Инфинитезималді есептеулер

Кіріспе

Математиканың саласы

Калькулус – геометрия нысандарды зерттегендей, үздіксіз өзгерісті математикалық тұрғыдан зерттейді, ал алгебра арифметикалық амалдарды жалпылауды зерттейді. Алғашқыда шексіз кішкентай есептеу немесе «шексіз кішкентай шамалар есебі» деп аталған, оның екі негізгі саласы бар: дифференциалдық есептеу және интегралдық есептеу. Біріншісі – өзгерістің дереу жылдамдығымен және қисықтардың еңісімен айналысады, ал екіншісі – шамалардың жинақталуымен және қисықтардың астындағы немесе арасындағы аудандарымен айналысады. Бұл екі сала калькулустің негізгі теоремасымен байланысты. Олар шексіз тізбектер мен шексіз қатарлардың белгілі бір шегіне жуықтасуының негізгі ұғымдарын қолданады. Шексіз кішкентай есептеуді 17 ғасырдың соңында Исаак Ньютон және Готфрид Вильгельм Лейбниц тәуелсіз түрде жасады. Кейінгі жұмыстар, соның ішінде шектер ұғымын қалыптастыру, осы жетістіктерді мықты тұжырымдамалық негізге қойды. Бүгінде калькулус ғылымда, инженерияда және әлеуметтік ғылымдарда кеңінен қолданылады.

Этимология

Математика білімінде калькуль – функциялар мен лимиттерді зерттеуге негізделген элементар математикалық талдау курстарын білдіреді. "Калькуль" сөзі латын тілінде "кішкентай тас" ( "calx" сөзінің кішіртілген түрі, "тас" деген мағынаны білдіреді) дегенді білдіреді, және бұл мағына медицинада бүгінге дейін сақталған. Мұндай тастар қашықтықты өлшеу, дауыс санау және есептеу тақтасында арифметикалық амалдар жасау үшін қолданылғандықтан, бұл сөз есептеу әдісін білдіретін болды. Осы мағынада, бұл сөз Лейбниц пен Ньютонның еңбектері жарық көргенге дейін кем дегенде 1672 жылдан бері ағылшын тілінде қолданылып келген. Дифференциалдық және интегралдық калькульдан басқа, бұл термин математикалық тұрғыдан нақты бір ұғымды модельдеуге бағытталған есептеудің нақты әдістерін және оған байланысты теорияларды атау үшін де қолданылады. Мұндай конвенцияға мысалдар: пропозициялық калькуль, Риччи калькулы, вариациялар калькулы, лямбда калькулы, тізбекті калькуль және процесс калькулы. Сонымен қатар, "калькуль" термині этика және философия салаларында Бентамның бақыттылық калькулы және этикалық калькулы сияқты жүйелерге қатысты әртүрлі қолданылған.

Тарих

Қазіргі заманғы есептеу 17 ғасырда Еуропада Исаак Ньютон мен Готфрид Вильгельм Лейбниц (бір-бірінен тәуелсіз, шамамен бір уақытта алғаш рет жариялаған) тарапынан дамытылды, бірақ оның элементтері ежелгі Египетте және кейін Грецияда, содан кейін Қытайда және Таяу Шығыста, одан кейін ортағасырлық Еуропа мен Үндістанда алғаш рет пайда болды.

Мысыр

Көлем мен аумақты есептеу, интегралды есептеудің мақсаттарының бірі, Мысырдың Мәскеу папирусынан (шамамен б.з.д. 1820 жыл) табылады, бірақ бұл формулалар қарапайым нұсқаулар ғана, олар қалай шығарылғанына ешқандай сілтеме жасалмайды.

Грекия

Интегралды есептеудің негізін қалап, шек ұғымын болжаған ежелгі грек математигі Евдокс Книдский (б.з.д. 390 – 337) конус және пирамида көлемдерінің формулаларын дәлелдеу үшін сарқылу әдісін жасады. Гелленистік дәуірде бұл әдіс Архимед (б.з.д. 287 – 212 жж.) тарапынан одан әрі дамытылды, ол оны бөлшектелмейтін шамалар туралы түсінікпен үйлестірді – бұл шексіз кішкентай шамалардың алдағысы, және оған қазір интегралды есептеуде қарастырылатын бірнеше мәселені шешуге мүмкіндік берді. "Механикалық теоремалар әдісі" еңбегінде ол, мысалы, қатты жарты шардың ауырлық центрін, дөңгелек параболоидтың қиық бөлігінің ауырлық центрін және парабола мен оның бір қима сызығымен шектелген аймақтың ауданын есептеуді сипаттайды.

Қытай

Арықтау әдісін кейіннен Лю Хуэй Қытайда біздің заманымыздың 3-ші ғасырында шеңбердің ауданын табу үшін тәуелсіз түрде ашты. Бұл әдіс кейіннен Кавальери принципі деп аталып, оның көмегімен шардың көлемін табуға болатыны анықталды.

Таяу Шығыс

Таяу Шығыста Хасан Ибн әл-Хайтам, латыншасы - Альхазен (б.з.д.) төртінші дәрежелі шамалардың қосындысы үшін формула шығарды. Ол осы нәтижелерді қазір интегралдау деп аталатын амалды орындау үшін пайдаланды, онда толық квадраттар мен төртінші дәрежелі шамалардың қосындысының формулалары оған параболоидтың көлемін есептеуге мүмкіндік берді.

Үндістан

Бхаскара II дифференциалдық есептеудің кейбір идеяларымен таныс болды және "дифференциалдық коэффициент" функцияның экстремум мәнінде нөлге тең болатынын ұсынды. Астрономиялық еңбегінде ол шексіз кішкентай әдістердің алға басушысы сияқты көрінетін процедураны ұсынды. Атап айтқанда, егер болса, онда . Бұл косинус синустың туындысы екенін табу ретінде түсіндірілуі мүмкін. 14 ғасырда үнді математиктері кейбір тригонометриялық функцияларға қолданылатын, дифференциацияға ұқсас, бірақ қатаң емес әдіс ұсынды. Сангамаграма және Керала астрономия және математика мектебінің Мадхавасы калькульдің құрамдас бөліктерін атап өтті, бірақ Виктор Дж. Кацтың айтуынша, олар "туынды мен интегралдың екі біріктіретін тақырыбы бойынша көптеген әртүрлі идеяларды біріктіре алмады, екеуінің арасындағы байланысты көрсетіп, калькульді бүгінгі таңда біздегі үлкен мәселелерді шешу құралына айналдыра алмады". Кеплер эллипстің ауданын эллипстің фокусынан шығарылған көптеген радиустардың ұзындықтарын қосу арқылы есептеу әдісін жасады. Маңызды жұмыс – Кеплердің әдістеріне негізделген трактат. Бұл комбинацияға Джон Уоллис, Исаак Барроу және Джеймс Грегори қол жеткізді, соңғы екеуі 1670 жыл шамасында калькульдің екінші негізгі теоремасының алдын қорғады. Көбейту ережесі мен тізбек ережесі, жоғары туындылар мен Тейлор қатарлары және аналитикалық функциялар туралы түсініктерді Исаак Ньютон математикалық физика мәселелерін шешу үшін ерекше нотацияда қолданды. Ол өз еңбектерінде өз идеяларын сол кездегі математикалық стильге сәйкес ету үшін қайта формулировкалады, шексіз шағын есептеулерді тең геометриялық аргументтермен алмастырды, олар сөзсіз дұрыс деп есептелді. Ол планеталардың қозғалысын, айналатын сұйықтықтың бетінің пішінін, Жердің жазықтығын, циклоид бойымен сырғанатын салмақтың қозғалысын және Principia Mathematica (1687) еңбегінде талқыланған көптеген басқа мәселелерді шешу үшін калькульдің әдістерін қолданды. Басқа жұмыстарында ол функциялар үшін, соның ішінде бөлшекті және иррационалды дәрежелер үшін қатарлық кеңейтулерді жасады және ол Тейлор қатарының принциптерін түсінгені анық болды. Ол барлық жаңалықтарын жарияламады, ал осы уақытта шексіз кішкентай әдістер әлі де күмәнді деп есептелді. Ол қазір калькульдің тәуелсіз ойлап табушысы және үлес қосушысы ретінде танылады. Оның үлесі – шексіз кішкентай шамалармен жұмыс істеудің нақты ережелерін ұсыну, екінші және одан жоғары туындыларды есептеуге және дифференциалдық және интегралдық формаларында көбейту ережесі мен тізбек ережесін ұсыну. Ньютоннан айырмашылығы, Лейбниц өзінің нотациясын таңдауда көп күш жұмсады. Бүгінде Лейбниц пен Ньютонға калькульді тәуелсіз түрде ойлап тапқандары мен дамытқандары үшін әдетте екеуіне де құрмет көрсетіледі. Ньютон калькульді жалпы физикаға алғаш қолданды. Лейбниц қазіргі калькульде қолданылатын нотацияның көп бөлігін жасады. Лейбниц пен Ньютонның еңбектерін мұқият зерттеу олардың өз нәтижелеріне тәуелсіз түрде келгенін көрсетеді, Лейбниц интеграциядан, ал Ньютон дифференциациядан бастады. Алайда, жаңа ғылымға атау берген Лейбниц болды. Ньютон өзінің калькулін "флюксиялар ғылымы" деп атады, бұл термин 19 ғасырға дейін ағылшын мектептерінде сақталды. Ағылшын тілінде жазылған және Лейбниц нотациясын пайдаланған алғашқы толық еңбек 1815 жылға дейін жарияланбады. Лейбниц пен Ньютоннан бері көптеген математиктер калькульдің дамуына үлес қосты. Инфинитезимальды және интегралды есептеу бойынша алғашқы және ең толық жұмыстардың бірі 1748 жылы Мария Гаэтана Агнези жазды.

Bhāskara II was acquainted with some ideas of differential calculus and suggested that the "differential coefficient" vanishes at an extremum value of the function. In his astronomical work, he gave a procedure that looked like a precursor to infinitesimal methods. Namely, if then This can be interpreted as the discovery that cosine is the derivative of sine. In the 14th century, Indian mathematicians gave a non rigorous method, resembling differentiation, applicable to some trigonometric functions. Madhava of Sangamagrama and the Kerala School of Astronomy and Mathematics stated components of calculus, but according to Victor J. Katz they were not able to "combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between the two, and turn calculus into the great problem solving tool we have today". Kepler developed a method to calculate the area of an ellipse by adding up the lengths of many radii drawn from a focus of the ellipse. Significant work was a treatise, the origin being Kepler's methods, The combination was achieved by John Wallis, Isaac Barrow, and James Gregory, the latter two proving predecessors to the second fundamental theorem of calculus around 1670. The product rule and chain rule, the notions of higher derivatives and Taylor series, and of analytic functions were used by Isaac Newton in an idiosyncratic notation which he applied to solve problems of mathematical physics. In his works, Newton rephrased his ideas to suit the mathematical idiom of the time, replacing calculations with infinitesimals by equivalent geometrical arguments which were considered beyond reproach. He used the methods of calculus to solve the problem of planetary motion, the shape of the surface of a rotating fluid, the oblateness of the earth, the motion of a weight sliding on a cycloid, and many other problems discussed in his Principia Mathematica (1687). In other work, he developed series expansions for functions, including fractional and irrational powers, and it was clear that he understood the principles of the Taylor series. He did not publish all these discoveries, and at this time infinitesimal methods were still considered disreputable. He is now regarded as an independent inventor of and contributor to calculus. His contribution was to provide a clear set of rules for working with infinitesimal quantities, allowing the computation of second and higher derivatives, and providing the product rule and chain rule, in their differential and integral forms. Unlike Newton, Leibniz put painstaking effort into his choices of notation. Today, Leibniz and Newton are usually both given credit for independently inventing and developing calculus. Newton was the first to apply calculus to general physics. Leibniz developed much of the notation used in calculus today. A careful examination of the papers of Leibniz and Newton shows that they arrived at their results independently, with Leibniz starting first with integration and Newton with differentiation. It is Leibniz, however, who gave the new discipline its name. Newton called his calculus "the science of fluxions", a term that endured in English schools into the 19th century. The first complete treatise on calculus to be written in English and use the Leibniz notation was not published until 1815. Since the time of Leibniz and Newton, many mathematicians have contributed to the continuing development of calculus. One of the first and most complete works on both infinitesimal and integral calculus was written in 1748 by Maria Gaetana Agnesi.

Негізгі құралдар

Калькульдің негіздері – аксиомалар мен анықтамалар негізіндегі пәннің қатаң дамуын білдіреді. Алғашқы калькульде шексіз кіші шамаларды қолдану қатаңдықсыз деп есептелді және Мишель Роль мен епископ Беркли сияқты бірнеше авторлар тарапынан қатты сынға алынды. Беркли 1734 жылғы «Аналист» кітабында шексіз кіші шамаларды жоқ болған шамалардың көлеңкесі деп сипаттады. Калькульдің қатаң негізін құру Ньютон мен Лейбництен кейінгі ғасырдың көп бөлігінде математиктерді мазалады және бүгінде де белсенді зерттеу саласы болып табылады. Маклаурин сияқты бірнеше математиктер шексіз кіші шамаларды қолданудың дұрыстығын дәлелдеуге тырысты, бірақ Коши мен Вейерштрасс еңбектерінің арқасында ғана 150 жылдан кейін шексіз кіші шамалардың қарапайым «түсініктерінен» қашықтаудың жолы табылды. Дифференциалдық және интегралдық калькульдің негіздері қаланды. Кошидің «Cours d'Analyse» еңбегінде сабақтастықты шексіз кіші шамалар тұрғысынан анықтау және дифференциациялаудың анықтамасында (ε, δ) шектің анықтамасының (біршама дәл емес) прототипі сияқты негізгі тәсілдердің кең ауқымы кездеседі. Вейерштрасс өз еңбегінде лимит ұғымын ресмилендірді және шексіз кіші шамаларды жойды (бірақ оның анықтамасы nilsquare шексіз кіші шамаларды растай алады). Вейерштрасс жұмысынан кейін, калькульді негіздеу үшін лимиттерді шексіз кіші шамалардың орнына қолдану кең таралды, бірақ пән кейде «шексіз кіші калькуль» деп аталады. Бернхард Риманн осы идеяларды интегралдың нақты анықтамасын беру үшін пайдаланды. Осы кезеңде комплекс талдаудың дамуымен калькульдің идеялары комплекс жазықтыққа да таратылды. Қазіргі заманғы математикада калькульдің негіздері нақты талдау саласына кіреді, ол калькуль теоремаларының толық анықтамалары мен дәлелдемелерін қамтиды. Калькульдің қолданылу аясы да кеңейді. Анри Лебег Эмиль Борельдің бұрынғы жұмыстарына негізделген өлшемдер теориясын ойлап тапты және оны ең патологиялық функциялардан басқа барлық функциялардың интегралдарын анықтау үшін пайдаланды. Лоран Шварц кез келген функцияның туындысын алуға болатын үлестірулерді енгізді. Лимиттер – калькульдің негізін қалаудың жалғыз қатаң тәсілі емес. Басқа бір тәсіл – Абрахам Робинсоннің стандартты емес талдауын қолдану. Робинсонның 1960 жылдары дамытқан тәсілі математикалық логикадан алынған техникалық құралдарды қолданып, нақты сандар жүйесін шексіз кіші және шексіз сандармен толықтырады, бұл Ньютон-Лейбниц концепциясына ұқсас. Нәтижесінде пайда болған сандар гипернақты сандар деп аталады және оларды калькульдің қалыпты ережелерін Лейбництік сипатта дамыту үшін пайдалануға болады. Стандартты емес талдаудан өзгеше, тегіс шексіз талдау да бар, ол туынды алу кезінде жоғары дәрежелі шексіз кіші шамаларды елемеуді талап етеді. Мажар ғалымы Джон фон Нейман бұл жұмыс туралы былай деп жазды: «Калькуль – қазіргі заманғы математиканың алғашқы жетістігі және оның маңыздылығын бағалау қиын. Менің ойымша, ол қазіргі заманғы математиканың басталуын анық көрсетеді, ал оның логикалық дамуы болып табылатын математикалық талдау жүйесі әлі күнге дейін нақты ойлаудағы ең үлкен техникалық жетістік құрайды». Дифференциалдық калькульдің қолданылуларына жылдамдық пен үдеуді есептеу, қисықтың еңістігін табу және оңтайландыру кіреді.

In calculus, foundations refers to the rigorous development of the subject from axioms and definitions. In early calculus, the use of infinitesimal quantities was thought unrigorous and was fiercely criticized by several authors, most notably Michel Rolle and Bishop Berkeley. Berkeley famously described infinitesimals as the ghosts of departed quantities in his book The Analyst in 1734. Working out a rigorous foundation for calculus occupied mathematicians for much of the century following Newton and Leibniz, and is still to some extent an active area of research today. Several mathematicians, including Maclaurin, tried to prove the soundness of using infinitesimals, but it would not be until 150 years later when, due to the work of Cauchy and Weierstrass, a way was finally found to avoid mere "notions" of infinitely small quantities. The foundations of differential and integral calculus had been laid. In Cauchy's Cours d'Analyse, we find a broad range of foundational approaches, including a definition of continuity in terms of infinitesimals, and a (somewhat imprecise) prototype of an (ε, δ) definition of limit in the definition of differentiation. In his work Weierstrass formalized the concept of limit and eliminated infinitesimals (although his definition can validate nilsquare infinitesimals). Following the work of Weierstrass, it eventually became common to base calculus on limits instead of infinitesimal quantities, though the subject is still occasionally called "infinitesimal calculus". Bernhard Riemann used these ideas to give a precise definition of the integral. It was also during this period that the ideas of calculus were generalized to the complex plane with the development of complex analysis. In modern mathematics, the foundations of calculus are included in the field of real analysis, which contains full definitions and proofs of the theorems of calculus. The reach of calculus has also been greatly extended. Henri Lebesgue invented measure theory, based on earlier developments by Émile Borel, and used it to define integrals of all but the most pathological functions. Laurent Schwartz introduced distributions, which can be used to take the derivative of any function whatsoever. Limits are not the only rigorous approach to the foundation of calculus. Another way is to use Abraham Robinson's non standard analysis. Robinson's approach, developed in the 1960s, uses technical machinery from mathematical logic to augment the real number system with infinitesimal and infinite numbers, as in the original Newton Leibniz conception. The resulting numbers are called hyperreal numbers, and they can be used to give a Leibniz like development of the usual rules of calculus. There is also smooth infinitesimal analysis, which differs from non standard analysis in that it mandates neglecting higher power infinitesimals during derivations. The Hungarian polymath John von Neumann wrote of this work,
The calculus was the first achievement of modern mathematics and it is difficult to overestimate its importance. I think it defines more unequivocally than anything else the inception of modern mathematics, and the system of mathematical analysis, which is its logical development, still constitutes the greatest technical advance in exact thinking. Applications of differential calculus include computations involving velocity and acceleration, the slope of a curve, and optimization.

Шектері мен шексіз кішігірімдер

Калькулус әдетте өте кішкентай шамалармен жұмыс істеу арқылы дамытылады. Тарихи тұрғыдан алғанда, мұндай жұмыс істеудің алғашқы әдісі – шексіз кіші шамалар. Бұл – нақты сандар сияқты қарастырылатын, бірақ белгілі бір мағынада «шексіз кішкентай» объектілер. Мысалы, шексіз кіші сан 0-ден үлкен, бірақ 1, 1/2, 1/3 тізбегіндегі кез келген сандан кіші болуы мүмкін, демек, кез келген оң нақты сандан кіші. Осы көзқарас бойынша, калькулус – шексіз кіші шамаларды манипуляциялау техникаларының жиынтығы. Символдар және шексіз кіші деп есептелді, ал туынды – олардың қатынасы болды. «Екі еселеу функциясы» деп аталатын функцияны арқылы, ал «квадраттау функциясын» арқылы белгілеуге болады. «Туынды» енді f(x) функциясын, яғни барлық ақпаратты – екінің төртке, үштің тоғызға, төрттің он алтыға және т.б. сәйкес келетінін қамтиды, кіріс ретінде қабылдайды және осы ақпаратты басқа функцияны шығару үшін пайдаланады, ол функциясы болып шығады. Лагранж белгілемесінде туындының символы – апостроф тәрізді таңба, оны «штрих» деп атайды. Осылайша, f функциясының туындысы f′ арқылы белгіленеді және «f штрих» немесе «f даш» деп оқылады. Мысалы, егер квадраттау функциясы болса, онда оның туындысы болады (жоғарыдағы g екі еселеу функциясы). Егер функцияның кірісі уақытты білдірсе, онда туынды – уақытқа қатысты болатын өзгерісті білдіреді. Мысалы, егер f функциясы уақытты кіріс ретінде қабылдап, сол уақыттағы шардың орнын шығару ретінде берсе, онда f-тің туындысы – уақыт өте келе шардың орны қалай өзгеретінін, яғни шардың жылдамдығын көрсетеді. Егер функцияның графигі түзу сызық болмаса, онда y-дың өзгеруінің x-тің өзгеруіне қатынасы өзгеріп отырады. Туындылар кіріс өзгеруіне қатысты шығыс өзгеруінің ұғымына нақты мағына береді. Нақтырақ айтқанда, f функциясын қарастырайық және f доменіндегі a нүктесін бекітейік. (a, f(a)) – функция графигіндегі нүкте. Егер h нөлге жақын сан болса, онда a + h саны a-ға жақын болады. Сондықтан (a + h, f(a + h)) нүктесі (a, f(a)) нүктесіне жақын болады. Бұл екі нүкте арасындағы еңіс келесі өрнекпен беріледі:

Calculus is usually developed by working with very small quantities. Historically, the first method of doing so was by infinitesimals. These are objects which can be treated like real numbers but which are, in some sense, "infinitely small". For example, an infinitesimal number could be greater than 0, but less than any number in the sequence 1, 1/2, 1/3, and thus less than any positive real number. From this point of view, calculus is a collection of techniques for manipulating infinitesimals. The symbols and were taken to be infinitesimal, and the derivative was their ratio. In more explicit terms the "doubling function" may be denoted by and the "squaring function" by The "derivative" now takes the function f(x), defined by the expression "x^(2)", as an input, that is all the information—such as that two is sent to four, three is sent to nine, four is sent to sixteen, and so on—and uses this information to output another function, the function , as will turn out. In Lagrange's notation, the symbol for a derivative is an apostrophe like mark called a prime. Thus, the derivative of a function called f is denoted by f′, pronounced "f prime" or "f dash". For instance, if is the squaring function, then is its derivative (the doubling function g from above). If the input of the function represents time, then the derivative represents change concerning time. For example, if f is a function that takes time as input and gives the position of a ball at that time as output, then the derivative of f is how the position is changing in time, that is, it is the velocity of the ball. If the graph of the function is not a straight line, however, then the change in y divided by the change in x varies. Derivatives give an exact meaning to the notion of change in output concerning change in input. To be concrete, let f be a function, and fix a point a in the domain of f. (a, f(a)) is a point on the graph of the function. If h is a number close to zero, then a + h is a number close to a. Therefore, (a + h, f(a + h)) is close to (a, f(a)). The slope between these two points is

Бұл өрнек – айырмашылықтардың бөлігі деп аталады. Қисық сызықтағы екі нүкте арқылы өтетін түзу – жанама сызық деп аталады, сондықтан m – (a, f(a)) және (a + h, f(a + h)) нүктелері арасындағы жанама сызықтың еңісі. Екінші түзу, функцияның a нүктесіндегі мінез-құлқына жуықтама ғана, өйткені ол a және a + h арасында не болатынын ескермейді. h-ді нөлге теңеу арқылы a нүктесіндегі мінез-құлқын анықтау мүмкін емес, өйткені бұл нөлге бөлуді талап етеді, ал ол анықталмаған. Туынды h нөлге ұмтылғандағы лимит арқылы анықталады, яғни ол f-тің барлық кішкентай h мәндері үшін мінез-құлқын қарастырады және h нөлге тең болған жағдайда тұрақты мәнді шығарады:

Геометриялық тұрғыдан алғанда, туынды – f функциясы графигіне a нүктесінде жанасатын түзудің еңісі. Жанама түзу – жанама сызықтардың лимиті, ал туынды – айырмашылықтардың бөлігінің лимиті. Осы себепті туынды кейде f функциясының еңісі деп аталады. Белгісіз интеграл, сондай-ақ антитуынды деп аталады, туындының кері амалы болып табылады. Мотивациялық мысал – белгілі бір уақыт ішінде жүрілген қашықтық.

Негізгі теорема

Калькульдің негізгі теоремасы дифференциация мен интеграцияның өзара кері операциялар екенін көрсетеді. Негізгі теорема шекті процестерді қолданбай, антитуындылардың формулаларын таба отырып, көптеген белгілі интегралдарды есептеудің алгебралық әдісін ұсынады. Сонымен қатар, бұл дифференциалдық теңдеудің үлгісі болып табылады. Дифференциалдық теңдеулер белгісіз функцияны оның туындыларымен байланыстырады және ғылымдарда кеңінен қолданылады.

Қолданбалар

Калькулус физикалық ғылымдардың, актуариалды ғылымның, компьютерлік ғылымның, статистиканың, инженерлік, экономиканың, бизнес, медицинаның, демографияның және басқа да салаларда қолданылады, кез келген проблема математикалық модельдеуге түсіріліп, оңтайлы шешімді табу қажет болған жағдайда. Ол өзгеріс жылдамдығынан (тұрақты емес) жалпы өзгеріске немесе керісінше өтуге мүмкіндік береді, және көптеген жағдайларда проблеманы зерттеу кезінде біз біреуін біліп, екіншісін табуға тырысамыз. Калькулус басқа математикалық пәндермен қатар қолданылуы мүмкін. Мысалы, оны сызықтық алгебрамен бірге домендегі нүктелер жиынтығы үшін ең жақсы сызықтық жуықтауды табу үшін пайдалануға болады. Сондай-ақ, ықтималдық теориясында, ықтималдық тығыздық функциясы берілген үздіксіз кездейсоқ айнымалының күтілетін мәнін анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Аналитикалық геометрияда функциялар графиктерін зерттеуде калькулус функцияның жоғары және төмен нүктелерін (максимумдарын және минимумдарын), еңісін, қисықтығын және бұрылу нүктелерін табу үшін қолданылады. Калькулус теңдеулерге жуықтап шешімдер табу үшін де қолданылады; практикада ол дифференциалдық теңдеулерді шешудің және көптеген қолданбаларда түбірлерді табудың стандартты тәсілі болып табылады. Мысалдарға Ньютон әдісі, бекітілген нүктелік итерация және сызықтық жуықтау жатады. Мысалы, ғарыш кемелері нөлдік гравитациялық ортада қисық траекторияларды жуықтау үшін Эйлер әдісінің модификациясын қолданады. Физика калькулусты ерекше пайдаланады; классикалық механика мен электромагнетизмдегі барлық ұғымдар калькулус арқылы байланысты. Белгілі тығыздықтағы дененің массасы, дененің инерция моменты және гравитациялық және электромагниттік күштерге байланысты потенциалдық энергиялар калькулустың көмегімен анықталуы мүмкін. Механикада калькулусты қолданудың мысалы – Ньютонның екінші қозғалыс заңы, ол дененің импульсының уақыт бойынша туындысы оған әсер ететін күштердің қосындысына тең дейді. Басқаша айтқанда, Ньютонның екінші заңын дененің күштердің қосындысы дененің массасына көбейтілген оның үдеуіне тең деп түсіндіруге болады, ал үдеу жылдамдықтың уақыт бойынша туындысы және осылайша кеңістіктік координаттың екінші уақыт бойынша туындысы болып табылады. Дененің үдеуін білгеннен бастап, оның траекториясын алу үшін калькулусты қолданамыз. Максвеллдің электромагнетизм теориясы және Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясы да дифференциалдық калькулус тілінде жазылған. Химия да реакция жылдамдықтарын анықтау және радиоактивті ыдырауды зерттеу үшін калькулусты пайдаланады. Грин теоремасы, қарапайым жабық контур C айналысындағы сызықтық интеграл мен C контурымен шектелген жазықтық аймақ D үстіндегі екі еселік интеграл арасындағы байланысты береді, ол сызбадағы жазық беттің ауданын есептеу үшін қолданылатын планиметр деп аталатын құралда қолданылады. Мысалы, мүліктің жоспарын жасау кезінде, дұрыс емес пішіндегі гүлзардың немесе бассейнің алатын ауданын есептеу үшін оны қолдануға болады. Медицинада калькулус қан тамырының ағынды максималды ету үшін оптималды тармақталу бұрышын табу үшін қолданылады. Калькулус дененің қаншалықты жылдам дәрі-дәрмектен арылатынын немесе қатерлі ісіктің қаншалықты жылдам өсетінін түсінуге көмектеседі. Экономикада калькулус шекті шығындар мен шекті кірістерді оңай есептеуге мүмкіндік беру арқылы максималды пайданы анықтауға мүмкіндік береді.

Calculus is used in every branch of the physical sciences, actuarial science, computer science, statistics, engineering, economics, business, medicine, demography, and in other fields wherever a problem can be mathematically modeled and an optimal solution is desired. It allows one to go from (non constant) rates of change to the total change or vice versa, and many times in studying a problem we know one and are trying to find the other. Calculus can be used in conjunction with other mathematical disciplines. For example, it can be used with linear algebra to find the "best fit" linear approximation for a set of points in a domain. Or, it can be used in probability theory to determine the expectation value of a continuous random variable given a probability density function. In analytic geometry, the study of graphs of functions, calculus is used to find high points and low points (maxima and minima), slope, concavity and inflection points. Calculus is also used to find approximate solutions to equations; in practice, it is the standard way to solve differential equations and do root finding in most applications. Examples are methods such as Newton's method, fixed point iteration, and linear approximation. For instance, spacecraft use a variation of the Euler method to approximate curved courses within zero gravity environments. Physics makes particular use of calculus; all concepts in classical mechanics and electromagnetism are related through calculus. The mass of an object of known density, the moment of inertia of objects, and the potential energies due to gravitational and electromagnetic forces can all be found by the use of calculus. An example of the use of calculus in mechanics is Newton's second law of motion, which states that the derivative of an object's momentum concerning time equals the net force upon it. Alternatively, Newton's second law can be expressed by saying that the net force equals the object's mass times its acceleration, which is the time derivative of velocity and thus the second time derivative of spatial position. Starting from knowing how an object is accelerating, we use calculus to derive its path. Maxwell's theory of electromagnetism and Einstein's theory of general relativity are also expressed in the language of differential calculus. Chemistry also uses calculus in determining reaction rates and in studying radioactive decay. Green's theorem, which gives the relationship between a line integral around a simple closed curve C and a double integral over the plane region D bounded by C, is applied in an instrument known as a planimeter, which is used to calculate the area of a flat surface on a drawing. For example, it can be used to calculate the amount of area taken up by an irregularly shaped flower bed or swimming pool when designing the layout of a piece of property. In the realm of medicine, calculus can be used to find the optimal branching angle of a blood vessel to maximize flow. Calculus can be applied to understand how quickly a drug is eliminated from a body or how quickly a cancerous tumor grows. In economics, calculus allows for the determination of maximal profit by providing a way to easily calculate both marginal cost and marginal revenue.