Кіріспе
көпөлшемді функцияның жалпыланған туындысы. Көпөлшемді туынды (математика)
Multivariate derivative (mathematics)
In vector calculus, the gradient of a scalar valued differentiable function of several variables is the vector field (or vector valued function) whose value at a point gives the direction and the rate of fastest increase. The gradient transforms like a vector under change of basis of the space of variables of If the gradient of a function is non zero at a point , the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from , and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to minimize a function by gradient descent. In coordinate free terms, the gradient of a function may be defined by:
where is the total infinitesimal change in for an infinitesimal displacement , and is seen to be maximal when is in the direction of the gradient The nabla symbol , written as an upside down triangle and pronounced "del", denotes the vector differential operator. When a coordinate system is used in which the basis vectors are not functions of position, the gradient is given by the vector whose components are the partial derivatives of at That is, for , its gradient is defined at the point in n dimensional space as the vector
Note that the above definition for gradient is only defined for the function , if it is differentiable at There can be functions for which partial derivatives exist in every direction but fail to be differentiable. For example, the function unless at origin where , is not differentiable at the origin as it does not have a well defined tangent plane despite having well defined partial derivatives in every direction at the origin. In this particular example, under rotation of x y coordinate system, the above formula for gradient fails to transform like a vector (gradient becomes dependent on choice of basis for coordinate system) and also fails to point towards the 'steepest ascent' in some orientations. For differentiable functions where the formula for gradient holds, it can be shown to always transform as a vector under transformation of the basis so as to always point towards the fastest increase. The gradient is dual to the total derivative : the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of at a point with another tangent vector equals the directional derivative of at of the function along ; that is, The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see .
Векторлық есептеуде, бірнеше айнымалысы бар скалярлық мәнді дифференциалданатын функцияның градиенті — бұл векторлық өріс (немесе векторлық мәнді функция), оның бір нүктедегі мәні бағытты және ең жылдам өсу деңгейін көрсетеді. Градиент, айнымалылар кеңістігінің негізі өзгергенде вектор ретінде өзгереді. Егер функцияның градиенті нөлден өзгеше нүктеде болса, градиент бағыты — бұл функцияның сол нүктеден ең жылдам өсетін бағыты, ал градиентінің шамасы — сол бағыттағы өсу деңгейі, ең үлкен абсолютті бағыттық туынды. Сондай-ақ, градиенті нөлдік вектор болатын нүкте тұрақты нүкте деп аталады. Осылайша, градиент оптимизация теориясында маңызды рөл атқарады, онда функцияны градиенттік түсу арқылы кішірету үшін қолданылады. Координаттарға тәуелсіз тұрғыдан функцияның градиенті былай анықталады:
Multivariate derivative (mathematics)
In vector calculus, the gradient of a scalar valued differentiable function of several variables is the vector field (or vector valued function) whose value at a point gives the direction and the rate of fastest increase. The gradient transforms like a vector under change of basis of the space of variables of If the gradient of a function is non zero at a point , the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from , and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to minimize a function by gradient descent. In coordinate free terms, the gradient of a function may be defined by:
where is the total infinitesimal change in for an infinitesimal displacement , and is seen to be maximal when is in the direction of the gradient The nabla symbol , written as an upside down triangle and pronounced "del", denotes the vector differential operator. When a coordinate system is used in which the basis vectors are not functions of position, the gradient is given by the vector whose components are the partial derivatives of at That is, for , its gradient is defined at the point in n dimensional space as the vector
Note that the above definition for gradient is only defined for the function , if it is differentiable at There can be functions for which partial derivatives exist in every direction but fail to be differentiable. For example, the function unless at origin where , is not differentiable at the origin as it does not have a well defined tangent plane despite having well defined partial derivatives in every direction at the origin. In this particular example, under rotation of x y coordinate system, the above formula for gradient fails to transform like a vector (gradient becomes dependent on choice of basis for coordinate system) and also fails to point towards the 'steepest ascent' in some orientations. For differentiable functions where the formula for gradient holds, it can be shown to always transform as a vector under transformation of the basis so as to always point towards the fastest increase. The gradient is dual to the total derivative : the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of at a point with another tangent vector equals the directional derivative of at of the function along ; that is, The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see .
мұнда — бұл шексіз кішкентай ығысу үшін жалпы шексіз кішкентай өзгеріс, және градиент бағытында максималды болады. Набла символы , төңкерілген үшбұрыш түрінде жазылады және «дел» деп айтылады, бұл векторлық дифференциалдық операторды білдіреді. Егер координата жүйесінде негізгі векторлар позицияның функциялары болмаса, градиенттің компоненттері — бұл функцияның ішінара туындылары болып табылатын вектормен беріледі. Яғни, үшін оның градиенті n өлшемді кеңістіктегі нүктеде вектор ретінде анықталады.
Multivariate derivative (mathematics)
In vector calculus, the gradient of a scalar valued differentiable function of several variables is the vector field (or vector valued function) whose value at a point gives the direction and the rate of fastest increase. The gradient transforms like a vector under change of basis of the space of variables of If the gradient of a function is non zero at a point , the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from , and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to minimize a function by gradient descent. In coordinate free terms, the gradient of a function may be defined by:
where is the total infinitesimal change in for an infinitesimal displacement , and is seen to be maximal when is in the direction of the gradient The nabla symbol , written as an upside down triangle and pronounced "del", denotes the vector differential operator. When a coordinate system is used in which the basis vectors are not functions of position, the gradient is given by the vector whose components are the partial derivatives of at That is, for , its gradient is defined at the point in n dimensional space as the vector
Note that the above definition for gradient is only defined for the function , if it is differentiable at There can be functions for which partial derivatives exist in every direction but fail to be differentiable. For example, the function unless at origin where , is not differentiable at the origin as it does not have a well defined tangent plane despite having well defined partial derivatives in every direction at the origin. In this particular example, under rotation of x y coordinate system, the above formula for gradient fails to transform like a vector (gradient becomes dependent on choice of basis for coordinate system) and also fails to point towards the 'steepest ascent' in some orientations. For differentiable functions where the formula for gradient holds, it can be shown to always transform as a vector under transformation of the basis so as to always point towards the fastest increase. The gradient is dual to the total derivative : the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of at a point with another tangent vector equals the directional derivative of at of the function along ; that is, The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see .
Жоғарыдағы градиент анықтамасы тек функция үшін ғана анықталған, егер ол дифференциалданатын болса. Мүмкін, кейбір функциялар бар, олардың әр бағытта ішінара туындылары бар, бірақ дифференциалдана алмайды. Мысалы, функциясы, тек бастапқы нүктеде емес, онда , бастапқы нүктеде жақсы анықталған ішінара туындылары болғанына қарамастан, дифференциалдана алмайды, өйткені оның жақсы анықталған жанама жазықтығы жоқ. Осы нақты мысалда, x және y координаттар жүйесінің бұрылуы кезінде, жоғарыдағы градиент формуласы вектор ретінде өзгере алмайды (градиент координата жүйесі үшін негізді таңдауға тәуелді болады) және кейбір бағдарларда «ең тік өрлеуге» сілтеме жасай алмайды. Градиент формуласы дұрыс болатын дифференциалданатын функциялар үшін, оның негізді түрлендіру кезінде әрқашан вектор ретінде өзгеруін көрсетуге болады, сондықтан әрқашан ең жылдам өсуге бағытталады. Градиент толық туындыға дуалды: градиенттің нүктедегі мәні — жанама вектор, әр нүктеде вектор; ал туындының нүктедегі мәні — котангенс вектор, векторлар бойынша сызықтық функционал. Олар бір-бірімен байланысты, өйткені градиенттің нүктелік көбейтіндісі басқа жанама вектормен бірге функцияның бағыттық туындысына тең; яғни, градиент көптеген жалпы функциялар үшін бірнеше жалпыламаларға ие; қараңыз.
Multivariate derivative (mathematics)
In vector calculus, the gradient of a scalar valued differentiable function of several variables is the vector field (or vector valued function) whose value at a point gives the direction and the rate of fastest increase. The gradient transforms like a vector under change of basis of the space of variables of If the gradient of a function is non zero at a point , the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from , and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to minimize a function by gradient descent. In coordinate free terms, the gradient of a function may be defined by:
where is the total infinitesimal change in for an infinitesimal displacement , and is seen to be maximal when is in the direction of the gradient The nabla symbol , written as an upside down triangle and pronounced "del", denotes the vector differential operator. When a coordinate system is used in which the basis vectors are not functions of position, the gradient is given by the vector whose components are the partial derivatives of at That is, for , its gradient is defined at the point in n dimensional space as the vector
Note that the above definition for gradient is only defined for the function , if it is differentiable at There can be functions for which partial derivatives exist in every direction but fail to be differentiable. For example, the function unless at origin where , is not differentiable at the origin as it does not have a well defined tangent plane despite having well defined partial derivatives in every direction at the origin. In this particular example, under rotation of x y coordinate system, the above formula for gradient fails to transform like a vector (gradient becomes dependent on choice of basis for coordinate system) and also fails to point towards the 'steepest ascent' in some orientations. For differentiable functions where the formula for gradient holds, it can be shown to always transform as a vector under transformation of the basis so as to always point towards the fastest increase. The gradient is dual to the total derivative : the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of at a point with another tangent vector equals the directional derivative of at of the function along ; that is, The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see .
Мотивация
Температура скалярлық өріспен берілген бөлмені қарастырайық, T, сондықтан әр нүктеде (x, y, z) температура уақытқа тәуелсіз T(x, y, z) болады. Бөлменің әрбір нүктесінде T градиенті температураның (x, y, z) нүктесінен ең жылдам көтерілетін бағытын көрсетеді. Градиенттің шамасы температураның сол бағытта қаншалықты тез өзгеретінін анықтайды. Теңіз деңгейінен (x, y) нүктесінде H(x, y) биіктігі бар жер бетін қарастырайық. H-ның градиенті - сол нүктедегі ең тік көлбеу немесе ең төменгі нүктеге қарай бағытталған жазықтық векторы. Бұл нүктедегі көлбеудің тіктілігі градиент векторының шамасымен беріледі. Градиентті скалярлық өрістің басқа бағыттардағы өзгеруін өлшеу үшін де қолдануға болады, тек ең үлкен өзгеру бағыты ғана емес, скалярлық көбейту арқылы. Егер дөңестің ең тік беткейі 40% болса, тікелей жоғары қарайтын жолдың көлбеуі 40%-қа тең болады, ал дөңестің айналасын бұрышта кезіп өтетін жолдың көлбеуі төмен болады. Мысалы, егер жол көтерілу бағытынан 60° бұрышта орналасса (егер екі бағыт та көлденең жазықтыққа проекцияланса), онда жол бойындағы көлбеу градиент векторы мен жол бойындағы бірлік векторы арасындағы скалярлық көбейту болады, себебі скалярлық көбейту жол бойындағы бірлік векторының ең тік көлбеумен қаншалықты сәйкес екенін өлшейді, бұл 40%-тың 60° косинусына тең, яғни 20%. Жалпы алғанда, егер H биіктік функциясы дифференциалданатын болса, онда H-ның бірлік вектормен скалярлық көбейтілген градиенті, вектор бағытындағы биіктіктің көлбеуін, H-ның бірлік вектор бойынша бағыттық туындысын береді.
Нөмірлік
Функцияның градиенті нүктеде әдетте былай жазылады. Ол келесілердің кез келгенімен де белгіленуі мүмкін: нәтижесінің векторлық сипатын көрсету үшін. және: Эйнштейн нотациясымен жазылғанда, қайталанатын индекстер (i) бойынша қосылады.
: to emphasize the vector nature of the result. and : Written with Einstein notation, where repeated indices (i) are summed over.
Анықтама
Скалярлық функция f(x1, x2, x3, ..., xn) градиенті (немесе градиент векторлық өрісі) ∇f немесе ∇ арқылы белгіленеді, мұнда ∇ (набла) – векторлық дифференциалдық оператор, del. Градиентті көрсету үшін grad f белгісі де жиі қолданылады. f градиенті – әрбір x нүктесіндегі кез келген 'v' векторымен скалярлық көбейтіндісі 'v' бағытындағы f функциясының бағыттық туындысына тең болатын бірегей векторлық өріс ретінде анықталады. Яғни,
оң жағы – бағыттық туынды, оны көрсетудің көптеген тәсілдері бар. Формальды түрде туынды градиентке жұптас; туындымен байланысын қараңыз. Егер функция уақыт сияқты параметрге тәуелді болса, градиент көбінесе оның кеңістіктік туындыларының векторын ғана білдіреді (Кеңістіктік градиентті қараңыз). Градиент вектордың шамасы мен бағыты координаттар жүйесіне тәуелсіз.
Функцияға сызықтық шамалау
Функцияның ең жақсы сызықтық жуықтауын туынды емес, градиент арқылы беруге болады. Эвклид кеңістігінен кез келген нүктеге дейінгі функцияның градиенті , нүктесінде функцияның ең жақсы сызықтық жуықтауын сипаттайды. Жуықтау келесідей:
-ға жақын үшін, мұнда - нүктесінде есептелген функцияның градиенті, ал нүкте - бұл нүктелік көбейтуді білдіреді. Бұл теңдеу нүктесіндегі функцияның көп айнымалы Тейлор қатарының кеңеюіндегі алғашқы екі мүшесіне тең.
Деңгейлік жиынтықтар
Тегіс бет немесе изобет – белгілі бір функцияның нақты бір мәнге ие барлық нүктелер жиынтығы. Егер f дифференциалданатын болса, онда x нүктесіндегі градиенттің v векторымен скалярлық көбейтіндісі (∇f)x ⋅ v, v бағытындағы x нүктесіндегі f функциясының бағыттық туындысын береді. Осыдан келіп, бұл жағдайда f градиенті f деңгейлік жиындарына перпендикуляр болады. Мысалы, үш өлшемді кеңістіктегі тегіс бет 1=F(x, y, z) = c түріндегі теңдеумен анықталады. F градиенті осы бетке нормаль болады. Жалпы алғанда, Римандық көптүрліліктегі кез келген ендірілген гипербет 1=F(P) = 0 түріндегі теңдеумен кесіле алады, мұнда dF ешқандай жерде нөлге тең болмайды. F градиенті гипербетке нормаль болады. Сол сияқты, аффиндік алгебралық гипербет 1=F(x1, ..., xn) = 0 теңдеуімен анықталуы мүмкін, мұнда F – полином. F градиенті гипербеттің ерекше нүктесінде нөлге тең (бұл ерекше нүктенің анықтамасы). Ерекше емес нүктеде ол нөлден өзгеше нормальдық вектор болады.
Консервативті векторлық өрістер және градиент теоремасы
Функцияның градиенті градиент өрісі деп аталады. (Үзіліссіз) градиент өрісі әрқашан консервативті векторлық өріс болады: кез келген жол бойындағы оның сызықтық интегралы тек жолдың бастапқы және соңғы нүктелеріне ғана тәуелді және градиент теоремасымен (сызықтық интегралдар үшін негізгі есептеу теоремасы) есептелуі мүмкін. Керісінше, (үзіліссіз) консервативті векторлық өріс әрқашан бір функцияның градиенті болады.
Якоб
Якоб матрицасы – бірнеше айнымалылардың векторлық функциялары үшін градиенттің жалпыламасы және Евклид кеңістіктері немесе, жалпы алғанда, көптүрліліктер арасындағы дифференциалданатын функциялар. Банах кеңістіктеріндегі функция үшін одан әрі жалпыламасы – Фреше туындысы. Егер 'f': 'R'^(n) → 'R'^(m) функциясының барлық бірінші реттік жеке туындылары ℝ^(n) -де болса, онда 'f' Якоб матрицасы m×n матрицасы ретінде анықталады, немесе жай ғана. (i,j)-шы элементі Explicitly көрсетіледі.