar²m / (s – sm) = 1 – r², бұл оның мүшелері ұқсас жұптастырылған болса, кезектеспейтін геометриялық қатардың конвергенция жылдамдығымен бірдей. Сондықтан конвергенция жылдамдығы n немесе m-ге тәуелді емес және, бәлкім, таңқаларлық, ортақ қатынастың таңбасына да тәуелді емес. r = 0 нүктесінде симметриялы конвергенцияның өзгермелі жылдамдығын түсіндіруге көмектесетін бір көзқарас – бөлшектік қатардың әрбір қосылған мүшесі r = 1 кезіндегі шексіз жиынтыққа шекті үлес қосады және бөлшектік қатардың әрбір қосылған мүшесі r = 1 кезіндегі шексіз еңіске шекті үлес қосады.
After knowing that a series converges, there are some applications in which it is also important to know how quickly the series converges. For the geometric series, one convenient measure of the convergence rate is how much the previous series remainder decreases due to the last term of the partial series. Given that the last term is arn and the previous series remainder is s sn 1 = arn / (1 r)), this measure of the convergence rate of the geometric series is arn / (arn / (1 r)) = 1 r, if 0 ≤ r < 1. If r < 0, adjacent terms in the geometric series alternate between being positive and negative. A geometric interpretation of a converging alternating geometric series is shown in the adjacent diagram in which the areas of the negative terms are shown below the x axis. Pairing and summing each positive area with its negative smaller area neighbor results in non overlapped trapezoids separated by gaps. To remove the gaps, broaden each trapezoid to cover the rightmost 1 r2 of the original triangle area instead of just the rightmost 1 |r|. However, to maintain the same trapezoid areas during this broadening transformation, scaling is needed: scale*(1 r2) = (1 |r|), or scale = (1 |r|) / (1 r2) = (1 + r) / (1 r2) = (1 + r) / ((1 + r)(1 r)) = 1 / (1 r) where 1 < r ≤ 0. Note that because r < 0 this scale decreases the amplitude of the separated trapezoids in order to fill in the separation gaps. In contrast, for the case r > 0 the same scale 1 / (1 r) increases the amplitude of the non overlapped trapezoids in order to account for the loss of the overlapped areas. With the gaps removed, pairs of terms in a converging alternating geometric series become a converging (non alternating) geometric series with common ratio r2 to account for the pairing of terms, coefficient a = 1 / (1 r) to account for the gap filling, and the degree (i. e., highest powered term) of the partial series called m instead of n to emphasize that terms have been paired. Similar to the r > 0 case, the r < 0 convergence rate = ar2m / (s sm 1) = 1 r2, which is the same as the convergence rate of a non alternating geometric series if its terms were similarly paired. Therefore, the convergence rate does not depend upon n or m and, perhaps more surprising, does not depend upon the sign of the common ratio. One perspective that helps explain the variable rate of convergence that is symmetric about r = 0 is that each added term of the partial series makes a finite contribution to the infinite sum at r = 1 and each added term of the partial series makes a finite contribution to the infinite slope at r = 1.
Элеалық Зенон (б.з.д.
2500 жыл бұрын грек математиктері бір жерден екінші жерге қадам басқанда қиындыққа тап болды: олар нөлден үлкен сандардың шексіз тізімі шексіздікке тең деп ойлады. Сондықтан, Элеялық Зенон бір жерден екінші жерге жету үшін ең алдымен қашықтықтың жартысын, содан кейін қалған қашықтықтың жартысын, одан соң қалғанның жартысын, осылайша қалған қашықтықты шексіз рет екіге бөлу керектігін көрсеткенде парадокс туды. Себебі, қалған қашықтық қаншалықты кішкентай болса да, оның жартысын басып өту қажет. Осылайша, Элеялық Зенон қысқа қашықтықты нөлден үлкен жартылай қалған қашықтықтардың шексіз тізіміне айналдырды. Осының нәтижесінде туған мәселе: қашықтық тікелей өлшенгенде қысқа болса, ал оның жартылай қалған бөліктерінің шексіз тізімі қосылғанда шексіз болуы қалай мүмкін? Бұл парадокс нөлден үлкен сандардың шексіз тізімі шексіздікке тең деген тұжырымның дұрыс еместігін көрсетті.
2,500 years ago, Greek mathematicians had a problem when walking from one place to another: they thought that an infinitely long list of numbers greater than zero summed to infinity. Therefore, it was a paradox when Zeno of Elea pointed out that in order to walk from one place to another, you first have to walk half the distance, and then you have to walk half the remaining distance, and then you have to walk half of that remaining distance, and you continue halving the remaining distances an infinite number of times because no matter how small the remaining distance is you still have to walk the first half of it. Thus, Zeno of Elea transformed a short distance into an infinitely long list of halved remaining distances, all of which are greater than zero. And that was the problem: how can a distance be short when measured directly and also infinite when summed over its infinite list of halved remainders? The paradox revealed something was wrong with the assumption that an infinitely long list of numbers greater than zero summed to infinity.
Фракталдық геометрия
Кох қар түйіршігінің ішіндегі аумақты шексіз көп теңқабырлы үшбұрыштардың бірігуі ретінде сипаттауға болады (суретті қараңыз). Жасыл үшбұрыштың әр қабырғасы үлкен көк үшбұрыштың бір қабырғасының дәл 1/3-і, сондықтан оның ауданы дәл 1/9-ға тең. Сол сияқты, әрбір сары үшбұрыштың ауданы жасыл үшбұрыштың 1/9-ын құрайды, және т.б. Көк үшбұрышты ауданы бірлік ретінде алсақ, қар түйіршігінің жалпы ауданы:
The area inside the Koch snowflake can be described as the union of infinitely many equilateral triangles (see figure). Each side of the green triangle is exactly 1/3 the size of a side of the large blue triangle, and therefore has exactly 1/9 the area. Similarly, each yellow triangle has 1/9 the area of a green triangle, and so forth. Taking the blue triangle as a unit of area, the total area of the snowflake is
Бұл қатардағы бірінші мүше көк үшбұрыштың ауданын, екінші мүше үш жасыл үшбұрыштың ауданын, үшінші мүше он екі сары үшбұрыштың ауданын және т.б. көрсетеді. Бастапқы 1-ді ескермегенде, бұл қатар тұрақты қатынасы r = 4/9 болатын геометриялық қатар болып табылады. Геометриялық қатардың бірінші мүшесі a = 3(1/9) = 1/3, сондықтан қосындысы:
The first term of this series represents the area of the blue triangle, the second term the total area of the three green triangles, the third term the total area of the twelve yellow triangles, and so forth. Excluding the initial 1, this series is geometric with constant ratio r = 4/9. The first term of the geometric series is a = 3(1/9) = 1/3, so the sum is
Осылайша, Кох қар түйіршігінің ауданы негізгі үшбұрыштың ауданынан 8/5 есе артық.
Thus the Koch snowflake has 8/5 of the area of the base triangle.
Геометриялық қатарлар
Геометриялық қатар екі еркіндік дәрежесіне ие: біреуі оның коэффициенті a үшін, екіншісі оның ортақ көбейткіші r үшін. Көпбұрыштар картасында үлкен қызыл шеңбер барлық геометриялық қатарларды көрсетеді.
The geometric series has two degrees of freedom: one for its coefficient a and another for its common ratio r. In the map of polynomials, the big red circle represents the set of all geometric series.
Геометриялық қатарлар
Геометриялық қатарлардың тек бір бөлігі ғана жинақталады. Атап айтқанда, геометриялық қатар оның ортақ коэффициентінің абсолют шамасы |r| < 1 болған жағдайда ғана жинақталады. Көпбұрыштар картасындағы қызыл үшбұрыш жинақталатын геометриялық қатарлар жиынын көрсетеді, ал барлық геометриялық қатарлар жиынын көрсететін үлкен қызыл шеңбердің ішінде салынуы жинақталатын геометриялық қатарлардың геометриялық қатарлар жиынының кіші жиыны екенін көрсетеді.
Only a subset of all geometric series converge. Specifically, a geometric series converges if and only if its common ratio |r| < 1. In the map of polynomials, the red triangle represents the set of converging geometric series and being drawn inside the big red circle representing the set of all geometric series indicates the converging geometric series is a subset of the geometric series.
Қуат сериясы
Геометриялық қатарлар сияқты, қуат қатарларының да ортақ көбейткіші r (x ось бойымен) үшін бір еркіндік дәрежесі бар, бірақ коэффициенттері үшін n+1 еркіндік дәрежесі бар (y ось бойымен), мұнда n – ішінара қатардағы соңғы мүшенің дәрежесін көрсетеді. Көптамалар картасындағы үлкен көк шеңбер барлық қуат қатарларының жиынтығын білдіреді.
Like the geometric series, the power series has one degree of freedom for its common ratio r (along the x axis) but has n+1 degrees of freedom for its coefficients (along the y axis), where n represents the power of the last term in the partial series. In the map of polynomials, the big blue circle represents the set of all power series.
Күрделі Фурье тізбектері
Күрделі Фурье тізбектерінің кез келген 2D жабық фигураны суреттеу қабілетіне мысал ретінде, жанындағы анимацияда күрделі Фурье тізбектері 'e' әрпін (экспоненциалды білдіретін) суреттейді. Анимацияда көрсетілген қозғалыстардың күрделі үйлестірілуін ескере отырып, күрделі Фурье тізбектерінің анықтамасы таңқаларлықтай ықшам, бар болғаны екі теңдеуде сияқты:
As an example of the ability of the complex Fourier series to trace any 2D closed figure, in the adjacent animation a complex Fourier series traces the letter 'e' (for exponential). Given the intricate coordination of motions shown in the animation, a definition of the complex Fourier series can be surprisingly compact in just two equations:
мұнда параметрленген функция s(t) параметр t 0-ден 1-ге дейінгі аралықты өтеген сайын күрделі жазықтықтағы қандай да бір 2D жабық фигураны жасайды. Күрделі Фурье тізбесін анықтайтын осы ықшам теңдеулерді түсінуге көмектесу үшін, күрделі Фурье тізбесінің қосындысы күрделі геометриялық тізбекке ұқсас, бірақ күрделі Фурье тізбесі негізінен екі күрделі геометриялық тізбек (біреуі оң бағытта, екіншісі теріс бағытта айналатын мүшелер жиынтығы) және күрделі Фурье тізбесінің коэффициенттері мүшеден мүшеге өзгере алатын күрделі тұрақтылар. Мүшелердің екі бағытта да айналуына рұқсат ету арқасында, тізбек кез келген 2D жабық фигураны суреттеуге қабілетті. Керісінше, күрделі геометриялық тізбекте барлық мүшелер бір бағытта айналады және тек шеңберлерді ғана суреттей алады. Күрделі геометриялық тізбектің коэффициенттерін мүшеден мүшеге өзгертуге рұқсат ету оның суретей алатын пішіндерін кеңейтеді, бірақ барлық мүмкін пішіндер бұлт сияқты болып қалады, мысалы, 1 + i0 және 1 + i0 арасында алға-артқа қозғалу сияқты қарапайым сызық сегментінің пішінін суреттей алмайды. Дегенмен, Эйлер формуласы қарама-қарсы бағытта айналатын екі мүшенің қосылуы 1 + i0 және 1 + i0 арасындағы сол сызық сегментін суреттей алатынын көрсетеді:
where parameterized function s(t) traces some 2D closed figure in the complex plane as the parameter t progresses through the period from 0 to 1. To help make sense of these compact equations defining the complex Fourier series, note that the complex Fourier series summation looks similar to the complex geometric series except that the complex Fourier series is basically two complex geometric series (one set of terms rotating in the positive direction and another set of terms rotating in the negative direction), and the coefficients of the complex Fourier series are complex constants that can vary from term to term. By allowing terms to rotate in either direction, the series becomes capable of tracing any 2D closed figure. In contrast, the complex geometric series has all the terms rotating in the same direction and it can trace only circles. Allowing the coefficients of the complex geometric series to vary from term to term would expand upon the shapes it can trace but all the possible shapes would still be limited to being puffy and cloud like, not able to trace the shape of a simple line segment, for example going back and forth between 1 + i0 and 1 + i0. However, Euler's formula shows that the addition of just two terms rotating in opposite directions can trace that line segment between 1 + i0 and 1 + i0:
Коэффициенттерді қалай есептеуді анықтайтын күрделі Фурье тізбесінің екінші теңдеуіне қатысты, айналмасыз c0 мүшесінің коэффициентін теңдеудің бірінші теңдеуін 0-ден 1-ге дейінгі бір кезең аралығында интегралдау арқылы есептеуге болады. Осы аралықта барлық айналатын мүшелер нөлге интегралданады, нәтижесінде тек c0 қалады. Сол сияқты, күрделі Фурье тізбесінің бірінші теңдеуіндегі кез келген мүшені теңдеудің екі жағын cn есептеу үшін интегралдау алдында көбейту арқылы айналмасыз мүшеге айналдыруға болады, және осы күрделі Фурье тізбесінің екінші теңдеуі болып табылады.
Concerning the complex Fourier series second equation defining how to calculate the coefficients, the coefficient of the non rotating term c0 can be calculated by integrating the complex Fourier series first equation over the range of one period from 0 to 1. Over that range, all the rotating terms integrate to zero, leaving just c0. Similarly, any of the terms in the complex Fourier series first equation can be made to be a non rotating term by multiplying both sides of the equation by before integrating to calculate cn, and that is the complex Fourier series second equation.
Тарих және философия
К. Х. Эдвардс кіші (1994). Калькульдің тарихи дамуы, 3-ші басылым, Springer. Илай Маор (1991). "Шексіздікке және одан әрі": Шексіздіктің мәдени тарихы, Принстон университетінің баспасы. Мор Лазеровиц (2000). Метафизиканың құрылымы (Халықаралық философия кітапханасы), Routledge.
C. H. Edwards Jr. (1994). The Historical Development of the Calculus, 3rd ed., Springer. Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Princeton University Press. Morr Lazerowitz (2000). The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy), Routledge.
Экономика
Карл П. Саймон және Лоуренс Блум (1994). Экономистерге арналған математика, W. W. Norton & Company. Майк Россер (2003). Экономистер үшін негізгі математика, 2-ші басылым, Routledge.
Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge.
Биология
Эдвард Батшелет (1992). Өмір ғылымдары үшін математикаға кіріспе, 3-ші басылым, Springer. Ричард Ф. Бертон (1998). Сандар арқылы биология: сандық ойлауға шақыру, Кембридж университеті баспасы.
Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press.
Компьютерлік ғылым
Джон Раст Хаббард (2000). Шаумның дерек құрылымдары теориясы және Java-мен есептері, МакГроу Хилл.
John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw Hill.