Кіріспе
есептеуде құрама туындылар
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
Құрама функциялардың туындылары үшін
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
Есептеуде, тізбектік ереже – екі дифференциалданатын функциялар f және g құрамының туындысын f және g туындылары арқылы өрнектейтін формула. Нақтырақ айтқанда, егер функциясы әр x үшін болса, онда тізбектік ереже Лагранж белгісімен былай жазылады:
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
немесе, балама ретінде:
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
Тізбектік ереже Лейбниц белгісімен де жазылуы мүмкін. Егер z айнымалысы y айнымалысына тәуелді болса, ал y өзі x айнымалысына тәуелді болса (яғни y және z тәуелді айнымалылар), онда z аралық y айнымалысы арқылы x-ке де тәуелді болады. Бұл жағдайда тізбектік ереже былай өрнектеледі:
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
және
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
туындыларды қай нүктелерде есептеу керектігін көрсету үшін. Интегралдау кезінде тізбектік ережеге сәйкес келетін нәрсе – алмастыру ережесі.
For derivatives of composed functions
In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation,
or, equivalently,
The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as
and
for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule.
Квотиент ережесі
Тізбек ережесін белгілі бір дифференциациялау ережелерін шығару үшін қолдануға болады. Мысалы, бөлім ережесі – тізбек ережесі мен көбейтінді ережесінің салдары. Мұны түсіну үшін f(x)/g(x) функциясын f(x) · 1/g(x) көбейтіндісі түрінде жазыңыз. Бірінші кезекте көбейтінді ережесін қолданыңыз: 1/g(x) туындысын есептеу үшін g функциясының кері функциясымен, яғни x-ті 1/x-ке бейнелейтін функцияның композициясына назар аударыңыз. Кері функцияның туындысы: тізбек ережесін қолдану арқылы соңғы өрнек: болады, бұл бөлім ережесінің қалыпты формуласы.
To compute the derivative of 1/g(x), notice that it is the composite of g with the reciprocal function, that is, the function that sends x to 1/x. The derivative of the reciprocal function is By applying the chain rule, the last expression becomes:
which is the usual formula for the quotient rule.
Инверс функциялар туындылары
1=y = g(x) функциясының кері функциясы бар деп есептейік. Оның кері функциясын f деп атайық, сонда 1=x = f(y) болады. f-тің туындысын g-дің туындысы арқылы табуға формула бар. Мұны көру үшін, f және g келесі формулаға қанағаттандырады:
And because the functions and x are equal, their derivatives must be equal. The derivative of x is the constant function with value 1, and the derivative of is determined by the chain rule. Therefore, we have that:
To express f' as a function of an independent variable y, we substitute for x wherever it appears. Then we can solve for f'. For example, consider the function 1=g(x) = e^(x). It has an inverse 1=f(y) = ln y. Because 1=g′(x) = e^(x), the above formula says that
This formula is true whenever g is differentiable and its inverse f is also differentiable. This formula can fail when one of these conditions is not true. For example, consider 1=g(x) = x^(3). Its inverse is 1=f(y) = y^(1/3), which is not differentiable at zero. If we attempt to use the above formula to compute the derivative of f at zero, then we must evaluate 1=1/g′(f(0)). Since 1=f(0) = 0 and 1=g′(0) = 0, we must evaluate 1/0, which is undefined. Therefore, the formula fails in this case. This is not surprising because f is not differentiable at zero.
Және x және функциялары тең болғандықтан, олардың туындылары да тең болуы керек. x-тің туындысы – 1 мәніндегі тұрақты функция, ал функцияның туындысы тізбектік ереже бойынша анықталады. Сондықтан, f'-ті y тәуелсіз айнымалының функциясы ретінде көрсету үшін, x-ті ол пайда болатын жерде ауыстырамыз. Содан кейін f'-ті шеше аламыз. Мысалы, 1=g(x) = e^(x) функциясын қарастырайық. Оның кері функциясы 1=f(y) = ln y. 1=g′(x) = e^(x) болғандықтан, жоғарыдағы формула g дифференциалданатын және оның кері функциясы f де дифференциалданатын болса ғана дұрыс екенін көрсетеді. Бұл формула осы шарттардың бірі орындалмаған жағдайда қате болуы мүмкін. Мысалы, 1=g(x) = x^(3) деп қарастырайық. Оның кері функциясы 1=f(y) = y^(1/3), ол нөлде дифференциалдана алмайды. Егер f-тің нөлдегі туындысын есептеу үшін жоғарыдағы формуланы қолдануға тырыссақ, онда 1=1/g′(f(0)) шамасын табуымыз керек. 1=f(0) = 0 және 1=g′(0) = 0 болғандықтан, біз 1/0 шамасын табуымыз керек, ол анықталмаған. Сондықтан, формула осы жағдайда қате. Бұл таңқаларлық емес, өйткені f нөлде дифференциалдана алмайды.
And because the functions and x are equal, their derivatives must be equal. The derivative of x is the constant function with value 1, and the derivative of is determined by the chain rule. Therefore, we have that:
To express f' as a function of an independent variable y, we substitute for x wherever it appears. Then we can solve for f'. For example, consider the function 1=g(x) = e^(x). It has an inverse 1=f(y) = ln y. Because 1=g′(x) = e^(x), the above formula says that
This formula is true whenever g is differentiable and its inverse f is also differentiable. This formula can fail when one of these conditions is not true. For example, consider 1=g(x) = x^(3). Its inverse is 1=f(y) = y^(1/3), which is not differentiable at zero. If we attempt to use the above formula to compute the derivative of f at zero, then we must evaluate 1=1/g′(f(0)). Since 1=f(0) = 0 and 1=g′(0) = 0, we must evaluate 1/0, which is undefined. Therefore, the formula fails in this case. This is not surprising because f is not differentiable at zero.
Артқа таралу
Тізбек ережесі терең оқытудағы (жасанды интеллект) нейрондық желілердің градиенттік түсуінде қолданылатын кері тарату алгоритмінің негізі болып табылады.
Жоғары деривативтер
Фаа ди Бруно формуласы тізбек ережесін жоғары туындыларға жалпылайды. Егер және болса, онда алғашқы бірнеше туындылар:
Екінші дәлел
Тізбек ережесін дәлелдеудің тағы бір жолы – туындымен анықталған сызықтық жуықтаудың қателігін өлшеу. Бұл дәлелдеме бірнеше айнымалыға жалпылауға мүмкіндік береді. Ол келесідей эквивалентті анықтамаға сүйенеді: g функциясы a нүктесінде дифференциалданады, егер g'(a) және ε(h) функциясы болса, ол h нөлге жақындағанда нөлге жақындайды, және сонымен қатар
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
Мұнда сол жақ g функциясының a және a + h нүктелеріндегі мәндерінің нақты айырмасын, ал оң жақ туынды және қателік мүшесімен анықталған жуықтауды көрсетеді. Тізбек ережесінің жағдайында, g функциясы a нүктесінде дифференциалданады деп есептелетін болғандықтан, мұндай ε функциясы бар. Сонымен қатар, f функциясы үшін g(a) нүктесінде де ұқсас функция бар деп есептеуге болады. Бұл функцияны η деп атайтын болсақ, жоғарыдағы анықтама η(0) үшін ешқандай шектеу қоймайды, тіпті η(k) k нөлге жақындағанда нөлге жақындайды десек те. Егер η(0) = 0 деп қойсақ, онда η функциясы 0 нүктесінде үздіксіз болады. Теореманы дәлелдеу үшін h нөлге жақындағанда f(g(a + h)) − f(g(a)) айырмасын зерттеу қажет. Бірінші қадам – g(a + h) орнына g функциясының a нүктесіндегі дифференциалдану анықтамасын қолдану:
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
Екінші қадам – f функциясының g(a) нүктесіндегі дифференциалдану анықтамасын қолдану. Бұл үшін кейбір k үшін f(g(a) + k) түріндегі мүше қажет. Жоғарыдағы теңдеуде дұрыс k мәні h-қа байланысты өзгереді. 1 = kh = g'(a)h + ε(h)h деп алып, оң жағы f(g(a) + kh) − f(g(a)) болады. Туындының анықтамасын қолдансақ:
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
h нөлге жақындағанда бұл өрнектің қалай өзгеретінін зерттеу үшін kh-ты ашып шығу керек. Мүшелерді қайта топтастырғаннан кейін оң жақ:
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
ε(h) және η(kh) функциялары h нөлге жақындағанда нөлге жақындайтындықтан, бірінші екі жақшадағы мүшелер h нөлге жақындағанда нөлге жақындайды. Бірінші дәлелдемедегідей лимиттердің көбейтінділері үшін қолданылатын теореманы пайдалансақ, үшінші жақшадағы мүше де нөлге жақындайды. Жоғарыдағы өрнек f(g(a + h)) − f(g(a)) айырмасына тең болғандықтан, туындының анықтамасы бойынша f ∘ g функциясы a нүктесінде дифференциалданады және оның туындысы f'(g(a))g'(a) болады. Бірінші дәлелдемедегі Q рөлін осы дәлелдемеде η атқарады. Олар мына теңдеумен байланысты:
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
Q функциясын g(a) нүктесінде анықтау қажеттігі η функциясын 0 нүктесінде анықтау қажеттігіне ұқсас.
Here the left hand side represents the true difference between the value of g at a and at a + h, whereas the right hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term. In the situation of the chain rule, such a function ε exists because g is assumed to be differentiable at a. Again by assumption, a similar function also exists for f at g(a). Calling this function η, we have
The above definition imposes no constraints on η(0), even though it is assumed that η(k) tends to zero as k tends to zero. If we set 1=η(0) = 0, then η is continuous at 0. Proving the theorem requires studying the difference f(g(a + h)) − f(g(a)) as h tends to zero. The first step is to substitute for g(a + h) using the definition of differentiability of g at a:
The next step is to use the definition of differentiability of f at g(a). This requires a term of the form f(g(a) + k) for some k. In the above equation, the correct k varies with h. Set 1=kh = g′(a) h + ε(h) h and the right hand side becomes f(g(a) + kh) − f(g(a)). Applying the definition of the derivative gives:
To study the behavior of this expression as h tends to zero, expand kh. After regrouping the terms, the right hand side becomes:
Because ε(h) and η(kh) tend to zero as h tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as h tends to zero. Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero. Because the above expression is equal to the difference f(g(a + h)) − f(g(a)), by the definition of the derivative f ∘ g is differentiable at a and its derivative is f′(g(a)) g′(a). The role of Q in the first proof is played by η in this proof. They are related by the equation:
The need to define Q at g(a) is analogous to the need to define η at zero.
Көпбұрышты функциялардың жоғары туындылары
Фаа ди Бруноның бір айнымалы функциялардың жоғары ретті туындыларына арналған формуласы көп айнымалы жағдайға да қолданылады. Егер y = f(u) функциясы, және u = g(x) болса, онда f ∘ g функциясының екінші туындысы:
Қосымша жалпылаулар
Калькульдің барлық кеңейтулері тізбекті ережеге ие. Олардың көпшілігінде формула бірдей болады, бірақ оның мағынасы мүлдем басқаша болуы мүмкін. Бір жалпылау – көпқырлылықтар. Бұл жағдайда тізбекті ереже f ∘ g туындысының f және g туындысының композициясы екенін көрсетеді. Бұл теорема жоғарыда келтірілген жоғары өлшемді тізбекті ережеден тікелей туындайды және дәл сол формулаға ие. Тізбекті ереже Банах кеңістіктеріндегі Фреше туындылары үшін де жарамды. Алдыңғы формуламен бірдей. Бұл жағдай және оған дейінгі жағдай Банах көпқырлылықтарына бір мезгілде жалпылауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық алгебрада туынды Калер дифференциалдары модульдерінің морфизмі ретінде қарастырылады. Коммутативті сақиналардың сақиналық гомоморфизмі f : R → S, Калер дифференциалдарының Df : ΩR → ΩS морфизмін анықтайды, ол dr элементін d(f(r)) – f(r) сыртқы туындысына жібереді. Бұл жағдайда да 1 = D(f ∘ g) = Df ∘ Dg формуласы қолданылады. Бұл мысалдардың ортақ ерекшелігі – олар туындының функтордың бір бөлігі екенін көрсетеді. Функтор – кеңістіктер мен олардың арасындағы функцияларға қолданылатын амал. Ол әр кеңістікке жаңа кеңістік, ал екі кеңістіктің арасындағы әр функцияға сәйкес жаңа кеңістіктер арасындағы жаңа функцияны қосады. Жоғарыда аталған жағдайлардың әрқайсысында функтор әр кеңістікті оның жанама шоғырына (tangent bundle) жібереді және әр функцияны оның туындысына жібереді. Мысалы, көпқырлылық жағдайында туынды C^(r) көпқырлылықты C^(r−1) көпқырлылыққа (оның жанама шоғырына) және C^(r) функцияны оның толық туындысына жібереді. Бұл функтор болуы үшін бір талап бар, атап айтқанда, композицияның туындысы туындылардың композициясына тең болуы керек. Бұл дәл 1 = D(f ∘ g) = Df ∘ Dg формуласы. Стохастикалық есептеуде де тізбекті ережелер бар. Олардың бірі – Ито леммасы, ол Ито процесінің (немесе жалпы алғанда, жартылай мартингаль) dXt және екі рет дифференциалданатын функция f композициясын көрсетеді. Ито леммасында композицияланған функцияның туындысы тек dXt және f туындысына ғана емес, сонымен қатар f екінші туындысына да байланысты. Екінші туындыға тәуелділік – стохастикалық процестің нөлдік емес квадраттық өзгерісінің салдары, бұл процесс өте қатал түрде жоғары да, төмен де қозғалуы мүмкін дегенді білдіреді. Бұл тізбекті ереженің нұсқасы функтордың мысалы емес, өйткені композицияланатын екі функция әртүрлі типті.