Эудженио Калаби: өмірі мен математикалық жетістіктері
Eugenio Calabi
Эудженио Калаби (1923-2023) – итало-американ математигі, дифференциалды геометрия және теңдеулер саласындағы ғылымымен танымал. Өмірі мен еңбектері туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Итальян туған американдық математик (1923–2023)
Italian born American mathematician (1923–2023)
Эудженио Калаби (11 мамыр 1923 – 25 қыркүйек 2023) – итальян туған американдық математик және Пенсильвания университетінің Томас А. Скотт атындағы математика профессоры, дифференциалдық геометрия, дербес дифференциалдық теңдеулер және олардың қолданылу салаларында маманданған.
Eugenio Calabi (May 11, 1923 – September 25, 2023) was an Italian born American mathematician and the Thomas A. Scott Professor of Mathematics at the University of Pennsylvania, specializing in differential geometry, partial differential equations and their applications.
Ерте өмір және білім
Калаби 1923 жылғы 11 мамырда Милан қаласында еврей отбасында дүниеге келді. Оның әпкесі журналист Туллия Зеви Калаби болды. 1938 жылы нәсілдік заңдарға байланысты отбасы Италиядан кетіп, 1939 жылы АҚШ-қа келді. 1939 жылдың күзінде, бар болғаны 16 жасында Калаби Массачусетс технология институтына химиялық инженерия мамандығын оқуға түсті. 1943 жылы АҚШ армиясына әскерге шақырылып, Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде қызмет еткендіктен оқуын тоқтатты. 1946 жылы әскерден босатылғаннан кейін Калаби G.I. Bill арқасында бакалавр дәрежесін аяқтады және Путнам стипендиясын иеленді. 1947 жылы Иллинойс университетінің Урбана-Шампейн бөлімшесінен математика магистрі, ал 1950 жылы Принстон университетінен математика ғылымдарының докторы ғылыми дәрежесін алды. Оның докторлық диссертациясы "Келер манифольдтарының изометриялық кешенді аналитикалық енгізілуі" деп аталады және Соломон Бохнердің ғылыми жетекшілігімен жазылған.
Calabi was born in Milan, Italy on May 11, 1923, into a Jewish family. His sister was the journalist Tullia Zevi Calabi. In 1938, the family left Italy because of the racial laws, and in 1939 arrived in the United States. In the fall of 1939, aged only 16, Calabi enrolled at the Massachusetts Institute of Technology, studying chemical engineering. His studies were interrupted when he was drafted in the US military in 1943 and served during World War II. Upon his discharge in 1946, Calabi was able to finish his bachelor's degree under the G. I. Bill, and was a Putnam Fellow. He received a master's degree in mathematics from the University of Illinois Urbana Champaign in 1947 and his PhD in mathematics from Princeton University in 1950. His doctoral dissertation, titled "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds", was done under the supervision of Salomon Bochner.
Академиялық мансап
1951-1955 жылдары Луизиана штаты университетінде доцент болып жұмыс істеді, ал 1955 жылы Миннесота университетіне көшті, онда 1960 жылы толық профессор атанды. 1964 жылы Калаби Пенсильвания университетінің математика факультетіне қабылданып, қызметке кірісті. Ханс Радемахер зейнетке шыққаннан кейін, 1968 жылы Пенсильвания университетінің Томас А. Скотт атындағы математика профессоры лауазымына тағайындалды. 1994 жылы Калаби зейнеткерлік мәртебесіне ие болды, ал 2014 жылы университет оған ғылым докторының құрметті атағын берді. 1982 жылы Калаби Ұлттық ғылым академиясының мүшесі болып сайланды. 1991 жылы Америка математика қоғамының Лерой П. Стил сыйлығына ие болды, оның «жаһандық дифференциалдық геометрия, әсіресе күрделі дифференциалдық геометрия саласындағы негізгі еңбектері» «саланың тұрқы мен бағытын түбегейлі өзгертіп, жаңа деңгейге көтерді» деп бағаланды. 2021 жылы Италия Республикасының Еңбегі үшін орденінің командирі атағымен марапатталды.
From 1951 to 1955 he was an assistant professor at Louisiana State University, and he moved to the University of Minnesota in 1955, where he became a full professor in 1960. In 1964, Calabi joined the mathematics faculty at the University of Pennsylvania. Following the retirement of Hans Rademacher, he was appointed to the Thomas A. Scott Professorship of Mathematics at the University of Pennsylvania in 1968. In 1994, Calabi assumed emeritus status, and in 2014 the university awarded him an honorary doctorate of science. In 1982, Calabi was elected to the National Academy of Sciences. He won the Leroy P. Steele Prize from the American Mathematical Society in 1991, where his "fundamental work on global differential geometry, especially complex differential geometry" was cited as having "profoundly changed the landscape of the field". In 2021, he was awarded Commander of the Order of Merit of the Italian Republic.
Зерттеу
Калаби дифференциалдық геометрия саласына көптеген үлес қосты. Бұл жерде талқыланбаған басқа да үлестеріне Максвелл Розенлихтпен бірлесе ұзын сызықтың голоморфты түрін құру, кеңістік пішіндерінің модульдік кеңістігін зерттеу, белгілі бір дифференциалдық форманың гармониялық болуын қамтамасыз ететін метриканы қашан табуға болатынын анықтау және аффиндік геометрия бойынша түрлі еңбектер жатады. 2021 жылы жинақталған еңбектеріне түсініктеме бергенде, Калаби "Дөңес типтегі бұрыс аффиндік гиперсфералар және К. Йоргенстің теоремасын жалпылау" атты мақаласын "ең мақтан тұтатыны" деп көрсетті.
Calabi made a number of contributions to the field of differential geometry. Other contributions, not discussed here, include the construction of a holomorphic version of the long line with Maxwell Rosenlicht, a study of the moduli space of space forms, a characterization of when a metric can be found so that a given differential form is harmonic, and various works on affine geometry. In the comments on his collected works in 2021, Calabi cited his article "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens" as that which he was "most proud of".
Келер геометриясы
1954 жылы Халықаралық математиктер конгресінде Калаби Калер метрикасының Риччи қисықтығын қалай белгілеуге болатыны туралы теореманы жариялады. Кейіннен ол өзінің дәлелінің сабақтастық әдісі арқылы қате екенін анықтады, ал нәтиже Калаби болжамы ретінде белгілі болды. 1957 жылы Калаби болжамды ұсыныс ретінде, бірақ толық емес дәлелмен жазған мақаласын жариялады. Ол мәселенің кез келген шешімі бірегей түрде анықталатынын толық дәлелдеді, бірақ тек белгілі бір бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін априорлық бағалауды құру мәселесіне ғана келтіре алды. 1970 жылдары Шинг Тунг Яу Калаби болжамын зерттеуге кірісті, бастапқыда оны жоққа шығаруға тырысты. Бірнеше жылдық жұмыстан кейін ол болжамның дәлелін тапты және оның дұрыстығының бірнеше таңғажайып алгебралық-геометриялық салдарларын анықтады. Болжамның ерекше жағдайы ретінде, Риччи қисықтығы нөлге тең Калер метрикасы бірқатар күрделі көптүрліліктерде орнатылды; олар қазір Калаби-Яу метрикасы деп аталады. Олар 1980 жылдан бері жол тізбесі теориясының зерттеулерінде маңызды рөл атқарады. 1982 жылы Калаби тұрақты скалярлық қисықтығы бар Калер метрикасын табу үшін ұсыныс ретінде геометриялық ағынды, қазір Калаби ағыны деп аталатынын енгізді. Жалпы алғанда, Калаби экстремалды Калер метрикасы түсінігін енгізді және (басқа нәтижелермен қатар) олар Калаби функционалының қатаң жаһандық минимумдарын қамтамасыз ететінін және кез келген тұрақты скалярлық қисықтық метрикасы да жаһандық минимум екенін көрсетті. Кейіннен Калаби мен Сюйсионг Чен Тошики Мабучи енгізген метриканы жан-жақты зерттеді және Калаби ағынының кез келген екі Калер метрикасы арасындағы Мабучи қашықтығын қысқартатынын көрсетті. Сонымен қатар, олар Мабучи метрикасы Калер метрикалары кеңістігіне оң емес қисықтығы бар Александров кеңістігінің құрылымын беретінін көрсетті. Олардың жұмысының техникалық қиындығы геодезияның шексіз өлшемді контекстінде төмен дифференциалдануы мүмкін. Минималды беттер үшін классикалық Бернштейн мәселесіне параллель, Калаби ең үлкен беттер үшін ұқсас мәселені қарастырды, оны төмен өлшемдерде шешті. Кейіннен Ченг пен Яу шартты емес жауап тапты, бұл Калабидің Риманн қашықтық функциясының дифференциалданбайтындығын еңсеру үшін пионер болған Калабидің айла-шартын пайдаланды. Ұқсас жұмыста Калаби бұрын барлық Евклид кеңістігінде және "оң жағы" бірге тең деп анықталған Монж-Ампер теңдеуінің дөңгелек шешімдерін қарастырған. Конрад Йоргенс бұрын осы мәселені екі айнымалының функциялары үшін зерттеген, кез келген шешімнің квадраттық полином екенін дәлелдеген. Мәселені аффиндік геометрияның бірі ретінде қарастыра отырып, Калаби Лапластың салыстыру теоремасы бойынша өзінің бұрынғы жұмысын қолданып, Йоргенстің жұмысын кейбір жоғары өлшемдерге дейін кеңейте алды. Бұл мәселені кейін Алексей Погорелов толық шешті, нәтиже Жоргенс-Калаби-Погорелов теоремасы ретінде белгілі. Кейіннен Калаби аффиндік гиперсфералар мәселесін қарастырды, алдымен Лежандр трансформациясы белгілі бір Монж-Ампер теңдеуін шешетін осындай беттерді сипаттады. Йоргенс теоремасын кеңейтудегі өзінің бұрынғы әдістерін бейімдеу арқылы Калаби толық аффиндік эллипстік гиперсфераларды жіктеді. Кейіннен Ченг пен Яу қосымша нәтижелер алды.
At the 1954 International Congress of Mathematicians, Calabi announced a theorem on how the Ricci curvature of a Kähler metric could be prescribed. He later found that his proof, via the method of continuity, was flawed, and the result became known as the Calabi conjecture. In 1957, Calabi published a paper in which the conjecture was stated as a proposition, but with an openly incomplete proof. He gave a complete proof that any solution of the problem must be uniquely defined, but was only able to reduce the problem of existence to the problem of establishing a priori estimates for certain partial differential equations. In the 1970s, Shing Tung Yau began working on the Calabi conjecture, initially attempting to disprove it. After several years of work, he found a proof of the conjecture, and was able to establish several striking algebro geometric consequences of its validity. As a particular case of the conjecture, Kähler metrics with zero Ricci curvature are established on a number of complex manifolds; these are now known as Calabi–Yau metrics. They have become significant in string theory research since the 1980s. In 1982, Calabi introduced a geometric flow, now known as the Calabi flow, as a proposal for finding Kähler metrics of constant scalar curvature. More broadly, Calabi introduced the notion of an extremal Kähler metric, and established (among other results) that they provide strict global minima of the Calabi functional and that any constant scalar curvature metric is also a global minimum. Later, Calabi and Xiuxiong Chen made an extensive study of the metric introduced by Toshiki Mabuchi, and showed that the Calabi flow contracts the Mabuchi distance between any two Kähler metrics. Furthermore, they showed that the Mabuchi metric endows the space of Kähler metrics with the structure of a Alexandrov space of nonpositive curvature. The technical difficulty of their work is that geodesics in their infinite dimensional context may have low differentiability. In parallel to the classical Bernstein problem for minimal surfaces, Calabi considered the analogous problem for maximal surfaces, settling the question in low dimensions. An unconditional answer was found later by Cheng and Yau, making use of the Calabi trick that Calabi had pioneered to circumvent the non differentiability of the Riemannian distance function. In analogous work, Calabi had earlier considered the convex solutions of the Monge–Ampère equation which are defined on all of Euclidean space and with 'right hand side' equal to one. Konrad Jörgens had earlier studied this problem for functions of two variables, proving that any solution is a quadratic polynomial. By interpreting the problem as one of affine geometry, Calabi was able to apply his earlier work on the Laplacian comparison theorem to extend Jörgens' work to some higher dimensions. The problem was completely resolved later by Aleksei Pogorelov, and the result is commonly known as the Jörgens–Calabi–Pogorelov theorem. Later, Calabi considered the problem of affine hyperspheres, first characterizing such surfaces as those for which the Legendre transform solves a certain Monge–Ampère equation. By adapting his earlier methods in extending Jörgens' theorem, Calabi was able to classify the complete affine elliptic hyperspheres. Further results were later obtained by Cheng and Yau.
Дифференциалдық геометрия
Калаби мен Бено Экман 1953 жылы Калаби-Экманның көптігін ашты. Ол, кез келген Келер метрикасын қабылдамайтын, жай ғана байланысқан күрделі көптік ретінде ерекшеленеді. Кунихико Кодайраның жақындағы еңбектерінен шабыттанған Калаби мен Эдоардо Весентини Картан домендерінің ықшам голоморфты бөліктерінің инфинитезималды қатаңдығын қарастырды. Бохнер әдісін және Кодайраның бушақ кохомологиясын дамытуды пайдалана отырып, олар жоғары өлшемді жағдайлардың қатаңдығын дәлелдеді. Олардың еңбегі Джордж Мостоу мен Григорий Маргулистің кейінгі жұмыстарына әсер етті, олар Калаби мен Весентини сияқты инфинитезималды қатаңдық нәтижелерін түсінуге тырысып, осыған байланысты Атле Сельберг пен Андре Вейльдің жұмыстарын негізге алды. Калаби мен Лоренс Маркус Лоренц геометриясындағы оң қисықтығы бар кеңістік пішіндері мәселесін қарастырды. Жозеф А. Вольф «өте таңғажайып» деп санаған олардың нәтижелері негізгі топтың шекті болуын және де Ситтер кеңістігі-уақытының изометриялар тобының (ориентирлену шарты бойынша) экваторлық сферадағы изометриялар бойынша адал әрекет ететінін көрсетеді. Осылайша, олардың кеңістік пішіні мәселесі оң қисықтығы бар Риман кеңістігі пішіндері мәселесіне дейін тоғысып келеді. 1950 жылдары Джон Нэштің жұмысы изометриялық енгізу мәселесін қарастырды. Оның еңбегі мұндай енгізулердің өте икемді және деформацияланатын екенін көрсетті. Докторлық диссертациясында Калаби бұрын күрделі геометриялық кеңістіктегі голоморфты изометриялық енгізудің ерекше жағдайын қарастырған. Оның керемет нәтижесі мұндай енгізулер сөз болып отырған кеңістік пішінінің ішкі геометриясымен және қисықтығымен толық анықталатынын көрсетті. Сонымен қатар, ол дистатикалық функцияны енгізу арқылы барлықтық мәселені зерттей алды, бұл Калер потенциалдарынан құралған және Риман қашықтық функциясын имитациялайтын жергілікті анықталған функция. Калаби голоморфты изометриялық енгізу дистатикалық функцияны сақтау керектігін дәлелдеді. Осының нәтижесінде ол голоморфты изометриялық енгізулердің жергілікті барлықтығының критерийін алуға қол жеткізді.
Calabi and Beno Eckmann discovered the Calabi–Eckmann manifold in 1953. It is notable as a simply connected complex manifold which does not admit any Kähler metrics. Inspired by recent work of Kunihiko Kodaira, Calabi and Edoardo Vesentini considered the infinitesimal rigidity of compact holomorphic quotients of Cartan domains. Making use of the Bochner technique and Kodaira's developments of sheaf cohomology, they proved the rigidity of higher dimensional cases. Their work was an influence on the later work of George Mostow and Grigori Margulis, who established their global rigidity results out of attempts to understand infinitesimal rigidity results such as Calabi and Vesentini's, along with related works by Atle Selberg and André Weil. Calabi and Lawrence Markus considered the problem of space forms of positive curvature in Lorentzian geometry. Their results, which Joseph A. Wolf considered "very surprising", assert that the fundamental group must be finite, and that the corresponding group of isometries of de Sitter spacetime (under an orientability condition) will act faithfully by isometries on an equatorial sphere. As such, their space form problem reduces to the problem of Riemannian space forms of positive curvature. Work of John Nash in the 1950s considered the problem of isometric embeddings. His work showed that such embeddings are very flexible and deformable. In his PhD thesis, Calabi had previously considered the special case of holomorphic isometric embeddings into complex geometric space forms. A striking result of his shows that such embeddings are completely determined by the intrinsic geometry and the curvature of the space form in question. Moreover, he was able to study the problem of existence via his introduction of the diastatic function, which is a locally defined function built from Kähler potentials and which mimics the Riemannian distance function. Calabi proved that a holomorphic isometric embedding must preserve the diastatic function. As a consequence, he was able to obtain a criterion for local existence of holomorphic isometric embeddings.