Кіріспе
0-ден санға дейінгі қашықтық, нақты және кешенді сандардың абсолюттік шамасы. Математикада нақты санның абсолюттік шамасы немесе модулі, <math> деп белгіленеді, оның таңбасына қарамастан, теріс емес мәнін білдіреді. Яғни, егер сан оң болса, ал егер сан теріс болса (онда санды терістеу оны оңға айналдырады) және <math> болады. Мысалы, 3-тің абсолюттік шамасы 3-ке тең, ал −3-тің абсолюттік шамасы да 3-ке тең. Санның абсолюттік шамасын нөлге дейінгі қашықтығы деп қарастыруға болады. Нақты сандар үшін абсолюттік шаманы жалпылау математиканың көптеген салаларында кездеседі. Мысалы, абсолюттік шама кешенді сандар, кватерниондар, реттелген сақиналар, өрістер және векторлық кеңістіктер үшін де анықталады. Абсолюттік шама түрлі математикалық және физикалық контексттерде шама, қашықтық және норма ұғымдарымен тығыз байланысты.
the absolute value of real and complex numbers
In mathematics, the absolute value or modulus of a real number , denoted <math> is the non negative value of without regard to its sign. Namely, if is a positive number, and if is negative (in which case negating makes positive), and <math> For example, the absolute value of 3 is 3, and the absolute value of −3 is also 3. The absolute value of a number may be thought of as its distance from zero. Generalisations of the absolute value for real numbers occur in a wide variety of mathematical settings. For example, an absolute value is also defined for the complex numbers, the quaternions, ordered rings, fields and vector spaces. The absolute value is closely related to the notions of magnitude, distance, and norm in various mathematical and physical contexts.
Терминология және жазу
1806 жылы Жан Роберт Арган «модуль» терминін француз тілінде енгізді, ол французша «өлшем бірлігі» деген мағынаны білдіреді, нақтырақ айтқанда, комплекс сандың абсолюттік шамасы үшін. Бұл термин 1866 жылы латынша «modulus» сөзі арқылы ағылшын тіліне қарыз алынды, ал 1857 жылы ағылшын тілінде қолданыла бастады. Карл Вейерштрасс 1841 жылы екі жағында тік сызықтары бар белгіні (| |) енгізді. Абсолюттік шаманы білдіретін басқа терминдерге сандық мән немесе вектордың жоғарғы нормасы жатады, бірақ екі есе тік сызықтармен (<math>\ және <math>\ сәйкесінше) белгіленгені көбірек таралған және түсініксіздік тудырмайтын жазу тәсілі болып табылады.
Абсолюттік мән функциясы
Нақты абсолютті мән функциясы барлық жерде үздіксіз. Ол x = 0 болмаған барлық жерде туындыланады. Ол (-∞, 0] интервалында монотонды түрде кемиді және [0, ∞) интервалында монотонды түрде өседі. Нақты сан мен оның қарама-қарсы санының абсолютті мәні бірдей болғандықтан, ол жұп функция болып табылады, демек, кері функциясы жоқ. Нақты абсолютті мән функциясы бөлікті сызықтық, дөңес функция. Нақты және кешенді сандар үшін абсолютті мән функциясы идемпотентті (яғни, кез келген абсолютті мәннің абсолютті мәні өзіне тең).
Тапсырылған сақиналар
Жоғарыда нақты сандар үшін берілген абсолюттік мәннің анықтамасын кез келген реттелген сақинаға кеңейтуге болады. Яғни, егер a – реттелген R сақинасының мүшесі болса, онда a-ның абсолюттік мәні |a| деп анықталады:
мұнда -a – a-ның қосымша кері шамасы, 0 – қосымша бірлік, ал < және ≥ белгілері сақинадағы ретке қатысты әдеттегі мағынаны білдіреді.
Құрастыру алгебралары
Кез келген композициялық алгебра A үшін x → x* инволюциясы оның конъюгациясы деп аталады. A алгебрасының x элементі мен оның конъюгаты x*-тың көбейтіндісі N(x) = x x* деп жазылады және x-тың нормасы деп аталады. Нақты сандар, кешенді сандар және кватерниондар – бәрі де нақты квадраттық формалармен берілген нормалары бар композициялық алгебралар. Бұл бөліну алгебраларындағы абсолюттік шама композициялық алгебра нормасының квадрат түбірімен анықталады. Жалпы алғанда, композициялық алгебраның нормасы анықталмаған және нөлдік векторлары бар квадраттық форма болуы мүмкін. Дегенмен, бөліну алгебраларындағыдай, егер x элементінің нормасы нөлден өзгеше болса, онда x-тың көбейтуге кері шамасы x*/N(x) арқылы беріледі.